重庆市南开中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题（含答案）

这是一份重庆市南开中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题（含答案），共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在10，，0，这四个数中，绝对值最大的是（ ）
A．10B．C．0D．
2．全能数学社的同学们准备设计一个中心对称图形作为社团标志，下列图形中符合要求的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线，把直角三角板ABC按如图方式摆放，，，顶点A，B分别在直线a，b上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．寒假里小林去海南旅游，某日他观测了海滨浴场从早上8点到晚上8点的水位变化情况，记录结果如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A．8时水位最低B．8时至12时，水位最高为7米
C．8时至14时，水位不断升高D．16时至20时，水位不断降低
5．如图，已知五边形与五边形是位似图形，位似中心是O，若五边形的面积是2，五边形的面积是18，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有8颗棋子，第③个图形一共有17颗棋子，……，则第⑦个图形中棋子的颗数为（ ）
A．92B．81C．73D．64
7．估计的值应在（ ）
A．3.5和4之间B．4和4.5之间C．4.5和5之间D．5和5.5之间
8．某校有36间教室和30间实验室的电教设备需要改造升级．承担此项工程的三友公司平均每天改造的实验室数量比平均每天改造的教室数量多4间．若最终改造完实验室的时间是改进完教室时间的一半，求平均每天改进教室的间数．设平均每天改造教室x间，则下列方程中正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，正方形的边长为5，点E在边上，，连接，将沿翻折得，延长交于点F．则的长度为（ ）
A．2B．C．D．
10．如图，已知的半径为，为直径，C为上一点，连接，取的中点D，连接并延长与交于点E．连接，与的交点为F．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
11．若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．2B．5C．10D．12
12．已知二次根式，（n为正整数），下列说法：
①若，，则；
②若，则；
③若，则y的最小值为．
其中正确选项的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
13．计算：______．
14．今年的春节档电影热闹非凡、丰富多元．小南决定从《满江红》、《深海》、《无名》、《流浪地球2》中随机挑选两部电影观看，则选取观看的影片为《满江红》、《流浪地球2》的概率为______．
15．如图，等边的边长为，为上一点，以为圆心，为半径作圆与边相切于点，与边，分别交于，两点．则图中阴影部分的面积为______．
16．传统文化中，橙子和柿子都是带有美好寓意的水果．今年春节，津南果品店就推出了由奉节脐橙和城口磨盘柿组成的甲、乙、丙、丁四种礼盒，其中甲礼盒有1千克脐橙，乙礼盒有1千克磨盘柿，丙礼盒有2千克脐橙和1千克磨盘柿．丁礼盒有以1千克脐橙和2千克磨盘柿．每种礼盒的售价为所含果品的售价之和，两种果品每千克的售价均为整数（磨盘柿比脐橙贵），且每千克的售价之和介于30元与40元之间．第一天试销，甲、乙、丙、丁四种礼盒的销售数量之比为．第二天果品店将甲礼盒改为2千克脐橙，乙礼盒改为2千克磨盘柿．丙礼盒改为9千克脐橙和6千克磨盘柿．丁礼盒改为6千克脐橙和8千克磨盘柿．当天甲、丙、丁这三种含有脐橙的礼盒销售数量之比为．且这三种礼盒的销售总额比第一天四种礼盒的销售总额少6410元．而乙礼盒销售数量则为第一天的80%，从果品种类统计发现，这两天通过礼盒方式售出的脐橙与磨盘柿数量相差在65千克到75千克之间，则这两天甲礼盒的总销售额为______．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．在四边形中，连接，，．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，若，证明：四边形为菱形．
证明：∵为的垂直平分线，
∴，______．∴______．
∵，即，∴在中，______．
∴，∴______．
∵，∴，∴四边形为菱形．
19．为了弘扬优秀传统文化，某校七年级开展了关于“二十四节气”的项目化实践活动，并进行了知识竞赛，从男生、女生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（满分为100分，95分及以上为优秀）进行整理，描述和分析（成绩用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息：
抽取的10名男生在B，C两组中的所有竞赛成绩：87，91，93，94，94，94．
抽取的10名女生的所有竞赛成绩：92，85，89，92，94，96，96，98，96，100．
男生、女生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请填空：______，______，圆心角______度；
(2)根据以上数据，你认为该校七年级男生与女生的竞赛成绩谁更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校七年级共有学生1080人，估计该校七年级竞赛成绩为优秀的学生人数．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
(2)已知点C位于x轴的正半轴上，连接，若，求的面积；
(3)根据函数图象，直接写出不等式的解集．
21．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
22．春节期间，小南和同学相约外出游玩，如图．他们在A地集合后，沿南偏西75°方向行走一段距离到达打卡点B．并计划在位于B正北方向12米处的网红餐厅C用餐．已知A在C的东南方向上．
(1)求A，C两地的距离；（结果精确到十分位）
(2)B地游玩结束后，小南沿正北方向行走米到点E，由于前方有停靠车辆，于是小南转向，沿方向行走米后到F点．此时，停靠车辆的车门突然打开（车门打开时间忽略不计）．车门在地面上的正投影在射线上，O点的正投影点为D点．已知米，车门长米，．请计算说明车门打开时，是否会碰到小南？并求出此时车门打开的角度．（参考数据：，）
23．对于一个四位自然数，其中A，B都是两位数，若A的各个数位数字之和等于B的各个数位数字之知，且A与B之和能被9整除，则称M为“九转功成数”．
例如：∵，，为整数，
∴5427是“九转功成数”．
又如：∵，，不为整数，
∴3719不是“九转功成数”．
(1)判断1928，6345是否是“九转功成数”，并说明理由；
(2)一个“九转功成数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．其中，记，，将P的各个数位数字之和记为G（P）．当（k为整数）时，求出所有满足条件的M．
24．如图1，直线l：与抛物线交于，两点，与y轴交于C点，点在直线l上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线l下方的抛物线上一点，过P作轴交直线l于Q．当最大时，求点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线AB方向平移，使新抛物线恰好经过C点，点M是直线l下方的新抛物线上一点，过点M作轴交直线l于点N．若是等腰三角形，请直接写出点N的横坐标．
25．如图1，在中，，，点为边的中点，点在边下方，连接，，，．
(1)若，，求的长；
(2)如图2，连接，过点作交延长线于点（）．在线段上取点，使，连接交于点，求证：；
(3)如图3，若，过点作于点，连接，将四边形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与边，交于点，．与交于点，再将四边形折叠，使点的对应点恰好落在边上，折痕分别与边，交于点，．连接，当时，请直接写出的最小值．
性别
平均数
中位数
众数
满分率
男生
93.2
94
n
10%
女生
93.8
m
96
10%
参考答案：
1．D
【分析】根据绝对值的定义求出每个数的绝对值，再比较大小即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴ 绝对值最大的数是．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值以及有理数大小比较，解决本题的关键是明确绝对值的定义．
2．B
【分析】本题考查中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．依据中心对称图形的定义一一判断即可．
【详解】A选项不是中心对称图形，故本项不符合题意；
B选项是中心对称图形，故本项符合题意；
C选项不是中心对称图形，故本项不符合题意；
D选项不是中心对称图形，故本项不符合题意.
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟记中心对称图形的定义是基础，找到对称中心、观察细节是关键．
3．B
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补计算即可．
【详解】∵，，，，
∴，，
∴，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．D
【分析】直接观察图象可得20时时水位最低；8时至12时，水位最高为4米；11时至12时，水位在下降；16时至20时，水位不断降低，即可求解．
【详解】解：观察图象得：20时时水位最低，故A选项错误，不符合题意；
观察图象得：8时至12时，水位最高为4米，故B选项错误，不符合题意；
观察图象得：11时至12时，水位在下降，故C选项错误，不符合题意；
观察图象得：16时至20时，水位不断降低，故D选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数图象，明确题意，准确从函数图象获取信息，利用数形结合思想解答是解题的关键．
5．A
【分析】根据位似图形的面积之比等于位似比的平方计算即可．
【详解】∵五边形与五边形是位似图形，位似中心是O，五边形的面积是2，五边形的面积是18，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积之比等于位似比的平方是解题的关键．
6．C
【分析】从第二个图形开始寻找变化的规律，上下左右个数相等分别为序号数减一，中间为序号数乘以序号数，得到一般规律式，代入计算即可．
【详解】从第二个图形开始寻找变化的规律，上下左右个数相等分别为序号数减一，中间为序号数乘以序号数，
故第7个图形中的棋子数为．
故选C．
【点睛】本题考查了整式的加减中的数字规律，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．
7．C
【分析】根据二次根式的运算性质化简后，再对根式进行估算，即可得出答案．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴的值应在4.5和5之间．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和估算无理数的范围，能得出，是解此题的关键．
8．A
【分析】根据“最终改造完实验室的时间是改进完教室时间的一半”列出方程即可．
【详解】根据题意得：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
9．C
【分析】连接，由折叠得，，，，再证明，即有，设，则，，
在中，由勾股定理得，，据此列方程即可求解．
【详解】如图所示，连接，
∵正方形的边长为5，
∴，，
由折叠得，，，，
∴，，
在和中，
∴（），
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
解得，，
即的长度是，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．
10．A
【分析】连接，先证明求出的长，再求出的长，即可根据求解．
【详解】连接，
∵的中点D，
∴，，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∵，
∴
∴
解得，
∵
∴
解得，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理的推论与勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键是由中点得到，，．
11．A
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．
【详解】解：解不等式组得：，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴，
解得，
故；
分式方程去分母得：，
整理，得，
当时，方程有整数解，且为；
当时，，
当时，，方程有整数解，且为；
当时，，方程无解，
同理可证，当时，方程无解，
∴符合条件的所有整数a的和是，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围．
12．D
【分析】根据，得到，从而得到，当，，得到计算判断①；当时，变形，整理变形计算判断②；
根据=转化为x轴上一点到点的距离之和最小问题，根据将军饮马河原理计算判断即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
当，，
∴，
∴①正确；
∵，
∴，
∴
，
故②正确；
∵
问题转化为x轴上一点到点的距离之和最小问题，
作点的对称点，
∴的最小值为，
故③正确，
综上所述，三个结论都正确．
故选D．
【点睛】本题考查了分母有理化，整式中的规律探索，完全平方公式，将军饮马河原理，熟练掌握分母有理化，正确探索规律，灵活运用将军饮马河原理是解题的关键．
13．3
【分析】根据非零数的零次幂以及负整数次幂计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查非零数的零次幂和负整数次幂的计算，熟练掌握非零数的零次幂及负整数次幂是解决本题的关键．
14．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】《满江红》、《深海》、《无名》、《流浪地球2》分别用A、B、C、D表示，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选取观看的影片为《满江红》、《流浪地球2》的有2种结果，
所以选取观看的影片为《满江红》、《流浪地球2》的概率为．
故答案为：
【点睛】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
15．##
【分析】连接，，根据题目给的条件推断得出，，故，；设，则，，根据求出，得出为等边三角形，，最后利用扇形面积公式和三角形面积公式及其图形面积之间的关系求出答案即可．
【详解】如图，连接，．
为等边三角形
为切点，
，
．
，
，
．
设，则，
，
，
，
，
，，，
且，
为等边三角形，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理、等边三角形的性质与判定、扇形面积公式等，连接常用的辅助线是解题关键．
16．
【分析】设磨盘柿和脐橙的单价分别为，第一天甲四种礼盒的销售数量为，第二天甲四种礼盒的销售数量为，再依据题意列出方程和不等式，最后计算即可．
【详解】设磨盘柿和脐橙的单价分别为，第一天甲四种礼盒的销售数量为，第二天甲四种礼盒的销售数量为，
∴第一天甲、乙、丙、丁四种礼盒的销售数量依次为、、、
第二天甲、丙、丁这三种含有脐橙的礼盒销售数量依次为、、，乙礼盒销售数量为
∴第一天销售磨盘柿千克，脐橙千克
第二天三种礼盒销售磨盘柿千克，脐橙千克
∵这三种礼盒的第二天销售总额比第一天四种礼盒的销售总额少6410元
∴
整理得
∵磨盘柿比脐橙贵，且每千克的售价之和介于30元与40元之间
∴，
∴
∵641是质数
∴，
∴
∵这两天通过礼盒方式售出的脐橙与磨盘柿数量相差在65千克到75千克之间，
∴
整理得：
∴
解得
∴，
∴这两天甲礼盒的总销售额为，
故答案为：．
【点睛】此题考查不等式与方程的综合，关键是根据题意得出方程和不等式．
17．(1)
(2)
【分析】（1）完全平方公式展开，合并同类项即可．
（2）运用因式分解，约分，分配律化简即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，分式的化简，熟练掌握因式分解，约分，完全平方公式是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)；，，
【分析】(1)根据线段垂直平分线的基本作图步骤完成即可．
(2)根据线段垂直平分线的性质，等量代换，菱形的判断证明即可．
【详解】（1）根据基本作图的要领，作图如下：
则直线EF即为所求．
（2）∵为的垂直平分线，
∴，．
∴．
∵，即，
∴在中，．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，线段的垂直平分线的性质，余角的性质，菱形的判定，熟练掌握基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判断是解题的关键．
19．(1)95，94，
(2)女生更好，见解析
(3)432人
【分析】(1)根据出现次数最多的数据叫做众数，确定n，根据将一组数据排序后，中间或中间两位数的平均数叫做中位数计算确定m；利用所占百分比乘以，确定圆心角．
(2)从中位数，众数和平均数三个角度去分析即可．
(3)利用样本估计总体的思想计算即可．
【详解】（1）∵D组占比为，满分率为，
∴D组的人数为（人），满分率人数为（人），
∴94出现的次数最多，A组的人数为1人，
故；；
排序如下： 85，89，92，92，94，96，96， 96，98，100，
∴中位数，
故答案为：．
（2）女生组成绩更好些．理由如下：
女生的平均成绩高于男生，且女生的中位数高于男生的中位数．
（3）∵男生组中，D组占比为，
∴D组的人数为（人），
∵女生组中，D组有5人，
∴该校七年级竞赛成绩为优秀的学生人数（人）．
【点睛】本题考查了圆心角的计算，中位数，众数的计算，样本估计总体的思想，熟练掌握中位数、众数的计算是解题的关键．
20．(1)，画图见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）先把点A的坐标代入到反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中进行求解即可；
（2）如图所示，过点B作轴于D，则，，解求出，设直线交x轴于E，则，的，再根据进行求解即可；
（3）只需要找到一次函数图象在反比例函数图象上方或交点处的自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入反比例函数中得，
∴，
∴反比例函数解析式为；
把代入到中得：，
∴，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
函数图象如下所示：
（2）解：如图所示，过点B作轴于D，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
设直线交x轴于E，则，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当或时，．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
21．(1)总共生产了袋手工汤圆
(2)促销时每袋应降价3元
【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；
（2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．
【详解】（1）设总共生产了袋手工汤圆，
依题意得，
解得，
经检验是原方程的解，
答：总共生产了袋手工汤圆
（2）设促销时每袋应降价元，
当刚好10天全部卖完时，
依题意得，
整理得：
，
∴方程无解
∴10天不能全部卖完
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为
∴依题意得，
解得
∵要促销
∴
即促销时每袋应降价3元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论．
22．(1)A，C两地的距离为
(2)车门打开时，不会碰到小南，此时车门打开的角度为
【分析】（1）过B作于M，再解直角三角形即可；
（2）过E作于N，先求出、的长度，再在中求出的长度，最后求出的长与比较即可．
【详解】（1）过B作于M，
由题意，得，，
∴，，
∴，
∴，
∴A，C两地的距离为，
（2）过E作于N，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，，
∴车门打开时，不会碰到小南，此时车门打开的角度为．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．(1)1928不是“九转功成数”， 6345是“九转功成数”
(2)所有满足条件的M有，，
【分析】（1）根据“九转功成数”的定义计算即可；
（2）根据“九转功成数”的定义找到a、b、c、d的关系，再代入中消去未知数即可．
【详解】（1）∵，，不为整数，
∴1928不是“九转功成数”．
∵，，为整数，
∴6345是“九转功成数”．
（2）根据“九转功成数”的定义可得：，，为整数，
∴，
当时的十位是，个位是
∴
∵，
∴
∴
当时，，
∵k为整数，
∴
此时
∵为整数
∴或
∴当时，，此时
当时，不合题意
同理，当时，；
当时，
当时，没有符合条件的数字；
当时的十位是，个位是
∴
∵，
∴
∴
当时，，
∵k为整数，
∴不存在符合条件的
同理，当时，不存在符合条件的；
当时，不存在符合条件的；
当时，不存在符合条件的
综上，所有满足条件的M有，，
【点睛】本题是新定义题，主要考查了列代数式，以及数的分解，正确地读懂题目信息是前提，解题的关键是利用分类讨论和整除求值．
24．(1)
(2)
(3)若是等腰三角形，请点N的横坐标为 ，， ．
【分析】（1）将，代入抛物线解析式解方程即可；
（2）设P点横坐标为，用表示出、的坐标，接着表示出的值，最后求最大值即可；
（3）抛物线顶点为，根据将抛物线沿射线AB方向平移，设新抛物线的顶点为，表示出新抛物线的解析式，再代入C点坐标即可求出新抛物线解析式，再设M点横坐标为，用表示三边长，最后分类讨论列方程即可．
【详解】（1）将，代入得：
解得
∴抛物线解析式为
（2）设P点横坐标为，则
∵点P是直线l下方的抛物线上一点，过P作轴交直线l于Q
∴，
∴
∵点在直线l上
∴
∴
∴
∴
∴当时的值最大，最大值为
此时
（3）抛物线顶点为，
直线与y轴交点C点坐标为，
∵将抛物线沿射线AB方向平移，
∴设新抛物线的顶点为，且
∴新抛物线的解析式为
∵新抛物线恰好经过C，
∴
解得，（舍去）
∴新抛物线的解析式为
∴新抛物线与交点坐标为
设M点横坐标为，则
∵点M是直线l下方的新抛物线上一点，过点M作轴交直线l于点N
∴，
∴
∵
∴
当时
当时解得
∵
∴不存在，此时
当时解得
∵
∴，此时
同理，当时
解得
∵，时、重合
∴，此时
当时
解得
∵，
∴，此时
综上所述，若是等腰三角形，请点N的横坐标为 ，， ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数与等腰综合，二次函数中最值问题等知识，解题的关键是设一个未知数表示要求的点的坐标．
25．(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）延长，作，连接，，易证，进而可得，，，再证，进而可知是等腰直角三角形，则有，即可计算的长度；
（2）作交于，交延长线于，连接，易知，由（1）可知，，可知是等腰直角三角形，易证，可得，进而可知，易知四边形是矩形，可证得；
（3）由（1）可知，，则可知，易知，都是等腰直角三角形，进而可得，由勾股定理可得，过点作，设，由折叠可知，，且，，可得，，进而得，由题意可知，，则当时，有最小值．
【详解】（1）解：延长，作，连接，，
∵，，，
∴，，
则，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，点为边的中点，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，故是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）作交于，交延长线于，连接，
则，
∴，
由（1）可知，，
∵，
∴，则，故是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴四边形是矩形，
∴；
（3）由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，，
∴，都是等腰直角三角形，
则，，即：，
∵，，，
∴，则，
过点作，设，
由折叠可知，，且，，
∴，，
∵，
∴，则，
∴，
由题意可知，，
则当时，有最小值．
【点睛】本题属于几何综合，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，翻折的性质，及解直角三角形，添加辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．