高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：3 7 正弦定理和余弦定理 Word版含答案

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掌握正、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．
知识点 正弦定理和余弦定理
1．正弦定理
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：
(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C.
(2)a＝2Rsin_A，b＝2RsinB，c＝2Rsin_C.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccs_A，b2＝a2＋c2－2accs_B，c2＝a2＋b2－2abcs_C．余弦定理可以变形：cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)absin C.
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
易误提醒 (1)由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
必记结论 三角形中的常用结论
(1)A＋B＝π－C，eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C(A，B，C≠eq \f(π,2))．
[自测练习]
1．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝eq \r(6)＋eq \r(2)，且A＝75°，则b＝( )
A．2 B．4＋2eq \r(3)
C．4－2eq \r(3) D.eq \r(6)－eq \r(2)
解析：在△ABC中，易知∠B＝30°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs 30°＝4.∴b＝2.
答案：A
2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3eq \r(2)，则AC＝( )
A．4eq \r(3) B．2eq \r(3)
C.eq \r(3) D.eq \f(\r(3),2)
解析：在△ABC中，根据正弦定理，得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，
∴AC＝eq \f(BC·sin B,sin A)＝eq \f(3\r(2)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝2eq \r(3).
答案：B
3．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
解析：由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs 120°，
即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.
故S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BCsin 120°＝eq \f(1,2)×5×3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(15\r(3),4).
答案：eq \f(15\r(3),4)
考点一 利用正弦、余弦定理解三角形|
1．(2015·高考广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2eq \r(3)，cs A＝eq \f(\r(3),2)且b