高中数学高考黄金卷05（文）（新课标Ⅰ卷）（解析版）

黄金卷05（新课标Ⅰ卷）

文科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】∵，∴，∵，∴，故选B。

2．复数(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】，故选A。

3．函数的大致图像是(  )。

A、   B、 C、D、

【答案】B

【解析】由题意可知的定义域为，∵，

∴为奇函数，其图像关于原点中心对称，∴C不对，

∵，∴A不对，又，故选B。

4．射线测厚技术原理公式为，其中、分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数。工业上通常用镅()低能射线测量钢板的厚度。若这种射线对钢板的半价层厚度为，钢板的密度为，则钢板对这种射线的吸收系数为(  )。

(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到)

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】由题意可知、、，代入得：，

即，即，故选C。

5．若函数的定义域为，则的单调递增区间为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由题意可知的解集为，即和是方程的两个根，

利用韦达定理得：，，解得，，

∴，设，则在上单调递减，

在上单调递增，在上单调递减，

则在上单调递增，故选D。

6．已知双曲线：(，)的右焦点为，左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且，的周长为，则该双曲线的渐近线方程为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】∵，∴，∴，又∵，∴，

又∵的周长为，∴，即，

∴，∴，，∴双曲线的渐近线方程为，故选C。

7．宋元时期数学名若《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图，若输人的、分别为、，则输出的(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】模拟程序运行，可得：、，

，，，不满足，执行循环，

，，，不满足，执行循环，

，，，不满足，执行循环，

，，，满足，退出循环，输出的值为，故选C。

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】根据几何体的三祝图可知，还原到正方体如图，

该几何体是底面为直角形(上底是下底是，高是)，高为的四棱推，

∴该几何体的体积，故选A。

9．已知函数()关于对称，将函数图像向左平移()个单位后与函数重合，则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵关于对称，∴，即()，

又，∴，，

将向左平移个单位，，此时与重合，

∴有()，∴的最小值为，故选A。

10．南宋著名数学家杨辉在年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就。在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前项和为，，将数列中的整数项组成新的数列，则的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】根据“杨辉三角"的性质可得数列前项和为：，

∴，

∴此数列为、、、、、，

其中的整数项为、、、、、、……，

即、、、、、、……，

其规律为各项之间以、、、、、、……递增，

∴数列是奇数项以为公差，为首项的等差数列，

偶数项以为公差，为首项的等差数列，

即，，由得，

∴，故选D。

11．函数恰有两个整数解，则实数的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】的定义域为，

恰有两个整数解等价于恰有两个整数解，

令，定义域为，，

令，易知为单调递减函数，，

则当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

又，，，

由题意可知：，∴，故选C。

12．已知正四面体内接于球，点是底面三角形一边的中点，过点作球的截面，若存在半径为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】如图，在正四面体中，设顶点在底面的射影为，

则球心在上，在上，连接、，

设正四面体的棱长为，

则正四面体的高，

设外接球半径为，

在中，，即，解得，

∴在中，，

过点作外换球的截面，只有当截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，

此时截面圆的半径为，

最大截面圆为过球心的大圆，半径为，

由题设存在半径为的截面圆，∴，解得，故选C。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面单位向量、互相垂直，且平面向量，，，若，则实数         。

【答案】

【解析】，∵，∴，即，

即，解得。

14．某学校进行足球选拔赛，有甲、乙、丙、丁四个球队，每两队要进行一场比赛。记分规则为胜一场得分，平一场得分，负一场得分。若甲胜乙、丙、丁的概率分别是、、，甲负乙、丙、丁的概率分别是、、，最后得分大于等于为胜出，则甲胜出的概率为         。

【答案】

【解析】两队进行一场比赛，一队胜、平、负是互斥事件，

∴由题意可知：甲平乙、丙，丁的概率分别是、、，

∴甲胜的概率为。

15．已知数列的各项均为负数，其前项和为，且满足，则        。

【答案】

【解析】由，可得，

两式相减得：，

即，∴，

由已知，∴，∴数列为等差数列，公差为，

再由，令得，即，∴或(舍去)，

∴，因此。

16．已知抛物线：，其准线与轴交于点，过其焦点的直线与抛物线相交于、两点，记直线、的斜率分别为、，则的最小值为        。

【答案】

【解析】∵、，设、，直线的方程为，

联立得：，∴、，

∵、，

∴

，

∴当且仅当时，的最小值为。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

如图，在三棱柱中，平面，，是的中点，。

(1)求证：平面平面；

(2)求点到平面的距离。

【解析】(1)由平面，平面，则，                          1分

由，是的中点，则，                                 2分

又，则平面，                                     3分

又平面，∴平面平面；                            4分

(2)如图，取的中点，连结，设点到平面的距离为，            5分

由题意可知，，，              7分

∴，，          8分

又，                            10分

∴点到平面的距离。                           12分

18．（12分）

已知的内角、、对应的边分别为、、，。

(1)求角的大小；

(2)如图，设为内一点，，，且，求的最大值。

【解析】(1)在中，，∵，

∴由正弦定理得：，    2分

∴，

∴，

即，                                              4分

又，，∴，又，∴；                 5分

(2)由(1)与得，                                     6分

由余弦定理得， 8分

又

，    10分

∴，(当且仅当时取等号)，

∴的最大值为。                                               12分

19．（12分）

某大学为调研学生在、两家餐厅用餐的满意度，从在、两家都用过餐的学生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为分。整理评分数据，将分数以为组距分为组：、、、、、，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表：

(1)在抽样的人中，求对餐厅评分低于的人数；

(2)从对餐厅评分在范围内的人中随机选出人，求人中恰有人评分在范围内的概率。

(3)如果从、两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由。

【解析】(1)由餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于分的频率为：

，                                            2分

∴对餐厅评分低于的人数为人，                              4分

(2)对餐厅评分在范内的有人，设为、，

对餐厅评分在范围内的有人，设为、、，

从这人中随机选出人的选法为：

、、、、、、、、、，共种，                6分

其中恰有人评分在范围内的选法包括：

、、、、、，共种，                                     8分

故人中恰有人评分在范围内的概率为，                      9分

(3)从两个餐厅得分低于分的人数所占的比例来看，由(1)得，抽样的人中，

餐厅评分低于的人数为，

∴餐厅评分低于分的人数所占的比例为，                            10分

餐厅评分低于分的人数为，

∴餐厅得分低于分的人数所占的比例为，                             11分

∴会选择餐厅用餐。                                                      12分

20．（12分）

记抛物线：()的焦点为，过点的动直线与的交点为、。当的斜率为时，。

(1)求抛物线的方程；

(1)若，()，求的取值范围。

【解析】(1)抛物线的焦点，直线的方程为，                            1分

联立直线与抛物线的方程得：，                  2分

设、，则，，

则，                                             3分

∵，∴，即，解得，

∴抛物线的方程为；                                               4分

(2)由(1)知，焦点，由得：，，

由得，又、，

故，代入得，即，，        6分

①当时，点，此时，，

∴，记，则，

当时，，故在上单调递减，

∴的取值范围是，                                          9分

②当时，点，此时，，

∴，同理，当时，在上单调递增，

∴的取值范围是，                                            11分

综上，的取值范围是。                                 12分

21．（12分）

已知函数(且)。

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个零点、()，且，证明：。

【解析】(1)的定义域为，，                                    1分

当时，恒成立，则在上单调递减，                    2分

当时，令，

当时，，则在上单调递减，

当时，，则在上单调递增；           4分

(2)由(1)知，，，

依题意可知，解得，

由得：()，

，，

由及得，即，                   6分

欲证，只要，注意到在上单调递减，且，

只要证明即可，由得，          7分

∴

，，                      9分

令，，                               10分

则，则在上是递增的，          11分

于是，即，综上。                      12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的方程为(为参数)，直线的方程为。以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求曲线和直线的极坐标方程；

(2)已知射线的极坐标方程是，且与曲线和直线在第一条限的交点分别为、，求的长。

【解析】(1)曲线：，化为极坐标方程为：，                     2分

直线的极坐标方程为，                                    4分

(2)设点，则有，解得，即，       6分

设点，

则有，解得，即，              8分

∴。                                          10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数。

(1)求的解集；

(2)若恒成立，求实数的最大值。

【解析】(1)由得，解得，                         3分

∴的解集为；                                                4分

(2)恒成立，即恒成立，                                    5分

当时，，                                                         6分

当时，原不等式可化为，

设，即，                                         8分

又(当且仅当即时等号成立)，

∴，即实数的最大值为。                                      10分