中考数学二轮培优专题精讲 第26讲 存在性问题之相似三角形

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【例题讲解】
例题1、如图，在直角坐标系中有两点，，如果点在轴上与不重合），当和相似时，点坐标为 ．
解：点在轴上，
两个三角形相似时，应该与对应，
若与对应，则，；
若与对应，则，或者．
点坐标为：，或．
故答案为：，或．
②如图，在中，，，动点从点开始沿边运动，速度为；动点从点开始沿边运动，速度为；如果、两动点同时运动，那么何时与相似？
解：当时，有即所以
当时，有即所以所以
例题2.将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．已
知，，若以点、、为顶点的三角形与相似，那么的长度是 ．
解：根据△与相似时的对应情况，有两种情况：
①△时，，
又因为，，，
所以，
解得；
②△时，，
又因为，，，，
所以，
解得．
故的长度是或2．
故答案为：或2．
例题3.如图，已知是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、
匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，、两
点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题：
（1）当时，判断的形状，并说明理由；
（2）作交于点，连接，当为何值时，．
解：（1）是等边三角形
当时
，
又
是等边三角形；
（2）
，
是等边三角形
，
四边形是平行四边形
又，
，
，
解得
当时，．
例题4.如图，已知的三个顶点坐标分别为、、．
（1）求经过、、三点的抛物线解析式；
（2）设直线交轴于点，连接，求证：；
（3）设抛物线与轴交于点，连接交于点，试问以、、为顶点的三角形与相似吗？
解析：（1）设函数解析式为：，由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），
可得，解得：，故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：
（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：，即直线BC的解析式为．故可得点E的坐标为（0，2），从而可得： ，CE=
，故可得出AE=CE；
（3）相似．理由如下：设直线AD的解析式为y=kx+b，则，解得：，即直线AD的解析式为．联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：，即点F的坐标为，则，又∵AB=5，，∴，∴，又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA．故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似
例题5.如图，抛物线与直线交于，两点，交轴与，两点，连接，，已知，．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）把，代入，得
，
解得：．
抛物线的解析式为．
联立，
解得：或，
点的坐标为．
过点作轴于，如图1．，，
，，，，．
，，．
同理：，，
，
；
（Ⅱ）（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．
过点作轴于，则．
设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．
，，．
若点在点的下方，
①如图2①，当时，则．
，，，
．
．
则．把代入，得：，
整理得：，解得：（舍去），（舍去）．
②如图2②，当时，则．
同理可得：，则，
把代入，得：，
整理得：，解得：（舍去），，，；
若点在点的上方，
①当时，则，
同理可得：点的坐标为．
②当时，则．
同理可得：点的坐标为，．
综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，．
【巩固练习】
1、如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，点D、E分别为AB、AC边上一动点，AD=1，当AE的长为多少时，A、D、E三点组成的三角形和△ABC相似？；
2.如图，直线与轴、轴分别交于点、，点、是直线与双曲线的两
个交点，过点作轴于点，且的面积为1．
（1）求双曲线的函数解析式；
（2）若在轴上有一动点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
3.如图，矩形中，，，动点在边上，与点、不重合，过点作的垂线，交直线于点．设，．
（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围．
（2）当时，求的长．
（3）若直线与线段延长线交于点，当与相似时，求的长．
4.阅读理解：
如图1，在四边形的边上任取一点（点不与点、点重合），分别连接，，可以
把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上
的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的强相似点．
解决问题：
（1）如图1，，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形中，，，且，，，四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形的边上的一个强相似点；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究和的数量关系．
5.如图，已知二次函数的图象过点，．
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：是直角三角形；
（3）若点在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点作垂直轴于点，是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图，某抛物线顶点坐标为与轴交于点，与轴交于、两点
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的对称轴与直线交于点，连接、，求的面积．
（3）点为直线上一动点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，问是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
7.如图，直线与轴、轴分别交于点、，经过、两点的抛物线
与轴的负半轴上另一交点为，且．
（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点的坐标；
（2）若点是射线上一点，且以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
8.如图，已知二次函数，为常数）的图象经过点，点，顶
点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，连结．
（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点
落在的内部（不包括的边界），求的取值范围；
（3）点是直线上的动点，若点，点，点所构成的三角形与相似，请直接写出所有点的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
9.如图所示，已知抛物线，与轴从左至右依次相交于、两点，与轴相交于点，经过点的直线与抛物线的另一个交点为．
（1）若点的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点，使得以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
10.如图，已知抛物线的方程与轴相交于点、，与轴相交于点，且点在点的左侧．
（1）若抛物线过点，求实数的值；
（2）在第四象限内，抛物线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
11、如图，已知抛物线是实数且与轴的正半轴分别交于点、（点位于点的左侧），与轴的正半轴交于点．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 （用含的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点，使得四边形的面积等于，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点，使得，和中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1.解：①如图1，∵∠A=∠A，∴当 时，△ADE和△ABC相似，
∴ ，解得：AE= ；
②如图2，∵∠A=∠A，∴当 时，△ADE和△ACB相似，
∴ ，解得：AE= ，综合上述：AE的长为 或 ；
2.解：（1）当时，，
．
点，
，
解得：或（舍去），
．
点在双曲线上，
，
双曲线的函数解析式为．
（2）为直角三角形，点在轴上，
点在点的下方，，
有存在两种情况（如图所示）
①当时，点与点重合，
此时点的坐标为；
②当时，设点的坐标为．
点在直线上，
，，
直线．
当时，，
．
，，
，，，，．
，
，即，
解得：，
此时点的坐标为．
综上可知：点的坐标为或．
3.解（1）∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=2，∠ADC=∠BCD=90°．
又∵AF⊥DE，∴∠ADF=∠DCE=90°，∠DAF=∠EDC=90°-∠DFA，
∴△ADF∽△DCE，∴∴，即
∵点E在线段BC上，与点B、C不重合，
∴0（2）①当点F线段DC上时，
∵CF=1，∴DF=x=2-1=1，此时；
②当点F线段DC延长线上时，
∵CF=1，∴DF=x=2+1=3，此时
∴当CF=1时，EC的长为．
（3）在中，
在中，
∵AD//BC∴△ADF∽△GCF∴∴
∵∴∴当△DBE与△DFG相似时,可分以下两种情况：
= 1 \* GB3 ①△DEB∽△GFD，如图，有∴
∴解得
= 2 \* GB3 ②△DEB∽△DFG, 如图，有∴∴解得
综上所述：DF的长为或
4.解析：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°∴∠ADE=∠BEC．∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．
（2）作图如下：
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折叠可知：△ECM≌△DCM∴∠ECM=∠DCM，CE=CD∴∠BCE=∠BCD=30°∴BE=CE=AB
在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°∴，∴
5.解：（1）由题意得，函数图象经过点，，
故可得：，
解得：，
故二次函数关系式为：．
（2）由（1）所求函数关系式可得点坐标为，点坐标为，，
又点，，
，，
，
满足，
是直角三角形．
（3）存在点的坐标，点的坐标为，或，．
设点坐标为，，则，，
①若，则，即，
解得：或（因为点在第二象限，故舍去）；
代入可得，即坐标为，；
②若，则，即，
解得：或（因为点在第二象限，故舍去）．
代入可得，即坐标为：，．
综上所述，满足条件的点有两个，即，、，．
6.解：（1）依题意，设抛物线的解析式为，将代入，
得：，解得，
所以抛物线的解析式：，即；
（2）与轴交于、两点，
、；
设直线的解析式为：，代入点的坐标后，得：
，解得，
直线；
抛物线的对称轴为：，则；
，，，
即：，
是直角三角形，且；
；
（3）由题意知：轴，则，若与相似，则有：
①，即轴；
将点纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
，解得；
当时，；
当时，；
所以，、，．
②；
易知，直线，联立抛物线的解析式有：
，
，
解得、；
当时，；
当时，；
所以、．
综上，存在符合条件的点，且坐标为：，、，、、．
7.解：（1）令，则，
解得，
令，则，
点，，
，
，
，
点，
把点、、的坐标代入抛物线解析式得，，
解得，
该抛物线的解析式为，
，
顶点；
（2），，
，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
①和是对应边时，，
，
即，
解得，
过点作轴于，
则，
，
点的坐标为，；
②和是对应边时，，
，
即，
解得，
过点作轴于，
则，
，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为，或时，以点、、为顶点的三角形与相似．
8.解：（1）把点，点代入二次函数得，
解得
二次函数解析式为，
配方得，
点的坐标为；
（2）设直线解析式为，把点，代入得，
解得
直线的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点、点
把代入直线解析式解得，则点坐标为，点坐标为
，解得；
（3）连接，作轴并延长交于点，则点坐标为
，
，
把代入解得，则点坐标为，
，，
，
，
由此可知，若点在上，则，则点与点必为相似三角形对应点
①若有，则有
，，
，
，
，
若点在轴右侧，作轴，
，
把代入，解得，
；
同理可得，若点在轴左侧，则把代入，解得
；
②若有，则有
，
若点在轴右侧，把代入，解得；
若点在轴左侧，把代入，解得
；．
所有符合题意得点坐标有4个，分别为，，，．
9.解：（1），
点的坐标为、点两的坐标为，
直线经过点，
，
，
当时，，
则点的坐标为，
点在抛物线上，
，
解得，，
则抛物线的解析式为；
（2）如图1中，作轴于，设点坐标，
当时，，
，即，
，即，
解得或1（舍弃），
当时，，
，
，
，
，
解得或（舍弃），
则，
点坐标．
当时，，
，即，
，
，
，
解得或1（舍弃），
当时，，
，
，即，
，
解得或（不合题意舍弃），
则点坐标，
综上所述，符合条件的点的坐标和．
10.解：（1）依题意，将代入抛物线解析式得：
，解得．
（2）分两种情形讨论：
①当时，如解答图2所示．
则，
，．
由函数解析式可得：，，即，
，
，
作轴于点，则，
．
设，，又点在抛物线上，
，
，
，
，．
此时，，，
又，
，
，
，
．
②当时，如解答图3所示．
则，
．
，
，
，
，
设，
又点在抛物线上，
，
，
，
，
，，，，
又，
整理得：，显然不成立．
综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，．
11.解：（1）令，即，
解得：或，
是实数且，点位于点的左侧，
点的坐标为，
令，
解得：，
点的坐标为，
故答案为：，；
（2）存在，
假设存在这样的点，使得四边形的面积等于，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形．
设点的坐标为，连接．
则，
．
过作轴，轴，垂足分别为、，
．
四边形是矩形．
．
．
，，即．
由解得
由得，即，
解得符合题意．
的坐标为，；
（3）假设存在这样的点，使得，和中的任意两个三角形均相似．
，
，．
要使与相似，只能，即轴．
，
，
．
只能．此时，
由轴知轴．
．
要使与相似，只能或．
当时，．
．
由得：．
解得：．
，
．
点的坐标是．
当时，，
，即．
又，
．即．
解得：，此时符合题意，
点的坐标是．
综上可知，存在点或，使得，和中的任意两个三角形均相似．