中考数学二轮培优专题精讲 第9讲 最值问题之将军饮马问题 (含详解)

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第10讲 最值问题之将军饮马问题
最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压轴位置。
模型讲解
【基本模型】

问题：在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小
解析：连接AB，与直线l交点即为点P(两点之间线段最短)
【拓展模型1】
问题：在直线/上找一点P，使得PA＋PB的值最小

解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时PA＋PB的最小值即为线段BA′的长度．

【练习】
1、尺规作图：在直线MN上找一点P，使得∠APN＝∠BPN．(保留作图痕迹)


【模型拓展2】
1、如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，PA＝PB最小？

思维转化：将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为
最基本模型

【模型拓展3】
问题：∠MON内一定点A，点P、Q分别为OM、ON上的动点，求△APQ周长的最小值．

解析：点A作关于ON 和OM的对称点A1、A2，，连接A1A2，与ON、OM交点即为Q、P，线段A1A2的长度即为△APQ周长的最小值．

基本结论：

①△A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段OA的长．
②∠A1OA2＝2∠MON．

四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段AB＋A'B'的长度和．

【模型拓展4】
问题：求AB＋BC＋CD的最小值问题

解析：作点A关于ON的对称点A'，点D关于OM的对称点D′，连接A'D′，最小值即为线段A'D'的长度．
(作点A和点D的对称点的过程中，也可以直接将OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整)

【模型拓展5】
MN垂直两平行线，求AM＋MN＋NB的最小值模型．

其中MN为定值，故只需求AM＋NB的最小值，将点A向下平移MN的长度得到A′，连接A′B，线段A′B的长度即为AM＋NB的最小值
直线l上有一长度不变线段MN移动，求AM＋MN＋NB最小值的模型．

将A点向右平移MN的长度，以此转化为基本模型，最小值即为MN＋A2B

【例题讲解】
例题1、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为　　　　　．
　
　
解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA＋PC的值最小，
∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(3，)，∴AB＝，OA＝3，
∵tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝2，
由三角形面积公式得：×OA×AB＝×OB×AM，∴AM＝，∴AD＝2×＝3，
∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，
∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝AD＝，由勾股定理得：DN＝，
∵C(，0)，∴CN＝3﹣﹣＝1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC＝，
即PA＋PC的最小值是．

【思考】
若把题中条件点“C的坐标为(，0)”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时PA＋PC最小值又是多少呢？
解答：∵PA＋PC＝PC＋PD＝CD≥DN＝，∴PA＋PC的最小值为．

例题2、某长方体的长、宽、高分别为4、3、5，
(1)如图1，点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点A沿长方体侧面爬到点B，则最短路线长是多少？
(2)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短长度是　　　　．
(3)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕三圈到达点C，那么所用细线最短长度是　　　　．
(4)如图3，已知圆柱高4米，底面周长1米．如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈(如图)，那么螺旋形花圈的长至少　　　　米．

答案：
(1)
(2)
(3)
(4)

例题3、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N．
(1)当△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝　　　　；
(2)求△AMN的周长最小值．


解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
⑴作EA延长线的垂线，垂足为H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°，
∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°，
也就是说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°.
⑵过点A′作EA延长线的垂线，垂足为H，
∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4，
则Rt△A′HA中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，
∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝AA′＝1，∴A′H＝，A″H＝1＋4＝5，
∴A′A″＝2，

例题4、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE＝1，长为的线段MN在AC上运动．
(1)求四边形BMNE周长最小值；
(2)当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值为　　　　．
　　

解：作EF∥AC且EF＝，连结DF交AC于M，在AC上截取MN＝，延长DF交BC于P，
作FQ⊥BC于Q，作出点E关于AC的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN平移至E′F′处，
则四边形MNE′F′为平行四边形，
当BM＋EN＝BM＋FM＝BF′时，四边形BMNE的周长最小，
由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得FQ＝EQ＝1，
∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，
∴＝，∴＝，解得：PQ＝，∴PC＝，
由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝．

例题5、在平面直角坐标系中，已知点A(一2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．

【提示】

将△AEO向右平移转化为△AEO不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1，与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离．

例题6、如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN的最小值为　　　　．


解：如图所示，直线OC、y轴关于直线y＝kx对称，直线OD、直线y＝kx关于y轴对称，点A′是点A关于直线y＝kx的对称点．
作A′E⊥OD垂足为E，交y轴于点P，交直线y＝kx于M，作PN⊥直线y＝kx垂足为N，
∵PN＝PE，AM＝A′M，∴AM＋PM＋PN＝A′M＋PM＋PE＝A′E最小(垂线段最短)，
在RT△A′EO中，∵∠A′EO＝90°，OA′＝4，∠A′OE＝3∠AOM＝60°，
∴OE＝OA′＝2，A′E＝＝2．
∴AM＋MP＋PN的最小值为2．

【巩固练习】
1、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为　　　　．
　　

2、在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P分别是边AB、BC、AC上的动点，PE＋PF的最小值是　　　　．
　　　

3、如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为　　　　．
　

4、如图，钝角三角形ABC的面积为9，最长边AB＝6，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值为　　　　．
　

5、如图，在△ABC中，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，
(1)若AC＝4，S△ABC＝6，则BD＋DE的最小值为　　　　
(2)若∠BAC＝30°，AB＝8，则BD＋DE的最小值为　　　　．
(3)若AB＝17，BC＝10，CA＝21，则BD＋DE的最小值为　　　　．


6、如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，S△ABC＝4，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK＋QK的最小值为　　　　．



7、如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，则PM＋PN的最小值为　　　　．

　　

8、如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是　　　　．
　　　


9、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　　　　cm．
　　

10、如图，菱形OABC中，点A在x轴上，顶点C的坐标为(1，)，动点D、E分别在射线OC、OB上，则CE＋DE＋DB的最小值是　　　　．
　　　　

11、如图，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－(x＜0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是　　　　．
　　

12、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是　　　　．
　　


13、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是　　　　．
　　

14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E．
(1)点P是边BC上的一个动点，在线段BC上找一点P，使得AP＋PD最小，在下图中画出点P；
(2)在(1)的条件下，连接CD交AP于点Q，求AQ与PQ的数量关系；


15、在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G为边AD的中点．
(1)如图1，若E为AB上的一个动点，当△CGE的周长最小时，求AE的长．
(2)如图2，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，求AF的长．



16、图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图．
(1)蜘蛛在顶点A′处，
①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；
②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A'GC和往墙面BB'C'C爬行的最近路线A'HC，试通过计算判断哪条路线更近？
(2)在图3中，半径为10dm的OM与D'C'相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在OM的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线．若PQ与OM相切，试求PQ的长度的范围．










17.如图，抛物线交y轴于点B，点A为x轴上的一点，OA=2，过点A作直线MNAB交抛物线与M、N两点.
（1）求直线AB的解析式；
（2）将线段AB沿y轴负方向平移t个单位长度，得到线段，求取最小值时实数t的值.


参考答案
1.　

解：连接BD，
∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝2，
又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2，故所求最小值为2．


2.

解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，
作E关于AC的对称点E′，作E′F⊥BC于F交AC于P，连接PE，则E′F即为PE＋PF的最小值，
∵×AC×BD＝AD×E′F，∴E′F＝，∴PE＋PF的最小值为.

3.
　
解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，
∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵三角形ABC是边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2，
作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD＝，
在Rt△B′BG中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG中，B′D＝．
故BE＋ED的最小值为．


4.

解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，∴MN＝ME，
∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN是最小值．
∵三角形ABC的面积为9，AB＝6，∴×6×CE＝9，∴CE＝3．
即CM＋MN的最小值为3．


5.

提示：作点E关于AM的对称点E′，BH⊥AC于H，易知BD＋DE的最小值即为BH的长.
答案：(1)3；(2)4；(3)8．


6.

解：如图，过A作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵AB＝CB＝4，S△ABC＝4，∴AH＝2，
∴cos∠HAB＝＝＝，∴∠HAB＝30°，∴∠ABH＝60°，∴∠ABC＝120°，
∵∠BAC＝∠C＝30°，
作点P关于直线AC的对称点P′，过P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，
则P′Q 的长度＝PK＋QK的最小值，
∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，
∴四边形AP′QH是矩形，∴P′Q＝AH＝2，
即PK＋QK的最小值为2．


7.

解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，
则MN′与AB的交点即为PM＋PN的最小时的点，PM＋PN的最小值＝MN′，
∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，
∵N是弧MB的中点，∴∠BON＝∠MOB＝×40°＝20°，
由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，
∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝AB＝＝4，
∴PM＋PN的最小值为4，


8.

解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离，
∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB×sin45°＝4×＝2．
∵BM＋MN的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2．
9.　
解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，
则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，
∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝15cm，故答案为：15．

10.

解：连接AC，作B关于直线OC的对称点E′，连接AE′，交OC于D，交OB于E，此时CE＋DE＋BD的值最小，
∵四边形OCBA是菱形，∴AC⊥OB，AO＝OC，即A和C关于OB对称，
∴CE＝AE，∴DE＋CE＝DE＋AE＝AD，
∵B和E′关于OC对称，∴DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，
过C作CN⊥OA于N，∵C(1，)，∴ON＝1，CN＝，
由勾股定理得：OC＝2，即AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠CON＝60°，∴∠CBA＝∠COA＝60°，
∵四边形COAB是菱形，∴BC∥OA，∴∠DCB＝∠COA＝60°，
∵B和E′关于OC对称，∴∠BFC＝90°，∴∠E′BC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°，CF＝BC＝1，由勾股定理得：BF＝＝E′F，
在Rt△EBA中，由勾股定理得：AE′＝4，即CE＋DE＋DB的最小值是4．

11.

解：把点A(a，1)、B(﹣1，b)代入y＝﹣(x＜0)得a＝﹣3，b＝3，则A(﹣3，1)、B (﹣1，3)，
作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点为(﹣3，﹣1)，D点为(1，3)，
连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，
设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则，解得，
所以直线CD的解析式为y＝x＋2．

12.

解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，
连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM＋PN＋MN＝5，∴DM＋CN＋MN＝5，即CD＝5＝OP，
∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；


13.
　
解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，
连接M′N′，即为MP＋PQ＋QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，
∴在Rt△M′ON′中，M′N′＝．故答案为．


14.

解：(1)作点A关于BC的对称点A′，连DA′交BC于点P.
(2)由(1)可证得PA垂直平分CD，∴AQ＝CQ＝3PQ


15.

解：(1)∵E为AB上的一个动点，
∴作G关于AB的对称点M，连接CM交AB于E，那么E满足使△CGE的周长最小；
∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，
而AE∥CD，∴△AEM∽△DCM，∴AE：CD＝MA：MD，∴AE＝＝2；
(2)∵E为AB上的一个动点，
∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF＝4，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．
∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G为边AD的中点，
∴AG＝AM＝4，MD＝12，而CH＝4，∴DH＝2，
而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝，
∴AF＝4＋＝．


16.解：(1)①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线，如图1所示．

②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①．

在Rt△A′B′C中，∠B′＝90°，A′B′＝40，B′C＝60，∴AC＝＝20．
Ⅱ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②．

在Rt△A′C′C中，∠C′＝90°，A′C′＝70，C′C＝30，∴A′C＝＝10．
∵＜，∴往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC更近；
(2)过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．

∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′＝60dm，
∴MH＝60﹣10＝50，HB＝15，AH＝40﹣15＝25，
根据勾股定理可得AM＝＝，MB＝＝，∴50≤MP≤．
∵⊙M与PQ相切于点Q，∴MQ⊥PQ，∠MQP＝90°，∴PQ＝．
当MP＝50时，PQ＝＝20；
当MP＝时，PQ＝＝55．
∴PQ长度的范围是20dm≤PQ≤55dm．

17.解：（1）依题意，易得B（0，4），A（2，0），则AB解析式：
（2） ∵AB⊥MN
∴直线MN：
与抛物线联立可得：
解得：M（-2，-2）
将AB向负方向平移t个单位后，A1（2，-t），B1（0，4-t）
则A1关于直线x=-2的对称点A2为（-6，-t）
当A2、M、B1三点共线时，取最小值
∴