高中数学高考黄金卷07（文）（新课标Ⅲ卷）（解析版）

黄金卷07（新课标Ⅲ卷）

文科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知为虚数单位，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，故选C。

2．已知集合，，则集合的真子集的个数为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】联立解得或或，

故，

有个元素，则真子集的个数为，故选C。

3．若函数的定义域为，则实数的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】等价于恒成立，

若，则，不可取，

若，则需，，解得，

∴的范围为，故选D。

4．函数的大致图像是(  )。

A、     B、    C、   D、

【答案】C

【解析】的定义域为，为奇函数，为偶函数，

∴为奇函数，排除D，，排除A，，

，，排除B，故选C。

5．如图所示，三棱锥中，，，，，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】正视图面积为，

侧视图面积为，

则面积之和为，故选C。

6．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】如图建系，则、、，

则，，设()，

则()，则，，

∴，，

∴，

当时取最大值，故选B。

7．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】，，，否，

，，，否，

，，，否，

，，，是，退出循环，

则，，故选A。

8．如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分。若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】设六角星的中心为点，分别将点与两个大等边三角形的六个交点连接起来，

则将中间的正六边形分成了六个全等的小等边三角形，

且与阴影部分六个小等边三角形也是全等的，∴所求的概率，故选C。

9．在双曲线：(，)的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点、形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】如图，由平行于轴可得，则，

∴，

又，则，，

由焦半径公式得，

因此代入双曲线方程得可得，

∴，即，故选C。

10．已知函数()，若集合含有个元素，则实数的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】，∵，∴，

解得：或()，

∴或()，

设直线与在上从左到右的第四个交点为，第五个交点为，

则(此时)，(此时)，

由于方程在上有且只有四个实数根，则，

即，解得，故选D。

11．已知、、、四点在同一个球面上，且、、两两垂直，当、与面积之和的最大值为时，该球的表面积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】设、、，则、与面积之和为，

故的最大值为，

又，

当且仅当时等号成立，即，即，

∵、、、四点所在的同一个球即以、、为邻边的长方体的外接球，

∴该球的直径，则该球的表面积，故选B。

12．已知函数与函数()的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】设上的点，则该点关于对称的点为一定在上，

则，即在上有解，

设， 则，

设，且， ，当时，

∴当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

∴当时取极小值也是最小值，，

  又，，且，

∴在上的值域为，故选D。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，，若向量与向量共线，则      。

【答案】

【解析】∵，∴，

∴，解得。

14．已知实数、满足约束条件，则的最小值为      。

【答案】

【解析】画可行域可知如图，令，则，作出直线并平移，

分析可知当平移后的直线经过点时取得最小值，

联立解得，则，

∴的最小值为。

15．已知某曲线上一动点到点与到直线的距离相等，经过点的直线与该曲线交于、两点，且点恰为的中点，则        。

【答案】

【解析】平面内与一个定点和一条定直线：的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，

定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，

∵焦点在轴正半轴上，设抛物线方程为，焦点坐标，

则，∴，则，

分别过、、向准线：做垂线，

垂足分别为、、，

连接、，则，

又根据梯形中位线定理可知：，

又，则。

16．在中，内角、、所对的边分别为、、，且点是的中点，若，

，则面积的最大值是        。

【答案】

【解析】如图，设，则，

在和中，分别由余定理可得：

，，两式相加整理得，

∴①，

由及正弦定理得，

整理得②，由余弦定理的推论可得：，

∴，把①代入②整理得：，又，

当且仅当时等号成立，∴，即，

∴，即面积的最大值是。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

已知正项数列的前项和为，且()，。

(1)证明数列是等差数列，并求其前项和。

(2)若，试求数列的前项和。

【解析】(1)当时，由得：

，                              1分

∴，                         2分

∴，                                      3分

∵数列是正项数列，∴，∴，                     4分

∴数列是等差数列，首项为，公差为，∴，                    5分

∴；                                                     6分

(2)由(1)知，，                                     8分

∴                   9分

               。          12分

18．（12分）

如图所示，平面分别与空间四边形中的、、、交于、、、，且平面，平面，，，。

(1)求证为矩形；

(2)点在什么位置时，最大？

【解析】(1)∵平面，平面平面，平面平面，

∴，，∴，同理可证，                     3分

∴四边形为平行四边形，

又∵，∴ ，∴四边形矩形；                         5分

(2)设，， 则，，                             7分

∴，，                                             8分

∴，       11分

∴当时，。                                       12分

19．（12分）

某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

(1)补全频率分布直方图并求、、的值；

(2)从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，求选取的名领队中恰有人年龄在岁的概率。

【解析】(1)∵第二组的频率为，

∴高为，频率直方图如下：                                         3分

第一组的人数为，频率为，∴，             4分

由题可知第二组的频率为，∴第二组的人数为，

∴，                                                         5分

第四组频率为，∴第四组人数为，

∴，                                                       6分

(2)∵岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，

∴采用分层抽样法抽取人，岁中有人，岁中有人，

设岁中的人为、、、，岁中的人为、，            8分

则选取人作为领队的有：

、、、、、、、、

、、、、、、，共种，      9分

其中恰有人年龄在岁的有：、、、、

、、、，共种，                                10分

∴选取的名领队中恰有人年龄在岁的概率为。                 12分

20．（12分）

已知椭圆：()的左、右焦点分別为、，若椭圆经过点，且的面积为。

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设斜率为的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于、两点，与椭圆交于、两点，且()，当取得最小值时，求直线的方程。

【解析】(1)由得，∴①，     1分

又椭圆经过点，∴②，                                 2分

由①②解得，，故椭圆的标准方程为；               4分

(2)设直线的方程为，则原点到直线的距离，                     5分

由弦长公式得，                                    6分

将代入得，                         7分

由判别式解得，                      8分

由直线和圆相交的条件可得，即，也即，

综上可得的取值范围是，                                             9分

设、，则，，                 10分

由弦长公式得，

由得，                  11分

又∵，∴，则当时，取得最小值，

此时直线的方程为，即。                                     12分

21．（12分）

已知函数()。

(1)讨论函数的单调性

(2)若函数的图像经过点，求证：()。

【解析】(1)由题意知，函数的定义城为，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，令，得，   2分

①当时，在区间上，单调递增，

在区间上，单调递减，                    3分

②当时，在区间上，单调递减，

在区间上，单调递增，                    4分

(2)若函数的图像经过点，则，得，则，

则，                        5分

设()，则，  6分

设，则，

显然当时，，故在上单调递增，                      7分

又，，∴当时在上有唯一的零点，

不妨设，则，∴，                             9分

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，                                10分

故，       11分

∴恒成立，即()恒成立。                        12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为。

(1)求的普通方程和圆的直角坐标方程；

(2)已知点，直线与圆相交于、两点，求。

【解析】(1)将直线的参数方程消去参数得直线的普通方程为，   2分

将和代入到中，

则圆的直角坐标方程为，即；               5分

(2)将的参数方程 (为参数)代入到圆的直角坐标方程，

得，设这个方程的两个实根分别为、，                       7分

则由参数的几何意义即知，。                          10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数，。

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若存在()，使不等式成立，求实数的取值范围。

【解析】(1)当时，不等式即，                             1分

可化为或或，        2分

解得或或，则不等式的解集为，    4分

由得，∴不等式的解集为；      5分

(2)当()时，，，∴，              6分

于是原问题可化为存在()，使，即成立，

设，，则，                              7分

∵函数的图像为开口向上的抛物线，图像的对称轴为直线，  8分

∴在()上单调递减，，        9分

解得或，又，∴实数的取值范围是。          10分