高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：选修4－4　坐标系与参数方程 Word版含答案

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选修4－4　坐标系与参数方程
1．坐标系与极坐标
(1)理解坐标系的作用．
(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．
(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义．
2．参数方程
(1)了解参数方程，了解参数的意义．
(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．
(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．

知识点一　极坐标系
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫作极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ.
②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ.
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
2．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

易误提醒　
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．
2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．
注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．
[自测练习]
1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为________．
解析：由知
代入y＝sin x中得y′＝3sin 2x′.
答案：y′＝3sin 2x′
2．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．
解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.
答案：
3．(2015·高考北京卷)在极坐标系中，点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距离为________．
解析：点的直角坐标为(1，)，直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的直角坐标方程为x＋y－6＝0，所以点(1，)到直线的距离d＝＝1.
答案：1
知识点二　参数方程
参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫作这条曲线的参数方程，变数t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．
易误提醒　
1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则不等价．
2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.
[自测练习]
4．在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．
解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
5．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆(θ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________．
解析：椭圆的普通方程为＋＝1，则右焦点的坐标为(1,0)．直线的普通方程为x－2y＋2＝0，过点(1,0)与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程为x－2y－1＝0，由得4x2－2x－11＝0，所以所求的弦长为× ＝.
答案：

考点一　曲线的极坐标方程|

1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin ＝.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.
(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.
2．(2016·长春模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.
因为ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2.
所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝.

直角坐标化为极坐标的关注点
(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．
当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．
(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．
　　
　　　考点二　曲线的参数方程|

1．已知曲线C1：(t为参数)曲线C2：(θ为参数)
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)的距离的最小值．
解：(1)曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：＋＝1，
曲线C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；
曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M.曲线C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取最小值.
2．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为
d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
　　

考点三　极坐标方程、参数方程的综合应用|

　(2015·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
[解]　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.

涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
　　

(2016·昆明模拟)在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；
(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|＋|PN|的取值范围．
解：(1)直线l的参数方程：(t为参数)．
∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴C：x2＋y2＝4x.
(2)直线l的参数方程：(t为参数)，
代入x2＋y2＝4x，得t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0，

∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，
∴α∈，且t1<0，t2<0.
∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|
＝4(sin α＋cos α)＝4sin，
由α∈，得α＋∈，
∴ 故|PM|＋|PN|的取值范围是(4,4 ].
　　33.直线参数方程中参数t几何意义的应用
【典例】　已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．
[思维点拨]　(1)根据条件写出l的参数方程及化曲线C为标准方程．
(2)利用t的几何意义求解|PA|·|PB|的值．
[解]　(1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，
直线l：(t为参数)．
(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2＋(2＋3)t－3＝0，
设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，
所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.
[方法点评]　过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)
该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A，B两点，所求问题与定点到A，B两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB上，利用参数t的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．
[跟踪练习]　(2016·大庆模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点P，倾斜角α＝.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设l与圆C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．
解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．
由ρ＝2cos得：ρ＝2cos θ＋2sin θ，
∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，∴x2＋y2＝2x＋2y，
故圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)把(t为参数)代入(x－1)2＋(y－1)2＝2得t2－t－＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－，
∴|PA|＋|PB|＝|t1－t2|＝＝.


A组　考点能力演练
1．(1)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)为极坐标方程；
(2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程．
解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝r2，得ρ2cos2 θ＋ρ2sin2 θ＝r2，ρ2(cos2 θ＋sin2 θ)＝r2，ρ＝r.所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ<2π)．
(2)法一：把ρ＝，sin θ＝代入ρ＝8sin θ，
得＝8·，即x2＋y2－8y＝0.
法二：方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝8ρsin θ，即x2＋y2－8y＝0.
2．(2016·济宁模拟)已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．
解：∵ρ＝kcos θ－ksin θ，
∴ρ2＝kρcos θ－kρsin θ，
∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0，即2＋2＝k2，
∴圆心的直角坐标为.
∵ρsin θ·－ρcos θ·＝4，
∴直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，
∴－|k|＝2.
即|k＋4|＝2＋|k|，两边平方，得|k|＝2k＋3，
∴或
解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为.
3．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值及此时P点的直角坐标．
解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，
点R的直角坐标为R(2,2)．
(2)设P(cos θ，sin θ)，
根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ，
∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin (θ＋60°)，
当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，
∴矩形PQRS周长的最小值为4，
此时点P的直角坐标为.
4．(2016·长春模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点C的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4.
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
(2)试判断直线l与圆C的位置关系．
解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．
由题知C点的直角坐标为(0,4)，圆C的半径为4，
∴圆C方程为x2＋(y－4)2＝16，将代入得，圆C的极坐标方程为ρ＝8sin θ.
(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－5－＝0，
圆心C到l的距离为d＝＝>4，∴直线l与圆C相离．
5．倾斜角为α的直线l过点P(8,2)，直线l和曲线C：(θ为参数)交于不同的两点M1，M2.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程；
(2)求|PM1|·|PM2|的取值范围．
解：(1)曲线C的普通方程为＋＝1，直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得：(8＋tcos α)2＋8(2＋tsin α)2＝32，
整理得(8sin2 α＋cos2 α)t2＋(16cos α＋32sin α)t＋64＝0，
由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin2 α＋cos2 α)>0，得cos α>sin α，故α∈，
∴|PM1||PM2|＝|t1t2|＝∈.
B组　高考题型专练
1．(2015·高考广东卷改编)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离．
解：由2ρsin＝得2ρ＝，所以y－x＝1，故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0，而点A对应的直角坐标为A(2，－2)，所以点A(2，－2)到直线l：x－y＋1＝0的距离为＝.
2．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，
解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.
3．(2015·高考湖南卷)已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①
将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②
(2)将代入②，得t2＋5t＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
4．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
从而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.
(2)设P，又C(0，)，
则|PC|＝ ＝，
故当t＝0时，|PC|取得最小值，
此时，P点的直角坐标为(3,0)．