高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：9 9 离散型随机变量的期望与方差、正态分布 Word版含答案

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离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
2．正态分布
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的
意义．
知识点一 均值
1．一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
3．(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p.
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
易误提醒 理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．
[自测练习]
1．已知X的分布列为
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A.eq \f(7,3) B．4
C．－1 D．1
解析：E(X)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq \f(2,3)＋3＝eq \f(7,3).
答案：A
知识点二 方差
1．设离散型随机变量X的分布列为：
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差．
2．D(aX＋b)＝a2D(X)．
3．若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
4．若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
易误提醒 (1)D(ξ)表示随机变量ξ对E(ξ)的平均偏离程度．D(ξ)越大，表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散．反之D(ξ)越小，ξ的取值越集中在E(ξ)附近．统计中常用标准差eq \r(Dξ) 来描述ξ的分散程度．
(2)D(ξ)与E(ξ)一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定．
(3)D(ξ)的单位与随机变量ξ的单位不同，而E(ξ)、eq \r(Dξ) 与ξ的单位相同．
(4)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．
[自测练习]
2．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq \f(1,3)，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)＝( )
A．6 B．9
C．3 D．4
解析：由E(ξ)＝eq \f(1,3)(1＋2＋3)＝2，得D(ξ)＝eq \f(2,3)，
D(3ξ＋5)＝32×D(ξ)＝6.
答案：A
3．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.
解析：∵X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,4)))，∴D(X)＝3×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(9,16).
答案：eq \f(9,16)
知识点三 正态分布
1．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).
(4)曲线与x轴之间的面积为1.
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
2．正态分布的三个常用数据
(1)P(μ－σ3)＝0.158 7，所以P(ξ1)＝1－0.158 7＝0.841 3.
答案：0.841 3
考点一 离散型随机变量的均值|
(2015·高考安徽卷)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．
[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
P(A)＝eq \f(A\\al(1,2)A\\al(1,3),A\\al(2,5))＝eq \f(3,10).
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X＝200)＝eq \f(A\\al(2,2),A\\al(2,5))＝eq \f(1,10)，
P(X＝300)＝eq \f(A\\al(3,3)＋C\\al(1,2)C\\al(1,3)A\\al(2,2),A\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－eq \f(1,10)－eq \f(3,10)＝eq \f(6,10).
故X的分布列为
E(X)＝200×eq \f(1,10)＋300×eq \f(3,10)＋400×eq \f(6,10)＝350.
求离散型随机变量均值的步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值．
(2)求X的每个值的概率．
(3)写出X的分布列．
(4)由均值定义求出E(X)．
1．(2016·合肥模拟)某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大比拼活动，活动要求：参加者物理、化学实验操作都必须参加，有50名学生参加这次活动，评委老师对这50名学生实验操作进行评分，每项操作评分均按等级采用5分制(只打整数分)，评分结果统计如表：


(1)若随机抽取1名参加活动的学生，求“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生被抽取的概率；
(2)从这50名参赛学生中任取1名，其物理实验与化学实验得分之和为ξ，求ξ的数学期望．
解：(1)从表中可以看出，“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生有6名，所以“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生被抽取的概率为eq \f(6,50)＝eq \f(3,25).
(2)ξ所有可能的取值为2、3、4、5、6、7、8、9、10，则ξ的分布列为：
∴E(ξ)＝2×eq \f(1,50)＋3×eq \f(4,50)＋4×eq \f(3,50)＋5×eq \f(9,50)＋6×eq \f(8,50)＋7×eq \f(16,50)＋8×eq \f(4,50)＋9×eq \f(2,50)＋10×eq \f(3,50)＝eq \f(311,50).
考点二 方差问题|
设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量X为取出此2球所得分数之和，求X的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量Y为取出此球所得分数．若E(Y)＝eq \f(5,3)，D(Y)＝eq \f(5,9)，求a∶b∶c.
[解] (1)由题意得X＝2,3,4,5,6.
故P(X＝2)＝eq \f(3×3,6×6)＝eq \f(1,4)，
P(X＝3)＝eq \f(2×3×2,6×6)＝eq \f(1,3)，
P(X＝4)＝eq \f(2×3×1＋2×2,6×6)＝eq \f(5,18)，
P(X＝5)＝eq \f(2×2×1,6×6)＝eq \f(1,9)，
P(X＝6)＝eq \f(1×1,6×6)＝eq \f(1,36).
所以X的分布列为
(2)由题意知Y的分布列为
所以E(Y)＝eq \f(a,a＋b＋c)＋eq \f(2b,a＋b＋c)＋eq \f(3c,a＋b＋c)＝eq \f(5,3)，
D(Y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,3)))2·eq \f(a,a＋b＋c)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(5,3)))2·eq \f(b,a＋b＋c)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(5,3)))2·eq \f(c,a＋b＋c)＝eq \f(5,9).
化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－b－4c＝0，,a＋4b－11c＝0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3c，,b＝2c.))
故a∶b∶c＝3∶2∶1.
利用均值、方差进行决策的两个方略
(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，可对问题作出判断．
(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．

2．有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行质量检验，结果如下：
其中X表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较两种棉花的质量．
解：由题意，得E(X甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30，
E(X乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30.
又D(X甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1，
D(X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38，所以E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)