高中数学高考黄金卷06（理）（新课标Ⅲ卷）（解析版）

黄金卷06（新课标Ⅲ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】∵，∴，∵，∴，故选B。

2．已知为虚数单位，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，故选C。

3．某装修公司为了解客户对照明系统的需求，对照明系统的两种设计方明系统评分面达图案在稳固性、创新性、外观造型、做工用料以及成本五个方面的满意度评分进行统计，根据统计结果绘制出如图所示的雷达图，则下列说法正确的是(  )。

A、客户对两种设计方案在外观造型上没有分歧

B、客户对设计一的满意度的总得分高于设计二的满意度的总得分

C、客户对设计二在创新性方面的满意度高于设计一在创新性方面的满意度

D、客户对两种设计方案在稳固性和做工用料方面的满意度相同

【答案】B

【解析】根据雷达图可列表如下：

根据表格分析可得A、C、D错误，选项B正确，故选B。

4．已知数列的前项和为，点在函数的图像上，则数列的通项公式为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】∵=，∴，∴当时，，

又∵，不满足上式，∴，故选D。

5．执行如图所示的程序框图，输出的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】根据程序框图可知：

6．设曲线()上任意一点处切线斜率为，则函数的部分图像可以为(  )。

A、      B、    C、    D、

【答案】D

【解析】∵()上任一点处切线率为，

∴，∴，

∴该函数为奇函数，且当时，，故选D。

7．设实数、满足约束条件，则上的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】画可行域如图，表示点与点的连线的斜率，

又、、，

则，，故选D。

8．近年来，黄金周给百姓的生活带来了巨大变化。不断增长的旅游需求，日益完善的旅游市场和四通八达的交通出行，让人们对黄金周热情不改。而随着社会老龄化程度的不断加深，老人出游人数也越来越多。据全国老龄办统计，国内游总人次中有两成是老年人。某旅行社在十一期间接待了大量的老年旅行团，旅行团人数的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下(阴影部分为损坏数据)，估算该旅行社团的平均人数和频率分布直方图中的矩形的高分别为(  )。

A、，

B、，

C、，

D、，

【答案】A

【解析】由茎叶图得，旅行团人数在的频数为，

由频率分布直方图可得，人数在的频率为，

可得旅行团总数为，则旅行团人数在的频率为，

在频率分布直方图中对应的高为，可得频率分布表如下：

∴平均人数为，故选A。

9．已知某曲线上一动点到点与到直线的距离相等，经过点的直线与该曲线交于、两点，且点恰为的中点，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】平面内与一个定点和一条定直线：的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，

定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，

∵焦点在轴正半轴上，设抛物线方程为，焦点坐标，

则，∴，则，

分别过、、向准线：做垂线，

垂足分别为、、，

连接、，则，

又根据梯形中位线定理可知：，

又，则，选D。

10．已知函数()，若集合含有个元素，则实数的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】，∵，∴，

解得：或()，

∴或()，

设直线与在上从左到右的第四个交点为，第五个交点为，

则(此时)，(此时)，

由于方程在上有且只有四个实数根，则，

即，解得，故选D。

11．如图，三棱锥中，，，且，，，是中点，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】取的中点，的中点，连接、、，

∵，∴是的中点、是的中点，

∴，∴为异面直线与所成的角或其补角，

又∵，，且平面，

∴在中，，

在中，，

在中由余弦定理得，

在中由余弦定理得，

∴，

∴异面直线与所成角的余弦值为，故选B。

12．已知、是函数()在上的两个零点，则、满足(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】由题意可知、，故，即，

设，，则，，∴，由得，

∴，令()，

则恒成立，

故在上单调递减，故，

故，即，∴，∴，

∴，故选B。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面向量、的夹角为，且、，则        。

【答案】

【解析】。

14．为响应国家脱贫攻坚的号召，某县抽调甲、乙、丙等六名大学生村官到、、三个村子进行扶贫，每个村子去两人，且甲不去村，乙和丙不能去同一个村，则不同的安排种数为        。

【答案】

【解析】有三种情况，当甲、乙、丙人在不同村，且甲不在村时，有种安排方法，

当甲和乙在同村且不在村时，有种安排方法，

当甲和丙在同村且不在村时，有种安排方法，

故总共有种安排方式。

15．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程恰好有个不同的实数根，那么的值为        。

【答案】

【解析】做图像如图，令，则原方程可化为，

根据图像可知，原方程恰好有个不同的实数根，

只需有两个不等的实数根、，

由韦达定理得，，解得，，于是。

16．已知椭圆：上有一点，若直线：交椭圆于不同的两点、，且，则         。

【答案】

【解析】设、，联立得，

得：，，，

则，，

∵，∴

，

解得或，又，故。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

平面四边形中，，，。

(1)若的周长为，求。

(2)若，，求四边形的面积。

【解析】(1)在中，∵，，的周长为，∴，       1分

又由余弦定理得：，      3分

则将代入得；                                            5分

(2)在中，由余弦定理得：，         7分

∴，又，，∴，，              9分

∴四边形的面积

。     12分

18．（12分）

七夕将至，某公司市场专员对该公司的一款名为“情意浓浓”的巧克力的单价(元)和单位时间内的销售量(件)之间的关系作出价格分析，所得数据如下：

其中价格(元)恰为公差为的等差数列的前项，且等差数列的前项的和为。

(1)求出对的回归直线方程；

(2)请根据(1)中的结果预测，当该款巧克力的单价为元时，单位时间内的销售量约为多少件？(结果四舍五入)

附：回归直线方程的倾斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，。

【解析】(1)∵数列是等差数列，∴，                 2分

则，，，，，                             4分

则，，∴，                     6分

∴，∴，                              7分

(2)当时，件。                                                12分

19．（12分）

如图所示，在四棱锥中，，，，且，。

(1)证明：平面；

(2)在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由。

【解析】(1)∵在底面中，，，且，

∴，，∴，                                   2分

又∵、，、平面，∴平面，     3分

又平面，∴，

∵，，∴，又，，

、平面，∴平面；                               5分

(2)取中点，连，则、、三条直线两两垂直，

∴以为坐标原点，以、、为轴、轴、轴如图建系，

且由(1)可知、、、、，       6分

设()，，则，，

则，即，，，

则，则，，              8分

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，，则，                      10分

又平面的法向量为，

则，

解得(舍)或(取)，

∴存在满足要求的点，且。                                 12分

20．（12分）

已知圆： ，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为。

(1)求曲线的方程；

(2)若、为曲线上的两点，记、，且，试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。

【解析】(1)取，连接，设动圆的圆心为，∵两圆相内切，

∴，又， ∴，     2分

∴点的轨是以、为焦点的椭圆，其中，，

∴、、，∴的轨迹方程为；             4分

(2)当轴时，有、，由得，

又，∴、，

∴，                                  6分

当与轴不垂直时，设直线的方程为，

联立得：，                          8分

则，由得，即，

∴，

整理得：，∴，                 10分

∴，

综上所述，的面积为定值。                                          12分

21．（12分）

已知函数，函数的导函数为，()。

(1)求函数的单调区间

(2)若函数存在单递增区间，求的取值范围；

(3)若函数存在两个不同的零点、，且，求证：。

【解析】(1)的定义域为，，                     1分

令解得，

当时，，此时在上单调递减，                  2分

当时，，此时在上单调递增，                    3分

∴的单调递减区间为，单调递增区间为；                 4分

(2)，

定义域为，，                                      5分

若函数存在单递增区间，只需在上有解，

即存在使得，令，则，

令解得，                                                      6分

当时，则在上单调递增，

当时，则在上单调递减，

则时取极大值也是最大值，∴，∴，

∴的取值范围为；                                                 8分

(3)由(2)可知()，令可知，

设，则，令解得，                     9分

当时，则在上单调递增，

当时，则在上单调递减，

∴，又，且当时，                 10分

∴当时，直线与的图像有两个交点，

即有两个不同的零点、，∵，∴，，

∴，，∴。                                          12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

已知点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点的轨迹为曲线。

(1)求曲线和的极坐标方程；

(2)设直线：，射线：，，若与曲线，直线分别交于、两点，求的最大值。

【解析】(1)将、代人得曲线的极坐标方程，

即，即，                          2分

设，则，代入曲线的极坐标方程得曲线的极坐标方程，

即；                                          5分

(2)直线的极坐标方程为，设、，

则、，                                            6分

∴

       ，         9分

∴的最大值为。                                            10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知()。

(1)当时，若，求的取值范围；

(2)若的解集是，求实数的值。

【解析】(1)当时，的几何意义是：

数轴上的点到点的距离与点到点的距离之和，

又∵和的距离恰好为，则综上的解集是；               4分

(2)∵，的几何意义是：

数轴上的点到点的距离与点到点的距离之和，                            5分

当时的根是，得：，解得，           6分

当时单调递增函数，满足当时，                 7分

当时的根是，得：，解得，               8分

当时单调递增函数，满足当时，                    9分

综上所述：实数的值是。                                                10分