河南省郑州市二中共同体2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案）

这是一份河南省郑州市二中共同体2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省郑州市二中共同体2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ）
A． B． C． D．
2．正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（    ）
A．正方形 B．平行四边形或线段 C．矩形 D．菱形
3．已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（    ）
A．1，， B．1，，    
C．1，， D．1，，
4．已知在 中, , 那么 的长为（   ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在中，，若，则（    ）

A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（    ）
A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
7．在反比例函数（k为常数）上有三点，若，则的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
8．小明准备在2023年春节期间去看电影，他想在《满江红》，《龙马精神》，《流浪地球2》，《想见你》，《回天有我》这五部电影中选取两部去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《满江红》和《流浪地球2》的概率是（    ）

A． B． C． D．
9．如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴正半轴交于点．它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（    ）

①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，正方形中，，点E，F分别为上一点，且，连接交对角线于点G，点P，Q分别为的中点，则的长为（    ）

A．6 B． C． D．

二、填空题
11．写出一个经过点的二次函数的解析式：_______．
12．在一个不透明的袋子中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，则袋子中红球约有_______个．
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数a的最大值是_______．
14．如图，等腰直角三角形中，点A，B分别在x轴，y轴上，直角顶点C落在反比例函的图象上，的中点D落在y轴上，若，则______．

15．如图，矩形中，，点E为的中点，点P为边上一个动点，连接，过点P作于点Q，当与相似时，的长为_______．


三、解答题
16．（1）计算：．
（2）若，求的值．
（3）解方程：．
17．把边长为1个单位的6个相同正方体摆成如图的形式．
   
（1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）直接写出该几何体的表面积为______；
（3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 ______个小正方体．
18．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，，水嘴高．

(1)以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求图中抛物线的解析式；
(2)求水柱落点C与水嘴底部A的距离．
19．妙乐寺塔，又名妙乐寺真身舍利塔，位于河南省焦作市武陟县城西7.5公里处，建于后周显德二年，是我国现存最古老、规模最大、保存最为完整的五代大型砖塔，2001年6月25日妙乐寺塔作为五代时期古建筑，被国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．某数学兴趣小组准备测量妙乐寺塔的高度，由于塔底不可到达，小组准备用无人机测量，组员小明操作无人机飞至离地面高度为60米的C处时，测得妙乐寺塔的顶端A的俯角为，他操控无人机水平飞行70米至塔另一侧D处时，测得塔的顶端A的俯角为．已知A，B，C，D在同一平面内，求妙乐寺塔的高度．（精确到0.1米，参考数据：）

20．如图，矩形中，，点M，N分别为上一点，且，连接．

(1)当时，求证：四边形是菱形；
(2)填空：①当 时，四边形是矩形；②当 时，以为对角线的正方形的面积为．
21．如图，直线交x轴于点A，交反比例函数的图象于，两点．

(1)求反比例函数的解析式和a的值；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)点M为y轴上任意一点，点N为平面内任意一点，若以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写出点N的坐标．
22．如图，二次函数的图象交x轴于点两点，交y轴于点C．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点M为直线下方二次函数图象上一个动点，连接，求面积的最大值；
(3)点P为直线上一个动点，将点P向右平移6个单位长度得到点Q，设点P的横坐标为m，若线段与二次函数的图象只有一个交点，直接写出m的取值范围．
23．数学兴趣小组活动中，刘老师展示一个问题情境，供同学们探究：
问题情境：如图，中，，点P为斜边上不与A，B重合的一个动点，过点P作于点Q，分别过P，Q作，交于点D，请讨论可能发现的结论．
以下是讨论过程：
小明：我发现四边形是平行四边形．
理由：由作图可知，，∴四边形是平行四边形．
小亮：我和小明想法一样，但还可以用全等三角形来解决．
理由：∵，∴．
又∵，∴．∴．
∴四边形是平行四边形．
小红：我发现如果点D恰好落在上时，点P为的中点．


请仔细阅读讨论过程，完成下述任务：
(1)小明推导四边形是平行四边形的依据是 ，小亮推导四边形是平行四边形的依据是 ，其中小亮得出的依据是 （填序号）；

(2)当点D恰好落在上时，请证明小红的结论；
(3)若的中点为E，当点E恰好落在一边的垂直平分线上时，直接写出此时的长．

参考答案：
1．C
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A. 由得：，未知数的最高次数是1不是2，故A选项错误，不符合题意；
B. 当时，方程就不是一元二次方程，故B选项错误，不符合题意；
C.由得：，满足一元二次方程的条件，故C选项正确，符合题意；
D. 含两个未知数，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．
2．B
【分析】根据平行投影定义即可解题.
【详解】解：∵太阳光线属于平行投影,
当正方形和阳光不垂直时,正方形各边依然互相平行
∴阳光下的投影为平行四边形,
当正方形和阳光垂直时,正方形各边重合,
∴阳光下的投影为线段
故选B.
【点睛】本题考查了平行投影,属于简单题,注意分类讨论是解题关键.
3．A
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：=1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1：：，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
4．A
【分析】画出，根据三角函数进行解题即可．
【详解】解：由图可知，

∵，
∴BC=．
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟练掌握所学三角函数的性质是解题的关键．
5．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：∵，，
∴，则
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键．
6．D
【分析】由矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、四边相等的四边形是菱形，选项A不符合题意；
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项B不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握矩形的判定、菱形的判定是解题的关键．
7．C
【分析】根据偶次方的非负性，得，再根据反比例函数的图象的特点解决此题．
【详解】解：∵，
∴．
∴反比例函数(k为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，y随着x的增大而减小；在第三象限内，y随着x的增大而减小．
∵，
∴，，即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的特点，熟练掌握反比例函数的图象的特点是解决本题的关键．
8．C
【分析】采用列表法列举即可求解．
【详解】用“A”代表《满江红》和《流浪地球2》，用“B”代表《龙马精神》，《想见你》，《回天有我》，列表如下：

即总的情况有20种，满足条件的有2种，
即：则小明抽中《满江红》和《流浪地球2》的概率是，
故选：C．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
9．B
【分析】根据二次函数的图像性质和二次函数的图像与系数的关系逐项判断即可．
【详解】∵二次函数图像开口向下，与轴正半轴交于点，
∴，，
∴，故①正确；
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，故③错误；
∵二次函数的对称轴为直线，与轴交于，两点，且，
∴根据二次函数的对称性可知：，
∴，故④错误．
综上所述：正确的说法有2个，
故选：B
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，理解并熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
10．D
【分析】根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理可以求得和的长，然后根据勾股定理即可求得的长．
【详解】取中点，连接，取中点，连接，作交于点，如图所示，

正方形的边长为12，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵中点，点为的中点，
∴， ，，
∴，
∵中点，点为的中点，
，，，
∵，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
11．（答案不唯一）
【分析】设经过点的二次函数解析式为，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设经过点的二次函数解析式为，
∴，
∴，
∴满足题意的二次函数解析式为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确计算是解题的关键．
12．8
【分析】设袋子中红球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可．
【详解】解：设袋子中红球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，
∴从袋子中随机摸出一个球的概率为，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴袋子中红球约有8个，
故答案为：8个．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．
13．1
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
则a的最大整数值是1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
14．4
【分析】过点作轴，交轴于，于，易证，可得，设，则，由的中点落在轴上，可得，进而求得，由勾股定理可求得的值，进而得，即可求得．
【详解】过点作轴，交轴于，于，
则，，

∵是的等腰直角三角形，
∴，，则，
∴，
∴，
∴，
则，可设，则，
∵的中点落在轴上，
则，∴，即，
∴，，，
由得，，解得：，即
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查求反比例函数的解析式，做辅助线构造全等，利用勾股定理求得点的长度得点的坐标是解决问题的关键．
15．或4
【分析】根据矩形性质得出，，，，，分时，，或时，，求出的长即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，，
，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴；
当时，，如图所示：

过点E作于点F，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，
即，
解得：；
综上分析可知，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是根据题意作出图形，并注意分类讨论．
16．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求解即可；
（2）先求出，再代入到所求代数式中即可求解；
（3）利用公式法求解即可．
【详解】解：（1）原式

．
（2）∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的加减混合运算、分式的化简求值和公式法解一元一次方程等知识，解题关键是牢记相关概念或公式．
17．（1）见解析；（2）21；（3）2．
【分析】（1）利用三视图的画法解题；
（2）利用几何体的形状计算其表面积；
（3）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置．
【详解】(1)如图，

(2)几何体的表面积：
故答案为：21；
(3)最多可以再添加2个正方体，如图，

故答案为：2．
【点睛】本题考查作图—三视图、几何体的表面积等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．(1)
(2)水柱落点C与水嘴底部A的距离为m

【分析】（1）根据题意设抛物线表达式为顶点式：，代入定点坐标，把与y轴交点坐标代入即可求出抛物线表达式；
（2）令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为．
由题意知，顶点，
∴，
把代入，得，
∴，
∴．
（2）当时，
解得，（舍去）.
所以．
答：水柱落点C与水嘴底部A的距离为．
【点睛】此题考查了求二次函数表达式，二次函数与x轴交点坐标，解题的关键是找出坐标代入求解．
19．妙乐寺塔的高度约为37.6米．
【分析】过点A作，垂足为E，设，由直角三角形可得，，根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作，垂足为E，设，

在中，，
∴，
在中，，



∵，
，
解得，米.
则米.
答：妙乐寺塔的高度约为37.6米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线并熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
20．(1)见解析
(2)①4；②或

【分析】（1）求出四边形的各个边长即可；
（2）设，①四边形是矩形时，列方程计算即可；
②以为对角线的正方形的面积为解方程即可．
【详解】（1）∵矩形中，
∴,
∵，
∴，，，
∴
∴四边形是菱形
（2）设，则
①∵四边形是矩形
∴，
∴，解得
即当时，四边形是矩形；
故答案为：4；
②当或时，以为对角线的正方形的面积为
证明：当时，
过N作于，则四边形是矩形

∴，
∴，
∴，
∵以为对角线的正方形的面积为，
∴
∴，
解得或，
即当或时，以为对角线的正方形的面积为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，解一元二次方程，理解矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
21．(1)，
(2)或
(3)以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或

【分析】（1）将点代入反比例函数中得到，即可求出；
（2）找到函数图像中直线在抛物线上方的图像对应的横坐标范围即可；
（3）先求出A，B的坐标，可得，再分情况画出图形，再结合菱形的性质解决问题．
【详解】（1）将点代入反比例函数中得：，
∴反比例函数的解析式为，
∵点D在反比例函数图象上，
∴；
（2）由图象可知，不等式的解集为或；
（3）∵过，两点
∴
∴，
∴，
当以为一边时，，
由于，只能在下方，如图1，

此时，
∴是等腰直角三角形，且N在x轴上
∴
∴；
当以为一条对角线时，垂直平分，如图2，

由双曲线的对称性可知，垂直平分线过原点
∴此时M与原点重合，
设
∴中点坐标为，中点坐标为
∴，解得
∴，
综上，以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，熟悉反比例函数性质是解题的关键．
22．(1)
(2)8
(3)或

【分析】（1）将代入解方程即可；
（2）先求出的解析式，过点M作轴，垂足为H，交直线于点N，设，则，即可表示出面积，求最大值即可；
（3）根据点P在线段上、线段左边、线段右边三种情况进行分类讨论即可．
【详解】（1）将代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，
∴，
设直线的解析式为：，将代入，
得，解得，
∴直线的解析式为：，
如图1，过点M作轴，垂足为H，交直线于点N，设，

∴，
∴，
∴

=
=
=，
∴当时，面积的最大值为8；
（3）①当点P在线段上时，
∵P，Q的距离为6，而C，B的水平距离是4，
∴此时只有一个交点，即，
∴线段与抛物线只有一个公共点；
②当点P在点B的右侧时，线段与抛物线没有公共点；
③当点P在点C的左侧时，
∵，
∴抛物线的顶点为，
令，解得，
∵，
∴当时，抛物线和交于抛物线的顶点，即时，线段与抛物线只有一个公共点，
综上，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数面积问题等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
23．(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④
(2)见解析
(3)的值为或或5

【分析】（1）根据描述逐一判断即可；
（2）由条件证四边形是平行四边形，再证四边形是平行四边形，即可得出结论；
（3）分三种情况：当点E落在线段的垂直平分线上时、当点E落在线段的垂直平分线上时、当点E落在线段BC的垂直平分线上时，证，列比例式计算即可．
【详解】（1）解：小明：，
∴四边形是平行四边形．
∴依据为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
小亮：，
∴四边形是平行四边形．
∴依据为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
，，
∴依据为：
（2）解：如图1，当点D恰好落在上时，

∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由讨论可知四边形是平行四边形，
∴，
∴，即点P为的中点；
（3）解：分三种情况，设，则，，
①如图2中，当点E落在线段的垂直平分线上时，

，可得，即，得，
②如图3中，当点E落在线段的垂直平分线上时，

，可得，即，得.
③如图4中，当点E落在线段BC的垂直平分线上时，点M与点P重合，点N与点D重合，

∴.
综上所述，满足条件的AP的长为或或5．
【点睛】本题考查了三角形的折叠、平行四边形的判定、全等三角形的判定、相似三角形的判定、分类讨论等知识点，各个知识点的熟练运用是解题关键．