高中数学高考黄金卷04（理）（新课标Ⅱ卷）（解析版）

黄金卷04（新课标Ⅱ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，若，则实数的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵，又，∴，

又，∴、是方程的两个根，∴，故选A。

2．设复数满足，则复数(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】，∴，故选A。

3．函数的图像大致是(  )。

A、  B、  C、  D、

【答案】B

【解析】函数的定义域为，又，则为奇函数，排除C、D，

∵在上恒成立，而在上恒成立，

∴当时，，故选B。

4．如图虚线网格的最小正方形边长为，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】还原三视图为几何体的直观图可知如图：

是圆柱的一半，可得该几何体的体积为：

，故选C。

5．已知实数、满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】表示可行域中的点到原点距离的平方，

由图可知点到原点的距离最大，，

原点到直线的距离为可行域中点到原点距离的最小值，

设距离为，则，，，故选B。

6．已知等差数列的通项公式为()，当且仅当时，数列的前项和最大，则当时，(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】由题意可知，，解得，又，则，∴，

∴，∴，

即，或(舍)，故选A。

7．已知，则中的系数为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，

则，

的通项公式，

则两个通项公式为，当时，

，当时，

则的系数为，故选C。

8．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】如图建系，则、、，

则，，设()，

则()，则，，

∴，，

∴，

当时取最大值，故选B。

9．已知函数()关于对称，将函数图像向左平移()个单位后与函数重合，则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵关于对称，∴，即()，

又，∴，，

将向左平移个单位，，

此时与重合，

∴有()，∴的最小值为，故选A。

10．互相垂直的直线、(不与坐标轴垂直)过抛物线：的焦点，且分别与抛物线交于点、、、，记、的中点分别为、，则线段的中点的轨迹方程为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】由题意，抛物线：的焦点，

设直线、的方程分别为和，

、、、，

联立得，∴、，

联立得，∴、，

∴、，∴，

∴的轨迹方程为，故选A。

11．南宋著名数学家杨辉在年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就。在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前项和为，，将数列中的整数项组成新的数列，则的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】根据“杨辉三角"的性质可得数列前项和为：，

∴，

∴此数列为、、、、、，

其中的整数项为、、、、、、……，

即、、、、、、……，

其规律为各项之间以、、、、、、……递增，

∴数列是奇数项以为公差，为首项的等差数列，

偶数项以为公差，为首项的等差数列，

即，，由得，

∴，故选D。

12．已知函数()有两个极值点、()，则的最大值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】的定义域为，，设，

由题意可知在内有两个不等的实数根、()，

∴，∴需满足，解得，

又∵、，∴，

，

当且仅当时，等号成立，

故的最大值为，故选D。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线在处的切线方程为       。

【答案】

【解析】由求导可得，

故在处切线斜率为，∴切线方程为。

14．若，则        。

【答案】

【解析】∵，∴，则，

∴。

15．某学校进行足球选拔赛，有甲、乙、丙、丁四个球队，每两队要进行一场比赛。记分规则为胜一场得分，平一场得分，负一场得分。若甲胜乙、丙、丁的概率分别是、、，甲负乙、丙、丁的概率分别是、、，最后得分大于等于为胜出，则甲胜出的概率为         。

【答案】

【解析】两队进行一场比赛，一队胜、平、负是互斥事件，

∴由题意可知：甲平乙、丙，丁的概率分别是、、，

∴甲胜的概率为。

16．在四棱锥中，底面为正方形，，为等边三角形，线段的中点为，若，则此四棱锥的外接球的表面积为        。

【答案】

【解析】如图，设为中点，为正方形中心，

连、，，

设四棱锥的外接球的球心为，半径为，

则球心一定在过点且垂直于底面的垂线上，∴，，

∵是边长为的等边三角形，∴，

又、，∴，∴，

又，∴为外心，

则球心一定在过点且垂直于侧面的垂线上，∴，∴，

∴，又∵，∴，

∴。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

某公司统计了年期间该公司年收入的增加值(万元)以及相应的年增长率，所得数据如表所示：

(1)通过表格数据可知，可用线性回归模型拟合年的年收入增加值与代码的关系，求增加值关于代码的线性回归方程；

(2)从哪年开始连续三年公司年收入増加值的方差最大？(不需要说明理由)

附：对于一组数据、、…、，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，。

【解析】(1)依题意，，                                              1分

，                                 2分

，           4分

，                                                6分

，故，                       8分

故所求的同归方程为；                                        9分

(2)年。                                                                 12分

18．（12分）

如图所示，在四棱锥中，，，，，，，为的中点。

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的余弦值。

【解析】(1)∵，，，

∴，∴，∴，                       2分

在中，，，∴，∴，         3分

又、平面，，∴平面；                 4分

(2)由(1)得、，，又，∴平画，

以为坐标原点，、、为，，轴如图建立空直角坐标系，        5分

∴、、，，，

又∵为的中点，则，                                   6分

由图可知平面的法向量为，又，             8分

设直线与平面所成角的平面角为，

则，                   11分

则。                                                12分

19．（12分）

已知在锐角中，三个内角、、所对的边分别为、、，满足。

(1)求的值；

(2)若，求的取值范围。

【解析】(1)在中，，

由得：，又由正弦定理得：，          2分

即，    4分

即，解得，∴；                5分

(2)在锐角中，，，，

由正弦定理可得，                                        6分

∴

       ，             9分

∵，∴，而，，                   10分

又正切函数在上单调递增，∴，                       11分

从而，即的取值范围是。           12分

20．（12分）

已知圆： ，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为。

(1)求曲线的方程；

(2)若、为曲线上的两点，记、，且，试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。

【解析】(1)取，连接，设动圆的圆心为，∵两圆相内切，

∴，又， ∴，     2分

∴点的轨是以、为焦点的椭圆，其中，，

∴、、，∴的轨迹方程为；             4分

(2)当轴时，有、，由得，

又，∴、，

∴，                                  6分

当与轴不垂直时，设直线的方程为，

联立得：，                          8分

则，由得，即，

∴，

整理得：，∴，                 10分

∴，

综上所述，的面积为定值。                                          12分

21．（12分）

已知函数，函数的导函数为，()。

(1)求函数的单调区间

(2)若函数存在单递增区间，求的取值范围；

(3)若函数存在两个不同的零点、，且，求证：。

【解析】(1)的定义域为，，                     1分

令解得，

当时，，此时在上单调递减，                  2分

当时，，此时在上单调递增，                    3分

∴的单调递减区间为，单调递增区间为；                 4分

(2)，

定义域为，，                                      5分

若函数存在单递增区间，只需在上有解，

即存在使得，

令，则，令解得，                      6分

当时，则在上单调递增，

当时，则在上单调递减，

则时取极大值也是最大值，∴，∴，

∴的取值范围为；                                                 8分

(3)由(2)可知()，令可知，

设，则，令解得，                     9分

当时，则在上单调递增，

当时，则在上单调递减，

∴，又，且当时，                 10分

∴当时，直线与的图像有两个交点，

即有两个不同的零点、，∵，∴，，

∴，，∴。                                          12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为。

(1)求的普通方程和圆的直角坐标方程；

(2)已知点，直线与圆相交于、两点，求。

【解析】(1)将直线的参数方程消去参数得直线的普通方程为，   2分

将和代入到中，

则圆的直角坐标方程为，即；               5分

(2)将的参数方程 (为参数)代入到圆的直角坐标方程，

得，设这个方程的两个实根分别为、，                       7分

则由参数的几何意义即知，。                          10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知()。

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，不等式恒成立，求的取值范围。

【解析】(1)当时，，                           1分

①当时，不等式可化为，解得，∴，2分

②当时，不等式可化为，解得，∴，3分

③当时，不等式可化为，解得，∴，       4分

综上可知，原不等式的解集为；                                 5分

(2)当时，不等式，即，整理得，

则，即，                            6分

又，故分离参数可得，                                       7分

令函数()，显然在上单调递减，∴，

当时，(当且仅当时等号成立)，                    9分

∴实数的取值范围为。                                               10分