高中数学高考黄金卷04（理）（新课标Ⅰ卷）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷04（理）（新课标Ⅰ卷）（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】∵，，∴，故选B。
2．已知复数的实部与虚部之和为，则实数的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】由题意可得：，
∵实部与虚部之和为，∴，解得，故选B。
3．某装修公司为了解客户对照明系统的需求，对照明系统的两种设计方明系统评分面达图案在稳固性、创新性、外观造型、做工用料以及成本五个方面的满意度评分进行统计，根据统计结果绘制出如图所示的雷达图，则下列说法正确的是( )。
A、客户对两种设计方案在外观造型上没有分歧
B、客户对设计一的满意度的总得分高于设计二的满意度的总得分
C、客户对设计二在创新性方面的满意度高于设计一在创新性方面的满意度
D、客户对两种设计方案在稳固性和做工用料方面的满意度相同
【答案】B
【解析】根据雷达图可列表如下：
根据表格分析可得A、C、D错误，选项B正确，故选B。
4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵。”则问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、土兵共有( )。
A、人
B、人
C、人
D、人
【答案】D
【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、土兵依次成等比数列，
且首项为，公比也是，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：
，故选D。
5．若双曲线(，)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】双曲线(，)的一个焦点到一条渐近线的距离为，则，
则，又，则，则，，
渐近线方程为，即，故选A。
6．如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分。若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】设六角星的中心为点，分别将点与两个大等边三角形的六个交点连接起来，
则将中间的正六边形分成了六个全等的小等边三角形，
且与阴影部分六个小等边三角形也是全等的，∴所求的概率，故选C。
7．下列图像中，不可能是函数(，且)大致图像的是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】考虑函数图像过原点的情况，必有，，
令，可得，，
可知当时，，函数图像单调递增，
当时，，函数图像单调递减，且函数定义域为，∴函数图像大致为A，
同理，令、可得，图像大致为D，
对于图像B，由于图像过原点，必有，，
而、，图像为A，、，图像为 D，
∴图像B不可能成为函数的图像，
对于图像 C，根据图像特征，，，
可选择、的，且满足单调性，
不唯一，例如，可得，图像大致为C，
故选B。
8．已知(其中)的展开项中的常数项为，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】原二项式的通项公式为，
则常数项为，则，
则，故选D。
9．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】，，，否，
，，，否，
，，，否，
，，，是，退出循环，
则，，故选A。
10．已知某曲线上一动点到点与到直线的距离相等，经过点的直线与该曲线交于、两点，且点恰为的中点，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】平面内与一个定点和一条定直线：的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，
定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，
∵焦点在轴正半轴上，设抛物线方程为，焦点坐标，
则，∴，则，
分别过、、向准线：做垂线，
垂足分别为、、，
连接、，则，
又根据梯形中位线定理可知：，
又，则，选D。
11．设，若，恒成立，则实数的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】将不等式变形为，
当时，不等式恒成立；
当时，不等式变形为，
记，则，而，
因此在上单调递增，故，∴，故，
∴的取值范围是，故选A。
12．已知正四面体内接于球，点是底面三角形一边的中点，过点作球的截面，若存在半径为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】如图，在正四面体中，设顶点在底面的射影为，
则球心在上，在上，连接、，
设正四面体的棱长为，
则正四面体的高，
设外接球半径为，
在中，，即，解得，
∴在中，，
过点作外换球的截面，只有当截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，
此时截面圆的半径为，
最大截面圆为过球心的大圆，半径为，
由题设存在半径为的截面圆，∴，解得，故选C。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，且与平行，那么 。
【答案】
【解析】∵、，且与平行，
∴，解得。
14．为响应国家脱贫攻坚的号召，某县抽调甲、乙、丙等六名大学生村官到、、三个村子进行扶贫，每个村子去两人，且甲不去村，乙和丙不能去同一个村，则不同的安排种数为 。
【答案】
【解析】有三种情况，当甲、乙、丙人在不同村，且甲不在村时，有种安排方法，
当甲和乙在同村且不在村时，有种安排方法，
当甲和丙在同村且不在村时，有种安排方法，
故总共有种安排方式。
15．定义在上的奇函数，当时，，则函数()的所有零点之和为 。
【答案】
【解析】∵当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
画出时的图像，再利用奇函数的对称性，画出时的图像，如图，
则直线与的图像有个交点，
设交点的横坐标从左到右依次为、、、、，
则，，
∵时，，∴，又，
则当时，，
则满足，解得，
∴。
16．在中，角、、的对边分别为、、，，，若，则 ， 。(本题第一空2分，第二空3分)
【答案】
【解析】由正弦定理得，又由题意可知得，即，
则，即，解得，又，∴，
由余弦定理得，∴；
由得，∵，∴，
∴，，
∴。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）
已知数列的前项和为，，，且(，)。
(1)设，求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和。
【解析】(1)由已知得，即()， 2分
∴()， 3分
又∵，且，故数列是首项为、公比为的等比数列； 4分
(2)由(1)知，则，∴， 5分
设， 6分
， 7分
两式相减得：， 9分
解得， 10分
∴数列的前项和。 12分
18．（12分）
某地区为了了解人民群众对新型冠状病毒肺炎认知情况，调查了年龄在的人群，通过调查数据表明，新型冠状病毒肺炎的感染是人民群众较为关心的问题，参与调查的人群中能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的约占。现从参与调查并关注新型冠状病毒肺炎问题的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到了如图所示的频率分布直方图。
(1)求这人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
(2)现在要从年龄较大的第、组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行访谈，求第组恰好抽到人的概率；
(3)若从众多参与调查的人中任意选出人，设能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的人数为随机变量，求的分布列与数学期望。
【解析】(1)由，得， 1分
∴平均数为(岁)， 2分
设中位数为岁，则，解得，
即中位数约为岁； 3分
(2)第、组抽取的人数分别为人、人， 4分
设第组恰好抽到人为事件，则； 5分
(3)从众多参与调查的人中任意选出人，能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的概率为，
可取、、、，服从， 7分
则，， 9分
，， 11分
则的分布列为：
∴。 12分
19．（12分）
如图所示，在四棱锥中，，，，且，。
(1)证明：平面；
(2)在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由。
【解析】(1)∵在底面中，，，且，
∴，，∴， 2分
又∵、，、平面，∴平面， 3分
又平面，∴，
∵，，∴，又，，
、平面，∴平面； 5分
(2)取中点，连，则、、三条直线两两垂直，
∴以为坐标原点，以、、为轴、轴、轴如图建系，
且由(1)可知、、、、， 6分
设()，，则，，
则，即，，，
则，则，， 8分
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，则， 10分
又平面的法向量为，
则，
解得(舍)或(取)，
∴存在满足要求的点，且。 12分
20．（12分）
已知圆： ，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为。
(1)求曲线的方程；
(2)若、为曲线上的两点，记、，且，试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。
【解析】(1)取，连接，设动圆的圆心为，∵两圆相内切，
∴，又， ∴， 2分
∴点的轨是以、为焦点的椭圆，其中，，
∴、、，∴的轨迹方程为； 4分
(2)当轴时，有、，由得，
又，∴、，
∴， 6分
当与轴不垂直时，设直线的方程为，
联立得：， 8分
则，由得，即，
∴，
整理得：，∴， 10分
∴，
综上所述，的面积为定值。 12分
21．（12分）
已知函数。
(1)当时，求证：；
(2)求证：当时，方程有且仅有个实数根。
【解析】(1)令，
的定义域为，， 1分
当时，恒成立，∴在上单调递减，
∴当时，恒成立， 3分
故当时，； 4分
(2)设，
的定义域为，， 5分
设，的定义域为，， 6分
当时，恒成立，∴在上单调递减，
又，，∴存在唯一的使据， 7分
当时，则，∴在上单调递增，
当时，则，∴在上单调递减， 8分
∴在处取得极大值也是最大值，
又，，， 10分
∴在与上各有一个零点，
即当时，方程有且仅有个实数根。 12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线过点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系，曲线的极坐标方程为。
(1)求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
(2)直线和曲线交于、两点，求的值。
【解析】(1)∵直线的倾斜角为，过点，
∴直线的参数方程是(为参数)， 2分
将代入到得，
∴曲线的直角坐标方程为； 4分
(2)将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程得：， 5分
设、两点对应的参数为、，则、， 7分
则。 10分
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知，且。
(1)求证：；
(2)求证：。
【解析】(1)∵，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
∴， 2分
即，当且仅当时，等号成立，
∵， 4分
∴，即，则不等式得证； 5分
(2)∵，且，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立， 8分
∴，
即，则不等式得证。 10分评分类别
稳固性
创新性
外观造型
做工用料
成本
设计一得分
分
分
分
分
分
设计二得分
分
分
分
分
分