高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：6 6 直接证明与间接证明 Word版含答案

这是一份高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：6 6 直接证明与间接证明 Word版含答案，共10页。
(1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
(2)了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．
知识点一 直接证明
1．综合法
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法．
2．分析法
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫作分析法．
易误提醒 用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．
[自测练习]
1．要证明eq \r(3)＋eq \r(7)eq \r(3,b)”假设内容应是( )
A.eq \r(3,a)＝eq \r(3,b) B.eq \r(3,a)2eq \r(\f(b,a)×\f(a,b))＋2eq \r(\f(c,a)×\f(a,c))＋2eq \r(\f(c,b)×\f(b,c))－3＝3，
即eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(c＋a－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)>3.
综合法证题的思路

1．设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．
(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；
(2)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．
证明：(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.
所以{an}是“H数列”．
(2)设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d＝na1＋(n－1)(d－a1)(n∈N*)
令bn＝na1，cn＝(n－1)(d－a1)，则an＝bn＋cn(n∈N*)．
下面证{bn}是“H数列”．
设{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝eq \f(nn＋1,2)a1(n∈N*)．
于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝eq \f(nn＋1,2)，使得Tn＝bm，所以{bn}是“H数列”．
同理可证{cn}也是“H数列”．
所以任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．
考点二 分析法|
已知a>0，证明eq \r(a2＋\f(1,a2))－eq \r(2)≥a＋eq \f(1,a)－2.
[证明] 要证eq \r(a2＋\f(1,a2))－eq \r(2)≥a＋eq \f(1,a)－2，
只需证eq \r(a2＋\f(1,a2))≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))－(2－eq \r(2))．
因为a>0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))－(2－eq \r(2))>0，
所以只需证eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(\r(a2＋\f(1,a2)))))2≥eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))－2－\r(2)))2，
即2(2－eq \r(2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))≥8－4eq \r(2)，
只需证a＋eq \f(1,a)≥2.
因为a>0，a＋eq \f(1,a)≥2显然成立eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,a)＝1时等号成立))，所以要证的不等式成立．
分析法证明问题的适用范围
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．

2．已知a，b，m都是正数，且aeq \f(a,b).
证明：要证明eq \f(a＋m,b＋m)>eq \f(a,b)，由于a，b，m都是正数，
只需证a(b＋m)0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)－x2，f(x1)aeq \r(b)＋beq \r(a)⇔(eq \r(a)－eq \r(b))2·(eq \r(a)＋eq \r(b))>0⇔a≥0，b≥0且a≠b.
答案：a≥0，b≥0且a≠b
7．若P＝eq \r(a)＋eq \r(a＋7)，Q＝eq \r(a＋3)＋eq \r(a＋4)(a≥0)，则P，Q的大小关系是________．
解析：∵P2＝2a＋7＋2eq \r(a)eq \r(a＋7)＝2a＋7＋2eq \r(a2＋7a)，Q2＝2a＋7＋2eq \r(a＋3)eq \r(a＋4)＝2a＋7＋2eq \r(a2＋7a＋12)，∴P20，Q>0，∴P