高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：3 3 三角函数的图象与性质 Word版含答案

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三角函数的图象及性质
能画出y＝sin x，y＝cs x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内的单调性．
知识点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象
和性质
易误提醒
1．正切函数的图象是由直线x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z不能说它在整个定义域内是增函数，如eq \f(π,4)tan eq \f(3π,4)，正切函数不存在减区间．
2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件．
必记结论 函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，当φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时是偶函数；函数y＝Acs(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是偶函数，当φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时是奇函数．
[自测练习]
1．函数y＝tan 3x的定义域为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(3π,2)＋3kπ，k∈Z))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,6)＋kπ，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,6)＋kπ，k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,6)＋\f(kπ,3)，k∈Z))))
解析：由3x≠eq \f(π,2)＋kπ，得x≠eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,3)，k∈Z.
答案：D
2．设函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数
D．最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数
解析：∵f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝－cs 2x，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．
答案：B
3．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于直线x＝eq \f(π,3)对称 B．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称
C．关于直线x＝－eq \f(π,6)对称 D．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))对称
解析：∵f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
经验证可知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,3)))＝sin π＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))是函数f(x)的一个对称点．
答案：B
4．函数y＝3－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的最大值为________，此时x＝________.
解析：函数y＝3－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的最大值为3＋2＝5，此时x＋eq \f(π,4)＝π＋2kπ，即x＝eq \f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)．
答案：5 eq \f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)
考点一 三角函数的定义域、值域|
1．函数y＝eq \r(cs x－\f(\r(3),2))的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,6)))，k∈Z
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,6)))，k∈Z
D．R
解析：∵cs x－eq \f(\r(3),2)≥0，得cs x≥eq \f(\r(3),2)，∴2kπ－eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z.
答案：C
2．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值为( )
A．－1 B．－eq \f(\r(2),2)
C．0 D.eq \f(\r(2),2)
解析：因为0≤x≤eq \f(π,2)，所以－eq \f(π,4)≤2x－eq \f(π,4)≤eq \f(3π,4)，由正弦函数的图象知，1≥sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))≥－eq \f(\r(2),2)，所以函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值为－eq \f(\r(2),2)，故选B.
答案：B
3．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)(sin x＋cs x)－eq \f(1,2)|sin x－cs x|，则f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝eq \f(1,2)(sin x＋cs x)－eq \f(1,2)|sin x－cs x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs xsin x≥cs x，,sin xsin x0，函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．(0,2]
解析：由eq \f(π,2)