高中数学高考黄金卷07（理）（新课标Ⅲ卷）（解析版）

黄金卷07（新课标Ⅲ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵，

，

∴，故选A。

2．复数(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】，故选A。

3．函数的大致图像是(  )。

A、B、C、D、

【答案】B

【解析】由题意可知的定义域为，∵，

∴为奇函数，其图像关于原点中心对称，∴C不对，

∵，∴A不对，又，故选B。

4．现有人参加抽奖活动，每人依次从装有张奖票(其中张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第人抽完后结束的概率为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】将张奖票不放回地依取出共有种不同的取法，

若恰好在第次抽奖结束，则前三次共抽到张中奖票，第次抽到最后张中奖票，

共有种不同的取法，

∴概率，故选C。

5．若函数的定义域为，则的单调递增区间为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由题意可知的解集为，即和是方程的两个根，

利用韦达定理得：，，解得，，

∴，设，则在上单调递减，

在上单调递增，在上单调递减，

则在上单调递增，故选D。

6．某商业区要进行“”信号测试，该商业区的形状近似为正六边形，某电讯公司在正六边形的对角顶点、处各安装一个基站，达到信号强度要求的区城刚好是分别以、为圆心，正六边形的边长为半径的两个扇形区域，未达到倍号强度要求的区域为“”信号盲区。若一游客在该商业区域内购物，则他刚好在“”信号盲区内的概率约为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】如图，阴影部分为达到信号强度要求的区域，

设正六边形的边长为，

则，

，

则该游客刚好在“” 信号盲区内的概率约为：

，故选D。

7．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】，，，否，

，，，否，

，，，否，

，，，是，退出循环，

则，，故选B。

8．在中，，，且点为的中点，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵点为的中点，且，∴，

在中，，，∴，

在中，，，，

由余弦定理得：，

∴，故选A。

9．双曲线(，)的右焦点为，过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于、两点，若四边形(为坐标原点)存在外接圆，则双曲线的离心率为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】由题意得，不妨设直线的方程为，直线的方程为，

则过点平行于的直线的方程为，

平行于的直线的方程为，

由得，于是线段与互相垂直平分，

则四边形(为坐标原点)为菱形，其外接圆圆心在、的交点处，

∴，则，得，∴双曲线的离心率，

则，故选A。

10．如图，点和点分别是函数(，，)图像上的最低点和最高点，若、两点间的距离为，则关于函数的说法正确的是(  )。

A、在区间上单调递增

B、在区间上单调递增

C、在区间上单调递减

D、在区间上单调递减

【答案】D

【解析】如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，设两垂线的交点为，

连接，可知为直角三角形，，，

则，易知，解得，，

∴，，得，，

∴，故，

由函数的图像经过点可得，

则，，又，则，∴，

∴的单调递增区间为，得()，

的单调递减区间为，得()，

∴当时在区间上单调递减，选D。

11．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点、、、在同一个球面上，则该球的表面积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】如图分别取，的中点、，连，

则容易算得，，，，

由图形的对称性可知球心必在的延长线上，

设球心为，半径为，，

则由题设可得，

解之得，则，∴球的表面积，故选B。

12．已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，，则的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】∵，∴，

∵函数在区间内取得极大值，在区间内取得极小值，

∴在和内各有一个根，，，，

即，在坐标系中画出其表示的区域，，

令，其几何意义为区域中任意一点与点连线的斜率，

分析可得，则，∴的取值范围是，故选D。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．二项式的展开式中第项的系数为       。

【答案】

【解析】，

则第项时，系数为。

14．设向量，，，若，则        。

【答案】

【解析】由已知得，解得，

则，，故。

15．抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于、两点，且满足，点为原点，则的面积为        。

【答案】

【解析】如图，由题意可知，，

由得，

又根据∽可得，

即，即，解得，，

∴点的坐标为或，∴。

16．在中，点是的中点，，且，，则       ，       。(本题第一空2分，第二空3分)

【答案】

【解析】∵，∴，

在和中，分别由正弦定理得，，

又，∴两式相比得，即，

即，即，

则或，又，∴，故。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

已知数列的前项和为，且满足，。

(1)求数列的通项公式；

(2)令，记数列的前项和为，证明。

【解析】(1)当时，有，解得，                                     1分

当时，有，则：，      3分

整理得：，∴数列是首项为、公比为的等比数列，∴；     5分

(2)由(1)有，                                            6分

设，                     8分

则数列的前项和：

，  10分

又，则恒成立，故。                            12分

18．（12分）

自中央陆续提出东部率先、西部大开发、中部崛起发展战略以来，取得了令世界瞩目的辉煌成绩，以下是五年东部、西部、中部地区的人均可支配收入情况。

(1)比较分析东、西、中部地区近五年的人均可支配收入情况；

(2)根据西部地区年至年的数据(时间变量的值依次为、、、、)进行线性回归分析，并预测年的西部地区人均可支配收入(精确到)；

(3)若两地区人均可支配收入差异大于万元，就认为两地有级差异，则根据东部和中部地区的近五年人均可支配收人的数据，求从到五年间任取两年都是级差异的概率。

附：，。

【解析】(1)①东、西、中部的人均可支配收入均为增长的趋势，

②从到的五年间，东部的人均可支配收入最高，西部的人均可支配收入最低，

③从到的五年，东部增长万元，中部增长万元，西部增长万元，

可以看出东部增长最多，西部增长最少；                                       3分

(2)设西部地区五年的数据分别为、、、、，可得，，

由可得，                                        5分

由过可得，

∴线性回归方程为，                                        7分

将代入可得；                                                 8分

(3)由题意可知，该五年中年和年东中部地区达到级差异，

其余三年均未达到级差异，

设事件为从到五年间任取两年都是级差异，

而五年中任意取两年共有种情况，事件包含种情况，                  10分

根据古典概型可得所求概率。                                       12分

19．（12分）

如左图，在边长为的菱形中，，且。将梯形沿直线折起，使平面，如右图，是上的点，。

(1)求证：直线平面；

(2)求平面与平面所成角的余弦值。

【解析】(1)证明：如图，连接，交于点，连接，                              1分

∵、，∴，                               2分

∵，∴，∴，                           3分

∵平面，平面，∴平面；              4分

(2)解：以点为原点，以、、所在直线为、、轴建立空回直角坐标系，

如图所示，且，则，                        5分

又、、，则、，     6分

设平面的法向量为，则，           8分

令，则，，则，                     9分

又平面的法向量为，                                    10分

设平面与平面所成角的平面角为，                           11分

则。                          12分

20．（12分）

已知椭圆：()，椭圆短轴的端点、与椭圆的左、右焦点、构成边长为的菱形，是经过椭圆右焦点的椭圆的任意一条弦，点是椭圆上一点，且(为坐标原点)。

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求的最小值。

【解析】(1)∵椭圆短轴的端点、与椭圆的左、右焦点、构成边长为的菱形，

∴，                                                                  1分

又∵椭圆的右焦点，∴，∴，                        2分

∴椭圆的标准方程为；                                          3分

(2)①当轴时，，，此时，        4分

②当不垂直于轴且斜率不为时，设直线的方程为()，

联立并化简得，恒成立，  5分

设、，则，，

∴，                         6分

∵，∴直线的方程为，

联立可解出，，∴， 7分

∴，

令，∵且，∴，

∴，                9分

∴当时，取最小值，且，          10分

③当的斜率为时，，，此时，      11分

由①②③可知，。                                    12分

21．（12分）

已知函数，。

(1)当时，证明：有且仅有两个零点、，且存在，使，；

(2)若函数有唯一零点，求正数的值。

【解析】(1)当时，，定义域为，                        1分

∴，易知在是增函数，                             2分

又，，

∴在上有且仅有一个解，设为，且，               3分

∴，       4分

又∵，

，                                         5分

∴有且只有两个零点、，且，；             6分

(2)由已知得，

其定义域为，则，                               7分

令，即，

∵、，∴(舍去)、(取)，      8分

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

∴的最小值为，又函数有唯一零点，∴，                9分

由、得、，

可得，∵，∴，                 10分

设函数，又当时该函数是增函数，∴至多有一解，

∵当时，，                                                      11分

∴方程的解为，即，解得。       12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，曲线的极坐标方程为。

(1)以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；

(2)设、为曲线上不同两点(均不与重合)，且满足，求面积的最大值。

【解析】(1)曲线方程两边同乘得，

由、得，

化标准方程为；                                             4分

(2)设、，∵、都在圆上，

∴有、，                                         6分

     ，                         8分

当时，面积取得最大值，最大值为。             10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数。

(1)求的解集；

(2)若恒成立，求实数的最大值。

【解析】(1)由得，解得，                         3分

∴的解集为；                                                4分

(2)恒成立，即恒成立，                                    5分

当时，，                                                         6分

当时，原不等式可化为，

设，即，                                         8分

又(当且仅当即时等号成立)，

∴，即实数的最大值为。                                      10分