高中数学高考黄金卷01（新课标Ⅲ卷）（文）（解析版）

黄金卷01（新课标Ⅲ卷）

文科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】∵，∴，

∵，故选B。

2．已知复数的实部与虚部之和为，则实数的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】由题意可得：，

∵实部与虚部之和为，∴，解得，故选B。

3．若、、，且，则下列不等式中一定成立的是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】∵，∴，

对于A，若，则不等式不成立，

对于B，若，则不等式不成立，

对于A，若、，则不等式不成立，

对于D，若，∴，

故选D。

4．《九章算术》的“开立圆术”中，“立圆”的意思是“球体”，古称“丸”，而“并立圆术”即求已知体积的球体的直径的方法：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”其意思为：“把球体体积先乘再除以，然后再把得数开立方，所得即为所求球体直径的近似值。”则当球体体积为时，球半径的近似值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】由题意可得，，则。

5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由三视图可还原成三棱锥如图所示，

其中是边长为的正三角形，

作平面与点，

连接，交于点，则为的中点，

、、，

∴，故选D。

6．已知、满足约束条件，则目标函数的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】

作图，令，则，做虚线，上下移动，

则过截距最大即，过截距最小即，

则转换为()，求值域，

∴，最小为，最大值为，故选D。

7．已知为第三象限角，且，则的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由已知得，则，由为第三象限角，得，

故，，∴，故选D。

8．已知()，函数的值域为，则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】当时，为一次函数，值域为，不符合题意；

当时，为二次函数，又值域为，则，

由题意可知，得，则，

则，

当且仅当时等号成立，故选A。

9．函数()的图象关于对称，且在上单调递增，则函数在区间上的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】由题意得：()，解得()，且，

故，∴，

即，∵、∴，

故在区间上的最小值为，故选B。

10．已知函数()有唯一的零点，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】有唯一的零点可转化为与由唯一的交点，

要想有唯一的零点，则在处取得极小值，且，

则交点坐标，的定义域为，

，则且，

即，构造出新的函数，

则恒成立，∴是单调递增函数，

又，，根据零点存在定理可知，故选A。

11．南宋著名数学家杨辉在年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就。在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前项和为，，将数列中的整数项组成新的数列，则的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】根据“杨辉三角"的性质可得数列前项和为：，

∴，

∴此数列为、、、、、，

其中的整数项为、、、、、、……，

即、、、、、、……，

其规律为各项之间以、、、、、、……递增，

∴数列是奇数项以为公差，为首项的等差数列，

偶数项以为公差，为首项的等差数列，

即，，由得，

∴，故选D。

12．已知四棱锥中，是边长为的正三角形，，，二面角的余弦值为，当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的外接球的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】∵四棱锥的底面面积为定值，故当四棱锥的高最大时，其体积最大，

∵二面角的余弦值为，

故当中边上的高最大时，当四棱锥的高最大，

又，∴当时，边上的高最大，

此时四棱锥的图像如图所示，

连接交于点，连接，设的外心为，连接，

在上取一点使其满足，∴，，

∴，，，，，，

∵、，∴为二面角的一个平面角，

∴，故，

∴，

∴，∴，

∵、，，∴平面，

∴，又，∴平面，

∴为四棱锥的外接球的球心，

由，解得，

故该四棱锥的外接球的体积为，故选C。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设向量，，，若，则        。

【答案】

【解析】由已知得，解得，

则，，故。

14．已知数列满足，(，)。定义：使乘积为正整数的()叫做“幸运数”，则在内的所有“幸运数”的和为        。(用数字作答)

【答案】

【解析】∵，

∴，

为使为正整数，即满足，则，

则在内的所有“幸运数”的和为：

。

15．已知函数()，若直线与曲线相切，则        。

【答案】

【解析】，设切点为，则切线斜率为，故，即，故，

令()，则，

∴当时，故在上单调递减，

当时，故在上单调递增，

∴，即有唯一实数根，∴。

16．已知点为双曲线：(，)在第一象限上一点，点为双曲线的右焦点，为坐标原点，，则双曲线的离心率为        ；若、分别交双曲线于、两点，记直线与的斜率分别为、，则        。(本题第一空2分，第二空3分)

【答案】   

【解析】设，则，则，，

即，将其代入双曲线方程得：，即，

又，∴，即，

两边同除以得，即，

解得或，又，∴；

设，又，则，

将点、的坐标分别代入双曲线方程得，

两式做差得：，故。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

如图所示，在中，，，点在上，且。

(1)若，求；

(2)若，求的长。

【解析】(1)∵，，∴，则，                    2分

在中，，∴，                          5分

(2)设，，∵中，，且，

设，在中，由余弦定理得：，

∴，                                                                 8分

在中由余弦定理可知，

，即，                    10分

解得，∴。                                             12分

18．（12分）

如图所示，四棱柱中，底面为菱形，底面，为的中点。

(1)证明：平面平面；

(2)若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积。

【解析】(1)证明：连接，设与的交点为，连接，                           1分

∵为的中点，为的中点，                                  2分

∴，则平面，                                     3分

又∵平面，∴平面平面；                       4分

(2)解：连接、、，设交于点，                             5分

由题意可知四边形为正方形，且，则，         7分

∴平面，∴，                                      8分

又∵，∴平面，∴，

∴菱形为正方形，                                               10分

∴点到平面的距离为，∴。 12分

19．（12分）

近几年，“互联网+”已经影响了多个行业，在线教育作为现代信息技术同教育相结合的产物，也引发了教育领域的变革。目前在线教育主要包括在线测评、在线课堂、自主学习、线下延伸四种模式。为了解学生参与在线教育情况，某区从名高一学生中随机抽取了名学生，对他们参与的在线教育模式进行调查，其调查结果整理如下：(其中标记“√”表示参与了该项在线教育模式)。

(1)试估计该区高一学生中参与在线课堂教育模式的人数；

(2)在样本中用分层抽样的方法从参与自主学习的学生中抽取人，现从这人中随机抽取人，求这人都参与线下延伸教育模式的概率。

【答案】(1)∵在样本人中参与在线测试的共人，

∴全区名高一学生中参与在线课堂的人数为人，           3分

(2)记“抽取参加测试的人都参加了线下延伸”为事件，

用分层抽样抽取的人中，有人参加了自主学习和线下延伸，记为、、，

有人参加了自主学习和在线测评，记为、，                               6分

人中抽取人，共有、、、、、、、

、、共种取法分，其中事件包含个，                 10分

∴这人都参与线下延伸教育模式的概率。                           12分

20．（12分）

已知抛物线：的焦点为，点，圆()与抛物线交于、两点，直线与抛物线交点为。

(1)求证：直线过焦点；

(2)过作直线，交抛物线于、两点，求四边形面积的最小值。

【解析】(1)由题意，设、，直线的方程为，

联立得，                              2分

由题意可得，该方程有一个根为，

由韦达定理得，则，∴，

则直线的斜率为，直线的斜率为，          4分

∴，故、、三点共线，∴直线过焦点；                   5分

(2)设直线方程为，则直线的方程为，               6分

联立得：，

设、，则，

∴，同理可得，                        10分

∴四边形面积为：

，

当且仅当时，四边形面积取得最小值，最小值为。              12分

21．（12分）

已知函数。

(1)当时，判断函数的单调性；

(2)若函数有两个极值点，求正整数的最小值。

【解析】(1)当时，，定义域为，

则，                                            1分

设，定义域为，则，                     2分

令得，

当时，则在上单调递增，

当时，则在上单调递减，

则在处取极大值也是最大值，，                     4分

故当时，恒成立，当且仅当时取等号，

∴在设单调递减；                                               5分

(2)若()有两个极值点，

即()有两个极值点，

即有两个异号零点，

等价于函数的图像与直线有两个交点，                 6分

∵的定义域为，

，                                  7分

设，∴，故在上单调递增，

而，，故存在，使得，          9分

则在上单调递减，在上单调递增，

则，                              10分

若函数的图像与直线有两个交点，则，                    11分

当时，，∵，。                            12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为。

(1)写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

(2)已知点、，直线过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值。

【解析】(1)由直线的参数方程消去，

得到直线的普通方程为：，                        2分

由得，

∴曲线的直角坐标方程为，                                       4分

(2)由题意可知直线必过点，∴，∴，       5分

∴直线的参数方程为(为参数)，                                   6分

代入中得：，

设、、点所对应的参数分别为、、，                              8分

∴，∴。                                        10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知()

(1)证明：；

(2)若成立，求的取值范围。

【解析】(1)由得，2分

当且仅当，即时取等号，∴；                             4分

(2)由得，                                             5分

由得，即，                             6分

当时，，恒不成立，                          7分

当时，，有，即，解得，            9分

综上，的取值范围是。                                               10分