高中数学高考黄金卷06（理）（新课标Ⅰ卷）（解析版）

黄金卷06（新课标Ⅰ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】∵，∴，

∵，故选B。

2．已知复数满足，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】∵，则，故选B。

3．霍兰徳职业能力测试问卷可以为大学生在择业方面提供参考，对人的能力兴趣等方面进行评估。某大学随机抽取名学生进行霍兰徳职业能力测试问卷测试，测试结果发现这名学生的得分都在内，按得分分成组：、、 、、，得到如图所示的频率分布直方图，则这名同学得分的中位数为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】设中位数为，根据频率分布直方图可得测试结果位于的频率为：

，

位于的頻率为，

则这名学生得分的中位数位于之同，

故有，解得，故选A。

4．若，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】∵，∴，则，

∴，故选C。

5．过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】由题意得，则圆心到直线的距离为，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时直线与圆相切，不合题意，舍去，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

则，解得，

故选A。

6．宋元时期数学名若《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图，若输人的、分别为、，则输出的(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】模拟程序运行，可得：、，

，，，不满足，执行循环，

，，，不满足，执行循环，

，，，不满足，执行循环，

，，，满足，退出循环，输出的值为，故选C。

7．设实数、满足约束条件，则上的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】画可行域如图，表示点与点的连线的斜率，

又、、，

则，，故选D。

8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】还原空间几何体如图，

可知该几何体为底面是正三角形的直三棱柱中的一个五面体，

其中为的中点，直三棱柱的高为，底面正三角形的边长为，高为，

故该几何体的体积为，故选C。

9．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想。世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对。其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”。在不超过的素数中，任选两个不同的素数、()，令事件，，，记事件、、发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】不超过的素数有、、、、、、、、、，共10个，

随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，

事件发生的样本点为、、、共4个，

事件发生的样本点为、、、共4个，

事件发生的样本点为、、、、、、

、、、，共个，

∴，，故，故选D。

10．关于函数有下述四个结论：①是偶函数：②是周期为的函数；③在区间上单调递减；④的最大值为。其中正确结论的编号为(  )。

A、①②③

B、①②④

C、①③④

D、②③④

【答案】A

【解析】函数的定义域为，由，

∴是偶函数，①正确，

，

∴是周期为的函数，②正确，

当时，，

则在区间上单调递减，③正确，

当时，，

当时，，

又由②知是周期为的函数，∴的值域为，④正确，

故选A。

11．如图，三棱锥中，，，且，，，是中点，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】取的中点，的中点，连接、、，

∵，∴是的中点、是的中点，

∴，∴为异面直线与所成的角或其补角，

又∵，，且平面，

∴在中，，

在中，，

在中由余弦定理得，

在中由余弦定理得，

∴，

∴异面直线与所成角的余弦值为，故选B。

12．已知函数()有两个极值点、()，则的最大值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】的定义域为，，设，

由题意可知在内有两个不等的实数根、()，

∴，∴需满足，解得，

又∵、，∴，

，

当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故选D。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知与均为单位向量，且，则与的夹角是        。

【答案】

【解析】∵与是单位向量，∴，设向量、的夹角为，

∵，∴，即，

∴，又，∴。

14．的展开式中的系数为，则         。

【答案】

【解析】其通项公式为，

令，则，则，解得。

15．某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情。某医院呼吸科共有名医生，名护士，其中名医生为科室主任，名护士为护士长。根据组织安排，从中选派人去支援抗疫一线，要求医生和护士均有，且科室主任和护士长至少有人参加，则不同的选派方案共有     

种（用数字作答）。

【答案】

【解析】选派人去支援抗疾一线，方案有下列三种情况：

(1)科室主任和护士长都参加，有(种)选派方案，

(2)科室主任参加，护士长不参加，有(种)选派方案，

(3)科室主任不参加，护士长参加，有(种)选派方案，

故符合条件的选派方案有(种)。

16．抛物线()的焦点为，准线为，、是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是        。

【答案】

【解析】设、，如图所示，根据抛物线的定义，

可知、，

在梯形中，有，

在中，，

又∵，∴，

∴，故的最大值是。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

已知等比数列的前项和为，且()。

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前项和。

【解析】(1)当时，，                                                     1分

当时，，即，                        2分

∴等比数列的公比是，∴，即，故，             3分

故数列是首项为，公比为的等比数列，；                        4分

(2)由(1)知，，又，∴，故，∴，        6分

则，                                  7分

    ，                                8分

两式相减得：

，        11分

∴。                                                       12分

18．（12分）

某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了位顾客购物的相关数据如下表：

统计结果显示位顾客中一次购物款不低于元的顾客占，该商场每日大约有名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于元的顾客发放纪念品。

(1)试确定、的值，并估计每日应准备纪念品的数量；

(2)现有人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望。

【解析】(1)由已知，位顾客中购物款不低于元的顾有：

，解得，则，        2分

该商场每日应准备纪念品的数量约为；                        4分

(2)由(1)可知人购物获得纪念品的频率即为概率，                       5分

故人购物获得纪念品的数量服从二项分配，                       6分

则，

，

，

，

，                                          10分

则的分布列为：

的数学期望为。                                           12分

19．（12分）

如图所示，已知在三棱锥中，，，，、分别是、的中点，是边上一点，且()，平面与平面所成的二面角为。

(1)证明：平面平面；

(2)是否存在，使？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。

【解析】(1)证明：如图，选接，∵，点为的中点，∴，          1分

又，∴，而，

∴≌，∴，                                      2分

又，∴平面，                                  3分

∵平面，∴平面平面；                          4分

(2)如图建立空间直角坐标系，则，

∴、、、、

、，                                        5分

设平面的法向量，∵、，

又，∴，

设，则，，∴，                             7分

设平面法向量，∵、，

又，∴，

设，则，，∴，                         9分

∵，∴为锐角，，

∴，                            10分

化简得，∴或(舍去)，                          11分

∴存在使。                                                  12分

20．（12分）

已知函数，，。

(1)设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；

(2)对(1)中的和任意的、，证明：。

【解析】(1)，的定义域为，∴，      1分

①当时，令，解得，

∴当时，，在上递减，

当时，，在上递增，

∴是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点，

∴最小值，                         4分

②当时，恒成立，在上递增，无最小值，

故的最小值的解析式为()；                  6分

(2)由(1)知，对任意的、，

，①；                                8分

，②                           9分

，③               10分

故由①②③得。                             12分

21．（12分）

已知椭圆：()的右焦点与抛物线的焦点重合，以椭圆的短轴为直径的圆过椭圆的焦点。

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线交椭圆于、两点，直线：与椭圆在第一象限的交点为点，，求直线的方程。

【解析】(1)∵抛物线的焦点为，∴，                               1分

由椭圆的短轴为直径的圆过圆的焦点，则，                         2分

又，得，，                                          3分

∴椭圆的标准方程为；                                          4分

(2)由(、)，得，                                     5分

由得，

即，可得，                               6分

①当垂直轴时，，此时满足题意，

∴此时直线的方程为：，                                            7分

②当不垂直轴时，设、，直线的方程为，

联立消去得：，

则，，                                       9分

代入可得：，

代入和得：，

化简得，解得，

经检验满足题意，则直线的方程为，                          11分

综上所述，直线的方程为或。                           12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为。

(1)化圆的极坐标方程为直角坐标标准方程；

(2)设点，圆心，若直线与圆交手、两点，求的最大值。

【解析】(1)圆的极坐标方程为，

∴，                                                 2分

∵，，，∴，

∴圆的直角坐标标准方程为；                        4分

(2)由(1)知圆的圆心的直角坐标为，则，∴，

∴直线的参数方程为(为参数，)，                  6分

将直线的参数方程代入得：，

设点、对应的参数方程为、，则，， 8分

，

∴当时，取得最大值为。                              10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数。

(1)求的解集；

(2)若恒成立，求实数的最大值。

【解析】(1)由得，解得，                         3分

∴的解集为；                                                4分

(2)恒成立，即恒成立，                                    5分

当时，，                                                         6分

当时，原不等式可化为，

设，即，                                         8分

又(当且仅当即时等号成立)，

∴，即实数的最大值为。                                      10分