四川省广元市昭化区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（含答案）

这是一份四川省广元市昭化区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（含答案），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
2．预防新型冠状病毒感染要用肥皂勤洗手，已知肥皂泡的厚度约为0.0000007m，将数据0.0000007用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．不变C．缩小D．缩小
5．如图，平分增加下列一个条件，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
6．一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
7．练习中，小亮同学做了如下4道因式分解题，你认为小亮做得正确的有
① ②
③ ④
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④．
A．1B．2C．3D．4
9．某部门组织调运一批物资，一运送物资车开往距离出发地180千米的目的地，出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．设原计划速度为x千米/小时，则方程可列为（ ）
A．+＝B． -＝C． +1＝﹣D． +1＝+
10．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A．B．C．a+bD．a
二、填空题
11．要使分式有意义，则x的取值应满足 _____．
12．正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有______种．
13．若，，则的值为 __．
14．关于x的分式方程有增根，则m的值为_____．
15．如图，∠ACB＝90°，AC＝CD，过点D作AB的垂线交AB的延长线于点E.若AB＝2DE，则∠BAC的度数为________.
16．如图，已知，为的角平分线上面一点，连接，；
如图，已知，、为的角平分线上面两点，连接，，，；
如图，已知，、、为的角平分线上面三点，连接，，，，，；…，依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是______．
三、解答题
17．计算题：
(1)；
(2)（用简便方法计算）．
18．如图，相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
19．先化简：，然后从，，中选择一个合适的数代入求值．
20．作图题：
(1)如图①，已知：．求作：射线，使平分；（要求：尺规作图，不写作法，但需保留作图痕迹）
(2)题（1）中作图的依据是全等三角形判定方法中的______；
(3)在图②中作出，使它与关于轴对称；
(4)在图②中的轴上找到一点，使的周长最小．
21．如图，在中，于点，是上一点，，且点在的垂直平分在线，若的周长为，求的长．
22．例：已知，求的值．
解：因为，所以，则，所以．
观察以上解答，解答以下问题：
已知，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
23．如图，为等边三角形，，与相交于点，于Q，，．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求的长．
24．为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
25．如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
(1)用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式：______；
(2)如图（3），中，，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长；
(3)如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”求证：．
26．如图1，在△ABC中，，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得，过点G作分别交BC，AC于点F，D．
(1)求证：；
(2)若，，求AB的长度；
(3)如图2，过点D作于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若，，在（2）条件下，求△AFP周长的最小值．
参考答案：
1．B
【分析】轴对称图形是指将图形沿着某条直线对折，直线两边的图形能够完全重叠，根据定义判断即可．
【详解】A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、是轴对称图形，故选项正确；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：B
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是关键．
2．A
【分析】根据负整数指数幂的科学记数法的表示方法进行求解即可．
【详解】
故选：A
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确数小数位是解题关键．
3．D
【分析】根据合并同类项、积的乘方和同底数幂相乘的运算法则即可求出答案．
【详解】解：A、，故A不符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、，故C不符合题意．
D、，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方和同底数幂相乘的运算法则，准确的计算是解决本题的关键．
4．C
【分析】根据题意，分式中的和都扩大2倍，则；
【详解】解：由题意，分式中的和都扩大2倍，
∴；
分式的值是原分式的，即缩小；
故选C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
5．A
【分析】根据题意和各个选项中的条件，可以判断哪个条件不能判定△ABC≌△ABD．
【详解】解：∵AB平分∠DAC，
∴∠CAB＝∠DAB，
∵AB＝AB，
∴若BC＝BD，则无法判断△ABC≌△ABD，故选项A中的条件，不可以判定△ABC≌△ABD；
若AC＝AD，则△ABC≌△ABD（SAS），故选项B中的条件，可以判定△ABC≌△ABD；
若∠CBA＝∠DBA，则△ABC≌△ABD（ASA），故选项C中的条件，可以判定△ABC≌△ABD；
若∠C＝∠D，则△ABC≌△ABD（AAS），故选项D中的条件，可以判定△ABC≌△ABD；
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．
6．B
【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：设多边形的边数为n．
根据题意得：（n−2）×180°＝360°，
解得：n＝4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．
7．B
【详解】试题解析：①x3+x=x（x2+1），不符合题意；
②x2-2xy+y2=（x-y）2，符合题意；
③a2-a+1不能分解，不符合题意；
④x2-16y2=（x+4y）（x-4y），符合题意，
故选B
8．D
【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；
利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；
利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．
利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD．
∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3，
∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
9．C
【分析】设原计划速度为x千米/小时，根据“一运送物资车开往距离出发地180千米的目的地”，则原计划的时间为：，根据“出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶”，则实际的时间为： +1，根据“实际比原计划提前40分钟到达目的地”，列出关于x的分式方程，即可得到答案．
【详解】设原计划速度为x千米/小时，
根据题意得：
原计划的时间为：，
实际的时间为： +1，
∵实际比原计划提前40分钟到达目的地，
∴ +1＝﹣，
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系，列出分式方程是解题的关键．
10．B
【分析】由题意等边三角形性质和全等三角形判定得出△BAD≌△CAE，进而作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，最后依据△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM求值即可得出答案.
【详解】解：如图，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称最短问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用轴对称性质得出AE′+FE′的值最小．
11．x≠1
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【详解】∵x﹣1≠0，
∴x≠1．
故答案为：x≠1．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
12．4
【分析】利用轴对称图形定义进行补图即可．
【详解】解：如图所示：
，
共4种，
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
13．
【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及利用幂的乘方运算法则解答即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【详解】解：，
，
解得，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
14．
【分析】由分式方程有增根，得到最简公分母为0，确定出m的值即可．
【详解】解：
分式方程去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．22.5°
【分析】连接AD，延长AC、DE交于M，求出∠CAB=∠CDM，根据全等三角形的判定得出△ACB≌△DCM，求出AB=DM，求出AD=AM，根据等腰三角形的性质得出即可．
【详解】解： 连接AD，延长AC、DE交于M，
∵∠ACB=90°，AC=CD，
∴∠DAC=∠ADC=45°，
∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM，
∵∠ABC=∠DBE，
∴由三角形内角和定理得：∠CAB=∠CDM，
在△ACB和△DCM中
∴△ACB≌△DCM（ASA），
∴AB=DM，
∵AB=2DE，
∴DM=2DE，
∴DE=EM，
∵DE⊥AB，
∴AD=AM，
∴∠BAC=∠DAE=∠DAC=×45°=22.5°，
故答案为：22.5°
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM是解此题的关键．
16．
【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有个全等三角形即可．
【详解】解：当有1点D时，有1对全等三角形；
当有2点D、E时，有3对全等三角形；
当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n个点时，图中有个全等三角形．
故答案为：．
【点睛】本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．
17．(1)0
(2)
【分析】（1）先根据负整数指数幂，零指数幂化简，再根据积的乘方的逆运算计算，即可求解；
（2）利用平方差公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由“”可证，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由全等三角形的性质可得，再根据角的和差即可求解．
【详解】（1）证明：（1）∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，利用“”证明是本题的关键．
19．；1
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从0，2，3中选择一个使得原分式有意义值，代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
∵当或时，原式没有意义，
∴当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，明确分式化简求值的方法和分式有意义的条件是解答本题的关键．
20．(1)图见解析
(2)定理
(3)图见解析
(4)图见解析
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法即可得；
（2）根据定理即可得；
（3）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得；
（4）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点．
【详解】（1）解：如图①，射线即为所求．
（2）解：如图①，连接，
由尺规作图可知，，
在和中，，
，
，
即射线平分，
则题（1）中作图的依据是全等三角形判定方法中的定理，
故答案为：定理．
（3）解：如图②，即为所求．
（4）解：如图②，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、三角形全等的判定与性质、画轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握尺规作图和轴对称图形的画法是解题关键．
21．9cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CA＝CE，AB＝AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵点C在AE的垂直平分线上，
∴CA＝CE，
∵AD⊥BE，BD＝DC，
∴AB＝AC，
∵△ABC的周长为18，
∴AB＋BC＋AC＝18，
∴2AC＋2DC＝18，
∴AC＋DC＝9，
∴DE＝DC＋CE＝AC＋CD＝9（cm）．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
22．(1)
(2)2
【分析】（1）仿照题意根据完全平方公式先求出，再根据进行求解即可；
（2）先得到，再将所求式子变形为，然后根据条件式进行转化求解即可．
【详解】（1）解：，
，则，
，
．
（2）解：，
，即：，
．
【点睛】本题主要考查代数式的求值和完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式以及整体代入思想方法，是解题的关键．
23．(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据SAS证明与全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，进而解答即可；
（3）根据含的直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，，
又，
在与中，，
（SAS），
；
（2）解：由（1）得，，
；
（3）解：，，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．（1）“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）最多能购买“科普类”图书33本．
【分析】（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，根据数量＝总价÷单价，结合购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设能购买“科普类”图书m本，根据总价＝单价×数量，列出不等式，即可求解．
【详解】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，
依题意，得： ，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝18．
答：“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；
（2）设能购买“科普类”图书m本，
根据题意得：18m+15(100-m)≤1600，
解得：，
∵m为整数，
∴最多能购买“科普类”图书33本．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及不等式的应用，找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）首先利用长方形的面积公式，把大长方形的面积表示出来，然后根据大长方形的面积也可以表示成一个小正方形面积与三个长方形的面积之和，分别表示出一个小正方形面积与三个长方形的面积，最后再根据同一图形（大长方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，即可得出等式．
（2）首先利用直角边，把的面积算出来，然后根据斜边的高，把的面积表示出来，最后再根据同一图形的面积，用两种不同的方法求得的结果相等，即可得出等式．解出即可得到的长．
（3）利用，分别表示出、、的面积，化简即可得出相应的结论．
【详解】（1）大长方形的面积可以表示为，
大长方形的面积也可以表示成一个小正方形面积与三个长方形的面积之和，即．
根据同一图形（大长方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，
可得等式为：．
故答案为：(x+2)(x+3)=x2+5x+6；
（2）中，∵，，
∴，
又∵是斜边边上的高，
，
∴，
∵两种不同的方法求得的结果应该相等，
可得：，
解得：；
（3）∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
又∵，
可得：.
【点睛】本题考查了几何图形与整式乘法，解本题的关键在熟练掌握等面积法求线段的长．
26．(1)证明见解析；
(2)2；
(3)．
【分析】（1）根据平行线的性质可证明，再根据题意利用AAS证明三角形全等即可．
（2）首先根据等腰三角形性质及平行线性质证明，求出FG的长，再利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）证明点F与点C关于直线PD对称，推出当点P与D重合时，△PAF的周长最小，最小值=△ADF的周长．
【详解】（1）证明：如图1中，∵，∴．
在△ABE和△GFE中，
∴．
（2）解：如图1中，∵，∴．
∵，∴，∴．
∴．
∵，∴．
∵，∴．
（3）解：如图2中，∵，
∴，∴．
∵，∴，即．
∵，，
∴，∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴点F与点C关于直线PD对称，
∴当点P与D重合时，△PAF的周长最小，最小值为的周长为：
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．