高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：4 3 平面向量的数量积 Word版含答案

这是一份高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：4 3 平面向量的数量积 Word版含答案，共14页。
(1)理解数量积的含义及其物理意义．
(2)了解向量数量积与向量投影的关系．
(3)掌握数量积的坐标表达式及相关性质，并会进行数量积的运算．
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两向量垂直．
2．数量积的综合应用
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及其他的一些实际问题．
知识点一 平面向量的数量积
1．两个向量的夹角
(1)定义
已知两个非零向量a和b，作Oeq \(A,\s\up6(→))＝a，Oeq \(B,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角．
(2)范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
(3)向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量数量积
(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cs θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cs θ.规定0·a＝0.
当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
(2)a·b的几何意义
a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
易误提醒
1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．
2．在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．
3．在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a|·|b|·|cs θ|，而|cs θ|≤1.
必记结论 两向量a与b的夹角为锐角⇒cs〈a，b〉>0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角⇒cs〈a，b〉0，且x－4≠0，故实数x的取值范围为(－1,4)∪(4，＋∞)．
答案：(－1,4)∪(4，＋∞)
探究三 平面向量的垂直
5．(2015·高考福建卷)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb，若b⊥c，则实数k值等于( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(5,3)
C.eq \f(5,3) D.eq \f(3,2)
解析：因为c＝(1＋k,2＋k)，b·c＝0，所以1＋k＋2＋k＝0，解得k＝－eq \f(3,2)，故选A.
答案：A
6．(2015·高考重庆卷)若非零向量a，b满足|a|＝eq \f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2)
C.eq \f(3π,4) D．π
解析：由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又|a|＝eq \f(2\r(2),3)|b|，所以a·b＝3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)|b|))2－2b2＝eq \f(2,3)b2，所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(2,3)b2,\f(2\r(2),3)b2)＝eq \f(\r(2),2)，所以〈a，b〉＝eq \f(π,4)，故选A.
答案：A
平面向量数量积求解问题的三个策略
(1)求两向量的夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
②|a±b|＝eq \r(a±b2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2).
③若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).

考点三 平面向量与三角函数的综合应用|
在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1，0)，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．
(1)若x＝eq \f(3,4)π，设点D为线段OA上的动点，求|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最小值；
(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq \(BC,\s\up6(→))，n＝(1－cs x，sin x－2cs x)，求m·n的最小值及对应的x值．
[解] (1)设D(t,0)(0≤t≤1)，由题易知
Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，所以eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋t，\f(\r(2),2)))，所以|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,2)－eq \r(2)t＋t2＋eq \f(1,2)＝t2－eq \r(2)t＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(\r(2),2)))2＋eq \f(1,2)(0≤t≤1)，
所以当t＝eq \f(\r(2),2)时，|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|最小，为eq \f(\r(2),2).
(2)由题意得C(cs x，sin x)，m＝eq \(BC,\s\up6(→))＝(cs x＋1，sin x)，
则m·n＝1－cs2x＋sin2x－2sin xcs x＝1－cs 2x－sin 2x＝1－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
所以当2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,8)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))取得最大值1，
所以m·n的最小值为1－eq \r(2)，此时x＝eq \f(π,8).
平面向量与三角函数的综合问题的两个解题策略
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

(2015·惠州二调)设向量a＝(eq \r(3)sin x，sin x)，b＝(cs x，sin x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
解：(1)由|a|2＝(eq \r(3)sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cs x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，从而sin x＝eq \f(1,2)，所以x＝eq \f(π,6).
(2)f(x)＝a·b＝eq \r(3)sin x·cs x＋sin2x
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，
当x＝eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))取最大值1.
所以f(x)的最大值为eq \f(3,2).
8.忽视向量夹角范围致误
【典例】 设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
[解] 因为e1·e2＝|e1||e2|cs 60°＝2×1×eq \f(1,2)＝1，
所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2teeq \\al(2,1)＋7teeq \\al(2,2)＋(2t2＋7)e1·e2＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7.因为向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)