高中数学高考黄金卷01（新课标Ⅰ卷）（文）（解析版）

黄金卷01（新课标Ⅰ卷）

文科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，若，则实数的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵，又，∴，

又，∴、是方程的两个根，∴，故选A。

2．已知复数的实部与虚部之和为，则实数的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】由题意可得：，

∵实部与虚部之和为，∴，解得，故选B。

3．霍兰徳职业能力测试问卷可以为大学生在择业方面提供参考，对人的能力兴趣等方面进行评估。某大学随机抽取名学生进行霍兰徳职业能力测试问卷测试，测试结果发现这名学生的得分都在内，按得分分成组：、、 、、，得到如图所示的頻率分布直方图，则这名同学得分的中位数为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】设中位数为，根据频率分布直方图可得测试结果位于的频率为：

，

位于的頻率为，

则这名学生得分的中位数位于之同，

故有，解得，故选A。

4．王老师是高三的班主任，为了在新型冠状病毒疫情期间更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成。已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数。则该钉钉群人数的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】设教师人数为，家长人数为，女学生人数为，男学生人数为，、、、，

则，，，则，

又“教师人数的两倍多于男学生人数，

∴，∴，当时，，此时总人数最少为，故选C。

5．设曲线()上任意一点处切线斜率为，则函数的部分图像可以为(  )。

A、      B、    C、    D、

【答案】D 

【解析】∵()上任一点处切线率为，

∴，∴，

∴该函数为奇函数，且当时，，故选D。

6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由三视图可还原成三棱锥如图所示，

其中是边长为的正三角形，

作平面与点，

连接，交于点，则为的中点，

、、，

∴，故选D。

7．已知函数()，若直线与曲线相切，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】，设切点为，则切线斜率为，故，即，故，

令()，则，

∴当时，故在上单调递减，

当时，故在上单调递增，

∴，即有唯一实数根，∴，故选A。

8．在，，，点是的重心，则的最小值是(  ) 。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】设的中点为，∵点是的重心，

∴，

再令，，则，解得，

∴，

∴，当且当时取等号，故选C。

9．函数()的图象关于对称，且在上单调递增，则在区间上的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】由题意得：()，解得()，且，

故，∴，

即，∵、∴，

故在区间上的最小值为，故选B。

10．已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，，则的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】∵，∴，

∵函数在区间内取得极大值，在区间内取得极小值，

∴在和内各有一个根，，，，

即，在坐标系中画出其表示的区域，，

令，其几何意义为区域中任意一点与点连线的斜率，

分析可得，则，∴的取值范围是，故选D。

11．已知是双曲线(，)的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】设双曲线右焦点为，连接，

左焦点到渐近线的距离为，故，

在中，，由双曲线定义得，

在中，由余弦定理得，

整理得，即，又，

解得、，故双曲线方程为：，故选D。

12．已知四棱锥中，是边长为的正三角形，，，二面角的余弦值为，当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的外接球的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】∵四棱锥的底面面积为定值，故当四棱锥的高最大时，其体积最大，

∵二面角的余弦值为，

故当中边上的高最大时，当四棱锥的高最大，

又，∴当时，边上的高最大，

此时四棱锥的图像如图所示，

连接交于点，连接，设的外心为，连接，

在上取一点使其满足，∴，，

∴，，，，，，

∵、，∴为二面角的一个平面角，

∴，故，

∴，

∴，∴，

∵、，，∴平面，

∴，又，∴平面，

∴为四棱锥的外接球的球心，

由，解得，

故该四棱锥的外接球的体积为，故选C。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，，且与平行，那么       。

【答案】

【解析】∵、，且与平行，

∴，解得。

14．过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为       。

【答案】

【解析】由题意得，则圆心到直线的距离为，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时直线与圆相切，不合题意，舍去，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

则，解得。

15．已知数列满足，(，)。定义：使乘积为正整数的()叫做“幸运数”，则在内的所有“幸运数”的和为        。(用数字作答)

【答案】

【解析】∵，

∴，

为使为正整数，即满足，则，

则在内的所有“幸运数”的和为：

。

16．定义在上的奇函数，当时，，则函数()的所有零点之和为        。

【答案】

【解析】∵当时，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

画出时的图像，再利用奇函数的对称性，画出时的图像，如图，

则直线与的图像有个交点，

设交点的横坐标从左到右依次为、、、、，

则，，

∵时，，∴，又，

则当时，，

则满足，解得，

∴。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

平面四边形中，，，。

(1)若的周长为，求。

(2)若，，求四边形的面积。

【解析】(1)在中，∵，，的周长为，∴，       1分

又由余弦定理得：，      3分

则将代入得；                                            5分

(2)在中，由余弦定理得：，         7分

∴，又，，∴，，              9分

∴四边形的面积

。     12分

18．（12分）

某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试。测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子停下所需的距离)，无酒状态与酒后状态下的实验数据分别列于表1和表2。

表1

表2

请根据表1、表2回答以下问题：

(1)根据表1估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；

(2)根据最小二乘法，由表2的数据计算关于的回归方程；

(3)该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的“平均停车距离”大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的倍，则认定驾驶员是“醉驾”。请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？

参考公式：，。

【解析】(1)依题意，驾驶员无酒状态下停车距离的平均数为：

；                        3分

(2)依题意可得：，，                                               4分

，                6分

，则回归方程为；                            8分

(3)由(1)知当时认定驾驶员是“醉驾”，                                9分

令得，解得，                                      11分

当每毫升血液酒精含量大于毫克时为“醉驾”。                               12分

19．（12分）

如图所示，在直角梯形中，，，且，、分别为线段、的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形。

(1)证明：平面平面；

(2)若，求点到平面的距离。

【解析】(1)证明：由题意可得，则，

又，，平面，                  2分

∴平面，

又∵平面，∴平面平面；                   4分

(2)过点作交于点，连接，则平面，∴，  5分

又，，∴平面，                            6分

又平面，∴，易得∽，

则，得，                                                7分

设点到平面的距离为，

∵可得，                               8分

又∵、，，平面，

∴平面，∴，                                           10分

又∵，，∴，      11分

∴，故点到平面的距离为。                      12分

20．（12分）

已知抛物线：的焦点为，点，圆()与抛物线交于、两点，直线与抛物线交点为。

(1)求证：直线过焦点；

(2)过作直线，交抛物线于、两点，求四边形面积的最小值。

【解析】(1)由题意，设、，直线的方程为，

联立得，                              2分

由题意可得，该方程有一个根为，

由韦达定理得，则，∴，

则直线的斜率为，直线的斜率为，          4分

∴，故、、三点共线，∴直线过焦点；                   5分

(2)设直线方程为，则直线的方程为，               6分

联立得：，

设、，则，

∴，同理可得，                        10分

∴四边形面积为：

，

当且仅当时，四边形面积取得最小值，最小值为。              12分

21．（12分）

已知函数()。

(1)讨论函数的单调性

(2)若函数的图像经过点，求证：()。

【解析】(1)由题意知，函数的定义城为，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，令，得，   2分

①当时，在区间上，单调递增，

在区间上，单调递减，                    3分

②当时，在区间上，单调递减，

在区间上，单调递增，                    4分

(2)若函数的图像经过点，则，得，则，

则，                        5分

设()，则，  6分

设，则，

显然当时，，故在上单调递增，                      7分

又，，∴当时在上有唯一的零点，

不妨设，则，∴，                             9分

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，                                10分

故，       11分

∴恒成立，即()恒成立。                        12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，曲线的极坐标方程为。

(1)以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；

(2)设、为曲线上不同两点(均不与重合)，且满足，求面积的最大值。

【解析】(1)曲线方程两边同乘得，

由、得，

化标准方程为；                                             4分

(2)设、，∵、都在圆上，

∴有、，                                         6分

     ，                         8分

当时，面积取得最大值，最大值为。             10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数，。

(1)当时，若的最小值为，求实数的值；

(2)当时，若不等式的解集包含，求实数的取值范围。

【解析】(1)当时，，                 2分

∵的最小值为，∴，解得或；               4分

(2)当时，即，                             5分

当时，原式等同于，即，                          7分

∵不等式的解集包含，∴且，即，        9分

故实数的取值范围是。                                               10分