高中数学高考黄金卷02（理）（新课标Ⅰ卷）（解析版）

黄金卷02（新课标Ⅰ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数满足，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】∵，∴，故选C。

2．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于(  )。

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

【答案】C

【解析】由已知得：，则，

∴复数对于的点为，位于第三象限，故选C。

3．下列说法错误的是(  )。

A、“若，则”的逆否命题是“若，则”

B、“”是“”的充分不必要条件

C、“，”的否定是“，”

D、命题“在锐角中，＂为真命题

【答案】D

【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知，A正确，

由解得或，

“”是“”的充分不必要条件，B正确，

∵全称命题的否定是特称命题，C正确，

锐角中，，∴，D错误，

故选D。

4．函数的图像大致为(  )。

A、    B、   C、    D、

【答案】B

【解析】由可知函数为奇函数，故排除C、D，

由图像性质可知，当时，，排除A，故选B。

5．如图虚线网格的最小正方形边长为，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】还原三视图为几何体的直观图可知如图：

是圆柱的一半，可得该几何体的体积为：

，故选C。

6．已知数列的前项和为，点在函数的图像上，则数列的通项公式为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】∵=，∴，∴当时，，

又∵，不满足上式，∴，故选D。

7．已知()，函数的值域为，则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】当时，为一次函数，值域为，不符合题意；

当时，为二次函数，又值域为，则，

由题意可知，得，则，

则，

当且仅当时等号成立，故选A。

8．年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心。八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎。沈阳市某医院的甲、乙、丙、丁、戊名医生到湖北的、、三个城市支援，若要求每个城市至少安排名医生，则城市恰好只有医生甲去支援的概率为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】先算总数：分两步，第一步，把名医生分成三组，有、、和、、两种分法，

当分成、、时，有种情况，

当分成、、时，有种情况，

第二步，把这三组分到三个城市，则共有种情况，

再算城市恰好只有医生甲去支援的情况：

分两步，第一步，把名医生分成二组，有、和、两种分法，

当分成、时，有种情况，

当分成、时，有种情况，

第二步，把这两组分到两个城市，则共有种情况，

因此所求概率为，故选B。

9．函数()的图象关于对称，且在上单调递增，则函数在区间上的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】由题意得：()，解得()，且，

故，∴，

即，∵、∴，

故在区间上的最小值为，故选B。

10．已知函数与函数()的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】由题意得，在上有解，

即在上有解，

即函数与函数的图像在上有交点，

函数的图像是由函数的图像左右平移得到的，

且当的图像经过点时，函数与函数的图像有界交点，

此时代入点，有，得，∴，故选B。

11．如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中(球未画出)，使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若四棱锥的表面积为，则球的表面积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】设球、半球的半径分别为、，

则由正方体与半球的位置关系易知正方体的棱长为，

设正方体的下底面的中心为，连接，则四棱锥的高，

易知该四棱锥为正四棱锥，则其斜高为，

由题意得，得，

根据几何体的对称性知球的球心在线段上，连接、，

在中，，，，

则，解得，

∴球的表面积，故选B。

12．已知椭圆：()的两条准线方程为，半焦距，右准线的方程为。、为椭圆上的两个动点，满足。过、的中点作右准线的垂线，垂足为。则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】由已和可得，，∴，椭圆的离心率，

如图所示，作于，于，设，，

则由据椭圆的离心率定义，得，，

又∵为的中点，∴，

在中，由余弦定理得：

，

而，∴，即，

∴，即的最小值为，故选A。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量、为单位向量，，若，则与所成角的余弦值为        。

【答案】

【解析】由数量积公式得：。

14．若实数、满足，且的最小值为，则实数的值为        。

【答案】

【解析】画出可行域如图所示，

当目标函数过点时取得最小值

由得，则，解得。

15．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”。庙会大多在春节、元宵节等节日举行。庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”)。今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会。游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：

甲说：“我或乙能中奖”；

乙说：“丁能中奖”；

丙说：“我或乙能中奖”；

丁说：“甲不能中奖”；

游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是        。

【答案】甲

【解析】由四人的预测可得下表：

(1)若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意，

(2)若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意，

(3)若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意，

(4)若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意，

故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确。

16．已知数列满足，，，则        ，

        。（本小题第一个空2分，第二个空3分）

【答案】   

【解析】∵，∴，∴，且，即，

∴的奇数项为首项为、公差为的等差数列，

设()，则，

∴的偶数项为首项为、公差为的等差数列，

设()，则，

∴；

∵

。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

平面四边形中，，，。

(1)若的周长为，求。

(2)若，，求四边形的面积。

【解析】(1)在中，∵，，的周长为，∴，       1分

又由余弦定理得：，      3分

则将代入得；                                            5分

(2)在中，由余弦定理得：，         7分

∴，又，，∴，，              9分

∴四边形的面积

。     12分

18．（12分）

根据空气质量指数(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：

对某城市一年(天)的空气质量进行监测，获得的数据按照区间、、、、、进行分组，得到频率分布直方图如图。

(1)求直方图中的值；

(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

(3)求该城市某一周至少有天的空气质量为良或轻微污染的概率。

(结果用分数表示，已知，，，)

【解析】(1)由图可知，解得；                                 3分

(2)；                                           6分

(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为：，   8分

则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，                          10分

一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为：

。                                   12分

19．（12分）

如图所示，四棱锥中，底面，，，，，。

(1)求证：平面平面；

(2)若棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值。

【解析】(1)证明：∵，，∴，                                 1分

∵底面，平面，                               2分

∴，又，∴平面，                      3分

∵平面，∴平面平面；                          4分

(2)解：以为坐标原点，以、、所在射线分别为

、、轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，由点向作线，则

∴，∴、、、，                 5分

设，∵在棱上，∴()，

又，，∴，                    6分

设平面的向量，、，

∴，∴，

取，则、，∴，                             8分

设平面的向量，、，

∴，∴，

取，则、，∴，                     10分

∴，

解得，∴，，又平面的法向量为，

设直线与平面所成角的平面角为，

∴。                                             12分

20．（12分）

已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点。

(1)求动点的轨迹方程；

(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程。

【解析】(1)设，，

以为切点的切线为，整理得：，                1分

同理：以为切点的切线为：，                                   2分

联立方程组：，解得，                            3分

设直线的方程为：，

联立方程组得：，                           5分

∴，，∴，∴点的轨迹方程为；  6分

(2)由(1)知：，             8分

又到直线的距离为：，                          9分

∴，                           11分

∴时，取得最小值，此时直线的方程为。                     12分

21．（12分）

已知函数。

(1)讨论的单调性；

(2)求证：当时 ，对都有。

【解析】(1)∵，其定义域为，∴，，     1分

当时，即时，恒成立，∴在上单调递增，             2分

当时，即时

有两个根为、，，                3分

∴当和时，，单调递增，  4分

当时，，单调递减；                5分

(2)由(1)知，当时，，在上单调递增，

∵对有，

不妨设，∵在上单调递增，∴，

则原式可以转化为，                          7分

即有，即证，

设，，                                        9分

则，，

当时，单调递增，，

∵，∴，                                               10分

当时，单调递增，

∴，即，

同理可证，即，

则原不等式得证。                                                          12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线 ：(为参数)，在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：。

(1)写出曲线和的普通方程；

(2)若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求使最小时点的坐标。

【解析】(1)由题意可知曲线为椭圆，的普通方程为：，                      2分

曲线为直线，的普通方程为：；                              4分

(2)结合图形可知：最小值即为点到直线的距离的最小值，

设，

则到直线的距离，其中， 6分

∴当时，最小，即的最小值为，        7分

此时，，

即，即最小时点的坐标为。                10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数，。

(1)当时，若的最小值为，求实数的值；

(2)当时，若不等式的解集包含，求实数的取值范围。

【解析】(1)当时，，                 2分

∵的最小值为，∴，解得或；               4分

(2)当时，即，                             5分

当时，原式等同于，即，                          7分

∵不等式的解集包含，∴且，即，        9分

故实数的取值范围是.                                               10分