高中数学高考黄金卷06（理）（新课标Ⅰ卷）（原卷版）

黄金卷06（新课标Ⅰ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

2．已知复数满足，则(  )。

A、

B、

C、

D、

3．霍兰徳职业能力测试问卷可以为大学生在择业方面提供参考，对人的能力兴趣等方面进行评估。某大学随机抽取名学生进行霍兰徳职业能力测试问卷测试，测试结果发现这名学生的得分都在内，按得分分成组：、、 、、，得到如图所示的频率分布直方图，则这名同学得分的中位数为(  )。

A、

B、

C、

D、

4．若，则(  )。

A、

B、

C、

D、

5．过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为(  )。

A、

B、

C、

D、

6．宋元时期数学名若《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图，若输人的、分别为、，则输出的(  )。

A、

B、

C、

D、

7．设实数、满足约束条件，则上的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

9．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想。世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对。其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”。在不超过的素数中，任选两个不同的素数、()，令事件，，，记事件、、发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是(  )。

A、

B、

C、

D、

10．关于函数有下述四个结论：①是偶函数：②是周期为的函数；③在区间上单调递减；④的最大值为。其中正确结论的编号为(  )。

A、①②③

B、①②④

C、①③④

D、②③④

11．如图，三棱锥中，，，且，，，是中点，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(  )。

A、

B、

C、

D、

12．已知函数()有两个极值点、()，则的最大值为(  )。

A、

B、

C、

D、

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知与均为单位向量，且，则与的夹角是        。

14．的展开式中的系数为，则         。

15．某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情。某医院呼吸科共有名医生，名护士，其中名医生为科室主任，名护士为护士长。根据组织安排，从中选派人去支援抗疫一线，要求医生和护士均有，且科室主任和护士长至少有人参加，则不同的选派方案共有     

种（用数字作答）。

16．抛物线()的焦点为，准线为，、是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是        。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

已知等比数列的前项和为，且()。

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前项和。

18．（12分）

某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了位顾客购物的相关数据如下表：

统计结果显示位顾客中一次购物款不低于元的顾客占，该商场每日大约有名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于元的顾客发放纪念品。

(1)试确定、的值，并估计每日应准备纪念品的数量；

(2)现有人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望。

19．（12分）

如图所示，已知在三棱锥中，，，，、分别是、的中点，是边上一点，且()，平面与平面所成的二面角为。

(1)证明：平面平面；

(2)是否存在，使？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。

20．（12分）

已知函数，，。

(1)设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；

(2)对(1)中的和任意的、，证明：。

21．（12分）

已知椭圆：()的右焦点与抛物线的焦点重合，以椭圆的短轴为直径的圆过椭圆的焦点。

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线交椭圆于、两点，直线：与椭圆在第一象限的交点为点，，求直线的方程。

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为。

(1)化圆的极坐标方程为直角坐标标准方程；

(2)设点，圆心，若直线与圆交手、两点，求的最大值。

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数。

(1)求的解集；

(2)若恒成立，求实数的最大值。