高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：3 5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 Word版含答案

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三角函数的求值与化简
(1)和与差的三角函数公式
①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
(2)二倍角的三角函数公式
①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式．
②利用两角和的公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin_αcs_β±cs_αsin_β.
(2)cs(α±β)＝cs_αcs_β∓sin_αsin_β.
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2．公式的变形
公式T(α±β)的变形：
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)．
(2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
易误提醒
1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．
2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝eq \f(\r(2),2)所对应的角α＋β不是唯一的．
[自测练习]
1．化简cs 15°cs 45°－cs 75°sin 45°的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2)
解析：cs 15°cs 45°－cs 75°sin 45°＝cs 15°cs 45°－sin 15°sin 45°＝cs(15°＋45°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).
答案：A
2．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的值是( )
A．－eq \f(2\r(3),3) B．±eq \f(2\r(3),3)
C．－1 D．±1
解析：cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cs x＋eq \f(1,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x＝eq \f(3,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x＋\f(1,2)sin x))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－1.
答案：C
3．(2015·浙江金华十校联考)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,7)，则tan α＝________.
解析：tan α＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝－eq \f(3,4).
答案：－eq \f(3,4)
知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin_αcs_α.
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2．公式C2α的变形
(1)sin2α＝eq \f(1,2)(1－cs 2α)．
(2)cs2α＝eq \f(1,2)(1＋cs 2α)．
3.公式的逆用
(1)1±sin 2α＝(sin α±cs α)2.
(2)sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
必备方法 二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cs 2α＝cs2 α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．
[自测练习]
4．已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B．－eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
解析：∵cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)
＝eq \f(1＋sin 2α,2)，∴cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(2,3).
答案：D
5．已知α为第二象限角，cs α＝－eq \f(3,5)，则tan 2α的值为( )
A.eq \f(24,25) B.eq \f(24,7) C．－eq \f(24,7) D．－eq \f(24,25)
解析：因为α为第二象限角，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2)＝eq \f(4,5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3)，
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))2)＝eq \f(24,7).
答案：B
考点一 给角求值|
1．(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
解析：原式＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝eq \f(1,2).
答案：D
2.eq \f(2cs 10°,sin 70°)－tan 20°＝( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3)－1,2) C．1 D.eq \f(\r(3),2)
解析：利用三角函数公式求解.eq \f(2cs 10°,sin 70°)－tan 20°＝eq \f(2cs 10°,cs 20°)－eq \f(sin 20°,cs 20°)＝eq \f(2cs30°－20°－sin 20°,cs 20°)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 20°＋\f(1,2)sin 20°))－sin 20°,cs 20°)＝eq \r(3)，故选A.
答案：A
求解给角求值问题的三个注意点
(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分．
(2)观察名，尽可能使函数统一名称．
(3)观察结构，利用公式，整体化简．

考点二 给值求值问题|

(1)(2015·高考重庆卷)若tan α＝eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(1,6) C.eq \f(5,7) D.eq \f(5,6)
[解析] tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,3)＋tan β,1－\f(1,3)tan β)＝eq \f(1,2)，解得tan β＝eq \f(1,7).
[答案] A
(2)(2016·贵阳一模)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))))的值是( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,3) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(7,9)
[解析] 法一：∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(7,9)，
∴cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝－eq \f(7,9).
法二：∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(1,3)，
∴cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－1＝eq \f(2,9)－1＝－eq \f(7,9).
[答案] D
三角函数的给值求值，问题中把待求角用已知角表示的三个策略：
(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系．
(3)在求值的过程中“拼凑角”对求值往往起到“峰回路转”的效果．通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有eq \f(α＋β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))，α＝(α－β)＋β，eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，15°＝45°－30°等．


1．若锐角α满足2sin α＋2eq \r(3)cs α＝3，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(2π,3)))的值是( )
A．－3eq \r(7) B．－eq \f(3\r(7),7)
C．3eq \r(7) D.eq \f(3\r(7),7)
解析：本题考查三角恒等变换．由2sin α＋2eq \r(3)cs α＝3化简得4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin α＋\f(\r(3),2)cs α))＝3，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(3,4).
由eq \f(\r(2),2)