高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：2 8 函数与方程 Word版含答案

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(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
知识点一 函数的零点
1．函数的零点
(1)定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫作函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系．
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
易误提醒
1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误为函数点．
2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示．
所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
必记结论 有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
[自测练习]
1．函数y＝|lg2x|－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：令y＝|lg2x|－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＝0，即|lg2x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，在同一坐标系下作出y＝|lg2x|和y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即函数有2个零点．
答案：C
2．(2016·东城期末)函数f(x)＝ex＋eq \f(1,2)x－2的零点所在的区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C．(1,2) D．(2,3)
解析：∵f′(x)＝ex＋eq \f(1,2)＞0，∴f(x)在R上单调递增，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \r(e)－eq \f(7,4)＜eq \r(3)－eq \f(7,4)＜0，f(1)＝e－eq \f(3,2)＞0，∴零点在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上．
答案：B
知识点二 二分法
二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．
必备方法 用二分法求函数零点的方法
用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
[自测练习]
3．根据下面表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )
A.(1,2) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(2,3)
解析：本题考查二分法的应用．令f(x)＝ex－x－2，则由表中数据可得f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，所以函数f(x)的一个零点在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上．
答案：A、
考点一 判定函数零点所在区间|
1．已知函数f(x)＝eq \f(6,x)－lg2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析：因为f(1)＝6－lg21＝6>0，f(2)＝3－lg22＝2>0，f(4)＝eq \f(3,2)－lg24＝－eq \f(1,2)0且a≠1)的图象有两个交点，由图1知，当0＜a＜1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象与y轴交于点(0,1)，而直线y＝x＋a与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a＞1.
答案：C
5．(2015·武汉调研)设a1，a2，a3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f(x)＝eq \f(a1,x－λ1)＋eq \f(a2,x－λ2)＋eq \f(a3,x－λ3)的两个零点分别位于区间( )
A．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内
B．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)内
C．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内
D．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)内
解析：本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x∈(λ1，λ2)时，函数图象连续，且x→λ1，f(x)→＋∞，x→λ2，f(x)→－∞，所以函数f(x)在(λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x∈(λ2，λ3)时，函数图象连续，且x→λ2，f(x)→＋∞，x→λ3，f(x)→－∞，所以函数f(x)在(λ2，λ3)上一定存在零点，故选B.
答案：B
6．若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－1，x≥2或x≤－1，,1， －1