高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：3 4 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用 Word版含答案

这是一份高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：3 4 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用 Word版含答案，共17页。
2．y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质的综合应用
会利用y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与性质求参数的值或范围、确定函数解析式．
知识点一 五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示
易误提醒 五点法作图中的五点是函数y＝Asin(ωx＋φ)图象上五个关键点，两个最值点，三个零点，在实际作图中，这是首先要考虑的五个点，但也不能只依赖这五个点，其它的特殊点也应考虑．
必备方法 由y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定第一个零点的方法：
确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口．具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝eq \f(π,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
[自测练习]
1．用五点法作函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、__________、________、________、________.
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)，－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,6)，0))
2．已知简谐运动f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|0)的图象
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
易误提醒 (1)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
(2)由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))，而不是|φ|.
[自测练习]
3．要得到函数y＝cs(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cs 2x的图象( )
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移eq \f(1,2)个单位 D．向右平移eq \f(1,2)个单位
解析：∵y＝cs(2x＋1)＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，
∴只要将函数y＝cs 2x的图象向左平移eq \f(1,2)个单位即可．
答案：C
4．把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移eq \f(π,4)个单位，得到的函数图象的解析式是( )
A．y＝cs 2x B．y＝－sin 2x
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))
解析：由y＝sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin 2x，再向左平移eq \f(π,4)个单位得y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，即y＝cs 2x.
答案：A
5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|0，ω>0)或y＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式．
(2)求出周期T＝eq \f(2π,ω).
(3)求出振幅A.
(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点．

1．(2015·合肥模拟)设函数f(x)＝cs(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)0，所以φ的最小值为eq \f(π,12).故选C.
答案：C
4．已知函数f(x)＝eq \r(3)sin ωx＋cs ωx(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为eq \f(π,2)的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移eq \f(π,6)个单位，得到函数g(x)的图象．关于函数g(x)，下列说法正确的是( )
A．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是增函数
B．其图象关于直线x＝－eq \f(π,4)对称
C．函数g(x)是奇函数
D．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，函数g(x)的值域是[－2,1]
解析：f(x)＝eq \r(3)sin ωx＋cs ωx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))，由题设知eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，∴T＝π，ω＝eq \f(2π,T)＝2，∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).把函数f(x)的图象沿x轴向左平移eq \f(π,6)个单位，得到g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝2cs 2x的图象，g(x)是偶函数且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是减函数，其图象关于直线x＝－eq \f(π,4)不对称，所以A，B，C错误．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，则g(x)min＝2cs π＝－2，g(x)max＝2cseq \f(π,3)＝1，即函数g(x)的值域是[－2,1]，故选D.
答案：D
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用问题的三种类型及解题策略：
(1)图象变换与函数性质的综合问题．可根据两种图象变换的规则，也可先通过图象变换求得变换后的函数解析式，再研究函数性质．
(2)图象变换与函数解析式的综合问题，要特别注意两种变换过程的区别．
(3)函数图象与性质的综合问题．此类问题常先通过三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质．
4.三角函数图象与性质结合题的规范解答
【典例】 (13分)(2015·高考重庆卷)已知函数f(x)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \r(3)cs2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，求g(x)的值域．
[思路点拨] (1)将f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)型，求周期及最值．
(2)利用图象变换确定g(x)表达式，再求值域．
[规范解答] (1)f(x)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \r(3)cs2x
＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)(1＋cs 2x)(2分)
＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cs 2x－eq \f(\r(3),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)，(4分)
因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－eq \f(2＋\r(3),2).(6分)
(2)由条件可知：g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2).(8分)
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，有x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，(9分)
从而sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
那么sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3),2)，\f(2－\r(3),2))).(12分)
故g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3),2)，\f(2－\r(3),2))).(13分)
[模板形成]
[跟踪练习] (2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝sin2x－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，有
f(x)＝eq \f(1－cs 2x,2)－eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))),2)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 2x＋\f(\r(3),2)sin 2x))－eq \f(1,2)cs 2x
＝eq \f(\r(3),4)sin 2x－eq \f(1,4)cs 2x＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，－\f(π,6)))上是减函数，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上是增函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(1,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),4).所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最大值为eq \f(\r(3),4)，最小值为－eq \f(1,2).
A组 考点能力演练
1．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期为π，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))＝( )
A．1 B.eq \f(1,2)
C．－1 D．－eq \f(1,2)
解析：由题设知eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，
f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,8)＋\f(π,4)))＝sineq \f(π,2)＝1，故选A.
答案：A
2．(2015·洛阳期末考试)把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))图象上各点的横坐标缩小到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再将图象向右平移eq \f(π,3)个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝－eq \f(π,2) B．x＝－eq \f(π,4)
C．x＝eq \f(π,8) D．x＝eq \f(π,4)
解析：把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))图象上各点的横坐标缩小到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)所得函数图象的解析式为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，再将图象向右平移eq \f(π,3)个单位所得函数图象的解析式为y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝－cs 2x，即y＝－cs 2x，令2x＝kπ，k∈Z，则x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，即对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，故选A.
答案：A
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|0，ω>0,0