高中数学高考黄金卷05（理）（新课标Ⅰ卷）（解析版）

黄金卷05（新课标Ⅰ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，若，则实数的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵，又，∴，

又，∴、是方程的两个根，∴，故选A。

2．设复数满足，则复数(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】，∴，故选A。

3．已知实数、满足约束条件，则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】画可行域可知如图，令，则，作出直线并平移，

分析可知当平移后的直线经过点时取得最小值，

联立解得，则，

∴的最小值为，故选A。

4．已知、为双曲线：(，)的焦点，为与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】由题意知，在中，，

可设，则，由勾股定理得，，

又由得，∴，故选B。

5．现有人参加抽奖活动，每人依次从装有张奖票(其中张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第人抽完后结束的概率为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】将张奖票不放回地依取出共有种不同的取法，

若恰好在第次抽奖结束，则前三次共抽到张中奖票，第次抽到最后张中奖票，

共有种不同的取法，

∴概率，故选C。

6．如图的程序框图，若输入，，，则输出的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】此程序图的功能是输出的、、中的最小数，

又、、，

∴，输出的值为，故选C。

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】根据几何体的三祝图可知，还原到正方体如图，

该几何体是底面为直角形(上底是下底是，高是)，

高为的四棱推，

∴该几何体的体积，故选A。

8．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】如图建系，则、、，

则，，设()，

则()，则，，

∴，，

∴，

当时取最大值，故选B。

9．如图，点和点分别是函数(，，)图像上的最低点和最高点，若、两点间的距离为，则关于函数的说法正确的是(  )。

A、在区间上单调递增

B、在区间上单调递减

C、在区间上单调递减

D、在区间上单调递增

【答案】C

【解析】如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，设两垂线的交点为，

连接，可知为直角三角形，，，

则，易知，解得，，

∴，，得，，

∴，故，

由函数的图像经过点可得，

则，，又，则，∴，

∴的单调递增区间为，得()，

的单调递减区间为，得()，

∴当时在区间上单调递减，选C。

10．已知是双曲线(，)的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】设双曲线右焦点为，连接，

左焦点到渐近线的距离为，故，

在中，，由双曲线定义得，

在中，由余弦定理得，

整理得，即，又，

解得、，故双曲线方程为：，故选D。

11．函数恰有两个整数解，则实数的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】的定义域为，

恰有两个整数解等价于恰有两个整数解，

令，定义域为，，

令，易知为单调递减函数，，

则当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

又，，，

由题意可知：，∴，故选C。

12．现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面为正方形，，侧面为等边三角形，线段的中点为，若，则所需球体原材料的最小体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】如图，设为中点，为正方形中心，

连、，，

设四棱锥的外接球的球心为，半径为，

则球心一定在过点且垂直于底面的垂线上，

∴，，

∵是边长为的等边三角形，∴，

又、，∴，∴,

又，∴为外心，

则球心一定在过点且垂直于侧面的垂线上，

∴，∴，∴，

又∵，∴，

此时球心在四棱锥外，不是最小球，浪费材料，

可把底面的外心看做最小球的球心，此时的球不是四棱锥的外接球，

但这时候原材料最省，最小球的半径，，故选A。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知为第三象限角，且，则        。

【答案】

【解析】由已知得，则，由为第三象限角，得，

故，，∴。

14．已知，则二项式的展开式中的系数为        。

【答案】

【解析】，

则的展开式中的系数为：。

15．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程恰好有个不同的实数根，那么的值为        。

【答案】

【解析】做图像如图，令，则原方程可化为，

根据图像可知，原方程恰好有个不同的实数根，

只需有两个不等的实数根、，

由韦达定理得，，解得，，于是。

16．在中，点是的中点，，且，，则       ，       。(本题第一空2分，第二空3分)

【答案】

【解析】∵，∴，

在和中，分别由正弦定理得，，

又，∴两式相比得，即，

即，即，

则或，又，∴，故。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

已知正项数列的前项和为，且()，。

(1)证明数列是等差数列，并求其前项和。

(2)若，试求数列的前项和。

【解析】(1)当时，由得：

，                              1分

∴，                         2分

∴，                                      3分

∵数列是正项数列，∴，∴，                     4分

∴数列是等差数列，首项为，公差为，∴，                    5分

∴；                                                     6分

(2)由(1)知，，                                     8分

∴                   9分

。                                                           12分

18．（12分）

如图所示，在多面体中，四边形为正方形，四边形为矩形，平面平面，且。

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值。

【解析】∵平面平面，平面平面，

又∵四边形为正方形，四边形为矩形，

∴，∴平面，∴，                                2分

∴以为原点，以、、为、、轴建系，

则，，，，，，                    3分

(1)证明：，，，则，，

则，，又，

∴平面，∴平面；                          5分

(2)解：设平面的法向量为，设平面的法向量为，

，，        ，，

令，则，           令，，，         9分

则，，则，

设二面角的平面角为，经观察为锐角，则，

∴二面角的余弦值为。                                    12分

19．（12分）

某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出着十根对其直径(单位：)进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布。

(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；

(2)如果钢管的直径满足为合格品(合格品的概率精确到)，现要从根该种钢管中任意挑选根，求次品数的分布列和数学期望。

(参考数据：若，则，，)。

【解析】(1)∵、、、，且，                 1分

∴，         3分

∴此事件为小概率事件，∴该质检员的决定有道理；                             4分

(2)∵、、、，

由题意可知钢管直径满足：为合格品，                       5分

故试钢管为合格品的概率的为，根管中，合格品根，次品根，         6分

任意挑选根，则次品数的可能取值为：、、、，

，，

，，                    10分

则次品数的分布列为：

则次品数的数学期望。   12分

20．（12分）

如图所示，已知椭圆：()的左、右焦点分别为、，过点且与轴垂直的直线与圆：交于点(点在轴上方)，与椭圆交于点(点在轴下方)，且满足

。

(1)若的面积为，求椭圆的标准方程；

(2)过点作椭圆的切线，与直线交于点，其中，试判断以线段为直径的圆是否经过点，并说明理由。

【解析】(1)设，则直线的方程为，与联立得，       1分

由得，

∴，则，又，∴，                         2分

故，，                                            3分

由，解得，故，

∴椭圆的标准方程为；                                          4分

(2)由(1)知，椭圆的方程为，，                            5分

设切线的方程为，                                         6分

由得：，                8分

∴，                                 9分

解得或，其中时不满足，舍去，                          10分

又，∴，即，

故以线段为直径的圆经过点。                                         12分

21．（12分）

已知函数(且)。

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个零点、()，且，证明：。

【解析】(1)的定义域为，，                                    1分

当时，恒成立，则在上单调递减，                    2分

当时，令，

当时，，则在上单调递减，

当时，，则在上单调递增；           4分

(2)由(1)知，，，

依题意可知，解得，

由得：()，

，，

由及得，即，                   6分

欲证，只要，注意到在上单调递减，且，

只要证明即可，由得，          7分

∴

，，                      9分

令，，                               10分

则，则在上是递增的，          11分

于是，即，综上。                      12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

已知点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点的轨迹为曲线。

(1)求曲线和的极坐标方程；

(2)设直线：，射线：，，若与曲线，直线分别交于、两点，求的最大值。

【解析】(1)将、代人得曲线的极坐标方程，

即，即，                          2分

设，则，代入曲线的极坐标方程得曲线的极坐标方程，

即；                                          5分

(2)直线的极坐标方程为，设、，

则、，                                            6分

∴

       ，         9分

∴的最大值为。                                            10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知、、为正数，且满足。证明：

(1)；

(2)。

【解析】证明：(1)∵、、为正数，，

∴               2分

                     3分

，          4分

∴；                                            5分

(2)由、、

，

将上述三个不等式相加得：，                 7分

又、、，

同理，将上述三个不等式相加得：，                9分

而，∴，当且仅当时，等号成立。 10分