高中数学高考黄金卷01（新课标Ⅲ卷）（理）（解析版）

黄金卷01（新课标Ⅲ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】由可得：，由可得：，

∴，故选A。

2．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于(  )。

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

【答案】C

【解析】由已知得：，则，

∴复数对于的点为，位于第三象限，故选C。

3．王老师是高三的班主任，为了在新型冠状病毒疫情期间更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成。已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数。则该钉钉群人数的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】设教师人数为，家长人数为，女学生人数为，男学生人数为，、、、，

则，，，则，

又“教师人数的两倍多于男学生人数，

∴，∴，当时，，此时总人数最少为，故选C。

4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由三视图可还原成三棱锥如图所示，

其中是边长为的正三角形，

作平面与点，

连接，交于点，则为的中点，

、、，

∴，故选D。

5．若双曲线(，)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】双曲线(，)的一个焦点到一条渐近线的距离为，则，

则，又，则，则，，

渐近线方程为，即，故选A。

6．某公司为了调查产品在、、三个城市的营销情况，派甲、乙、丙、丁四人去调研，每人只去一个城市每个城市必须有人去，且甲乙不能去同一个城市，则不同的派遣方法有(  )。

A、种

B、种

C、种

D、种

【答案】D

【解析】人不同组合方案有：

①若甲、乙各自单独为一组，有种，

②若甲与丙、丁之一为一组，有种，

③若乙与丙、丁之一为一组，有种，

故不同的派遣方法有种，故选D。

7．《九章算术》的“开立圆术”中，“立圆”的意思是“球体”，古称“丸”，而“并立圆术”即求已知体积的球体的直径的方法：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”其意思为：“把球体体积先乘再除以，然后再把得数开立方，所得即为所求球体直径的近似值。”则当球体体积为时，球半径的近似值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】由题意可得，，则。

8．已知，则中的系数为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，

则，

的通项公式，

则两个通项公式为，当时，

，当时，

则的系数为，故选C。

9．已知()关于对称，将函数图像向左平移()个单位后与

重合，则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵关于对称，∴，即()，

又，∴，，

将向左平移个单位，，

此时与重合，

∴有()，∴的最小值为，故选A。

10．互相垂直的直线、(不与坐标轴垂直)过抛物线：的焦点，且分别与抛物线交于点、、、，记、的中点分别为、，则线段的中点的轨迹方程为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】由题意，抛物线：的焦点，

设直线、的方程分别为和，

、、、，

联立得，∴、，

联立得，∴、，

∴、，∴，

∴的轨迹方程为，故选A。

11．已知函数()有唯一的零点，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】有唯一的零点可转化为与由唯一的交点，

要想有唯一的零点，则在处取得极小值，且，

则交点坐标，的定义域为，

，则且，

即，构造出新的函数，

则恒成立，∴是单调递增函数，

又，，根据零点存在定理可知，故选A。

12．设棱锥的底面是正方形，且，，如果的面积为，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵，，∴平面，

∴面面，记是的中点，从而，

∴平面，，

设球是与平面、平面、平面都相切的球，

由图得截面图及内切圆，

不妨设平面，于是是的内心，

设球的半径为，则，设，∵，

∴，，，

当且仅当，即时等号成立，

∴当时，满足条件的球最大半径为，故选A。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量、为单位向量，，若，则与所成角的余弦值为       。

【答案】

【解析】由数量积公式得：。

14．为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼。已知某学生通过第一关的概率为，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为，则该同学两关均通过的概率为       。

【答案】

【解析】设该学生通过第一关为事件，通过第二关为事件，

在通过第一关的前提下通过第二关的概率为，

∵，∴。

15．已知数列、为等差数列，其前项和分别为、，，       。

【答案】

【解析】设，则、，

∴，

，

∴。

16．函数定义域为，对于任意的有，当时，，则       ；若当时，恒成立，则的取值范围是       。(本题第一空2分，第二空3分)

【答案】       

【解析】∵对任意的有，且当时，，

∴；

设，则，

∴，

则，

∵时恒成立，∴，

又时，，而时在时取得最小值，∴，

解得。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

如图所示，在中，，，点在上，且。

(1)若，求；

(2)若，求的长。

【解析】(1)∵，，∴，则，                    2分

在中，，∴，                          5分

(2)设，，∵中，，且，

设，在中，由余弦定理得：，

∴，                                                                 8分

在中由余弦定理可知，

，即，                    10分

解得，∴。                                             12分

18．（12分）

如图所示，已知在四棱柱中，底面，，，

。

(1)求证：平面；

(2)设为的中点，求二面角的正弦值。

【解析】(1)连接，如图，在中，易得，，

由于，∴，                                          2分

又底面，底面，∴，

又∵，∴平面，                                   4分

又，∴平面；                                        5分

(2)∵、、两两垂直，

∴以为坐标原点，、、所在的直线为、、轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，             6分

则、、，                                7分

设平面的法向量为，

则，即，

令，得、，则，                                9分

设平面的法向量为，

则，即，

令，得、，则，                               11分

则，

设二面角的平面角为，则。        12分

19．（12分）

 “一带一路”为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展了新实践。某企业为抓住机遇，计划在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品、、的开发。

(1)在对三种饮品市场投放的前期调研中，对名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条形图。若饮品的百件利润为元，饮品的百件利润为元，饮品的百件利润为元，请估计三种饮品的平均百件利润；

(2)为进一步提高企业利润，企业决定对饮品进行加工工艺的改进和饮品的研发。已知工艺改进成功的概率为，开发新饮品成功的概率为，且工艺改进与饮品研发相互独立；

①求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率；

②若工艺改进成功则可为企业获利万元，不成功则亏损万元，若饮品研发成功则获利万元，不成功则亏损万元，求该企业获利的数学期望。

【解析】(1)根据样本的条形图可得：顾客选择饮品的频率为，

选择饮品的频率为，选择饮品的频率为，               2分

由样本估计总体可得总体顾客中选择饮品的频率为，

选择饮品的频率为，选择饮品的频率为，               3分

则可以得到总体的百件利润平均值为元；    4分

(2)①设饮品工艺改进成功为事件，新品研发成功为事件，

依题意可知事件与事件相互独立，

事件为工艺改进和新品研发恰有一项成功，

则，                                 6分

②由题意知企业获利的取值为、、、，                          7分

∴，，

，，                          11分

∴的分布列为。            12分

20．（12分）

如图所示，已知椭圆：()的左、右焦点分别为、，过点且与轴垂直的直线与圆：交于点(点在轴上方)，与椭圆交于点(点在轴下方)，且满足

。

(1)若的面积为，求椭圆的标准方程；

(2)过点作椭圆的切线，与直线交于点，其中，试判断以线段为直径的圆是否经过点，并说明理由。

【解析】(1)设，则直线的方程为，与联立得，       1分

由得，

∴，则，又，∴，                         2分

故，，                                            3分

由，解得，故，

∴椭圆的标准方程为；                                          4分

(2)由(1)知，椭圆的方程为，，                            5分

设切线的方程为，                                         6分

由得：，                8分

∴，                                 9分

解得或，其中时不满足，舍去，                          10分

又，∴，即，

故以线段为直径的圆经过点。                                         12分

21．（12分）

已知函数。

(1)当时，判断函数的单调性；

(2)若函数有两个极值点，求正整数的最小值。

【解析】(1)当时，，定义域为，

则，                                            1分

设，定义域为，则，                     2分

令得，

当时，则在上单调递增，

当时，则在上单调递减，

则在处取极大值也是最大值，，                     4分

故当时，恒成立，当且仅当时取等号，

∴在设单调递减；                                               5分

(2)若()有两个极值点，

即()有两个极值点，

即有两个异号零点，

等价于函数的图像与直线有两个交点，                 6分

∵的定义域为，

，                                  7分

设，∴，故在上单调递增，

而，，故存在，使得，          9分

则在上单调递减，在上单调递增，

则，                              10分

若函数的图像与直线有两个交点，则，                    11分

当时，，∵，。                            12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为。

(1)写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

(2)已知点、，直线过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值。

【解析】(1)由直线的参数方程消去，

得到直线的普通方程为：，                        2分

由得，

∴曲线的直角坐标方程为，                                       4分

(2)由题意可知直线必过点，∴，∴，       5分

∴直线的参数方程为(为参数)，                                   6分

代入中得：，

设、、点所对应的参数分别为、、，                              8分

∴，∴。                                        10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数，。

(1)当时，求不等式的解集；

(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围。

【解析】(1)当时，，                            2分

不等式等价于或或，                    4分

解得或，不等式解集为；                            5分

(2)当时，不等式等价于，                7分

整理得，记，则，解得。         10分