山东省淄博市淄川区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案）

这是一份山东省淄博市淄川区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图所示的几何体中，左视图是三角形的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知一个三角形的三个内角的度数之比为，则最小角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知是半径为1的的内接三角形，其中，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
5．分式化简的最终结果是（ ）
A．B．C．D．
6．某市为了构建城市立体交通网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将工作效率提高，则原计划完成这项工程需要（ ）
A．30个月B．25个月C．36个月D．24个月
7．已知二次函数 （a，k，h均为常数）的图象与x轴的交点的横坐标分别为和5，则关于x的一元二次方程的两个实数根分别是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，M为弦上一点，且，连接，过M作交于点N，则的长为（ ）
A．B．3C．D．
9．如图，矩形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图像恰好经过顶点B，的延长线交y于点E，已知的面积为，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
10．小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论x取何实数，y的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线上
C．当时，y随x的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点，，若，，则
二、填空题
11．用相同的小正方体摆成某种模型，其三视图如图所示，则这个模型是由_____个小正方体摆放而成的．
12．对于双曲线，当时，y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述要求的m的值_______．
13．二次函数图象的顶点坐标是________．
14．如图，点M，N分别是正方形的边上的点，且M为边的中点．已知，则__________．
15．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的表达式为，若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是_________．
三、解答题
16．如图，是斜靠在墙上的长梯，与底面的夹角为，当梯顶A下滑到时，梯脚B滑到处，与地面的夹角为．若，求的值．
17．如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A处）所爬行的最短距离．
18．如图，，点M，N分别在AB，CD上，且，点O是的中点，问点M，O，N在同一条直线上吗？为什么？
19．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时球离地面约．铅球落地点在处，铅球运行中在运动员前处（即）达到最高点，最高点高为．已知铅球经过的路线是抛物线，根据如图所示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？
20．顾老师布置了周末实践性作业如下，利用影子测量路灯灯泡的高．
身高为米的小明为了完成老师布置的作业，他设计了如下方案，如图所示，他先从路灯底部（A处）向东走20步到B处，发现自己的影子端点在C处，继续沿刚才自己的影子走5步到C处，此时影子的端点在D处（假设公路是东西方向笔直的公路）．根据小明设计的方案，请解决下列问题：
(1)请在图中画出路灯，
(2)估计路灯灯泡的高度并求影长．
21．已知双曲线经过点，点C是双曲线第三象限分支上的动点，过点C作轴，过点D作轴，垂足分别为A，B，连接，．
(1)求k的值，
(2)若的面积为12，
①若直线的函数表达式为，求a，b的值；
②根据图象，直接写出时x的取值范围；
③判断直线与的位置关系，并说明理由．
22．如图，是以为直径的的外接圆，点M为的内心，连接并延长交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，若，求的长．
23．已知抛物线与x轴相交于两点与y轴交于点C，作直线BC．
(1)求抛物线和直线对应的函数表达式；
(2)利用图象求不等式的解集；
(3)点P是位于第四象限内抛物线上的一个动点，连接，
①当的面积最大时，求点P的坐标及的面积
②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】根据左视图的定义，依次判断各个几何体，即可进行解答．
【详解】解：第一个几何体为圆柱体，其左视图为长方形，不符合题意；
第二个几何体为圆锥，其左视图为三角形，符合题意；
第三个几何体为球体，其左视图为圆形，不符合题意；
第四个几何体为三棱锥，其左视图为三角形，符合题意；
综上：左视图为三视图的有2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了左视图的定义，解题的关键是掌握从几何体的左边看到的形状为左视图．
2．B
【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案．
【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，
∴，整理得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键．
3．A
【分析】先根据三角形的内角和求出各个内角的度数，再根据正弦的定义，即可进行解答．
【详解】解：∵三角形的三个内角的度数之比为，
∴最小角的度数为：，
∴最小角的正弦值是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，以及特殊角度的三角函数值，解题的关键是熟练掌握各个特殊角度的三角函数值．
4．D
【分析】连接，先根据三角形的内角和求出，再根据圆周角定理求出，最后根据勾股定理即可求出．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
5．D
【分析】先将分子分母进行因式分解，将除法改写为乘法，最后根据分式的运算法则和运算顺序进行计算即可．
【详解】解：原式=
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的运算法则和运算顺序．
6．A
【分析】设原计划完成这项工程需要x个月完成，则提高工作效率需要个月，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设原计划完成这项工程需要x个月完成，则提高工作效率需要个月，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：原计划完成这项工程需要30个月．
故选：A
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
7．A
【分析】设二次函数，根据二次函数的平移规律可得y向左平移2个单位长度得到，即可得出与x轴的交点横坐标，即可进行解答．
【详解】解：设二次函数，
∵，
∴y向左平移2个单位长度得到，
∵二次函数y的图象与x轴的交点的横坐标分别为和5，
∴二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为和3，
∴一元二次方程的两个实数根分别是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，以及二次函数与x轴交点的横坐标的值等于所对应一元二次方程的根．
8．C
【分析】过点O作于点C，连接，根据得出，根据垂径定理可得，，设，根据勾股定理可得，最后根据，即可求解．
【详解】解：过点O作于点C，连接，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，根据勾股定理可得：，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，正确画出辅助线，构造直角三角形，用勾股定理求解．
9．D
【分析】设，则，通过证明，可得，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵点B在反比例函数图像上，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∵，
∴，解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比函数的图像和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
10．C
【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，判断即可．
【详解】解：A．，当时，，当时， ，故错误；
B．抛物线的顶点坐标为，当时，，故错误；
C．抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，，故正确；
D．抛物线上有两点，，若，，，点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，，故错误．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．5
【分析】由主视和左视图可知，由模型有两层，上层有一列，下层有两列；由俯视图可知，该模型上层有1个，下层有4个，即可得出答案．
【详解】解：由主视和左视图可知，由模型有两层，上层有一列，下层有两列；由俯视图可知，该模型上层有1个，下层有4个，
∴这个模型是由5个小正方体摆放而成，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键是掌握三视图的定义，根据三视图还原几何体．
12．0（答案不唯一）
【分析】根据反比例函数的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
∴，
∴符合要求的m的值为0．
故答案为：0（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
13．
【分析】将该二次函数解析式化为顶点式，解进行解答．
【详解】解：根据题意可得：
，
∴该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求二次函数图象的顶点坐标，解题的关键是掌握将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤．
14．
【分析】延长交于点E，过点E作于点F，根据，可得，再证明，可得，
设，则，可得，，，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点E，过点E作于点F，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵M为边的中点，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或1（舍去），
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明和是解题的关键．
15．或##或
【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点P或从直线经过A开始到直线过点B结束（不包括直线过点B），当直线和半圆相切于点P时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的的锐角是45°，即可得出点P的坐标，进一步得出t的值；当直线过点B时和过点A时，直线根据待定系数法求得t的值即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设半圆与x轴交于A、B两点，
当直线与半圆相切时，设此时切点为P，直线与x轴，y轴分别交于F、E，过点P作轴于C，
∴，
∴，
∴，
由切线的性质得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当直线恰好经过点B时，则，解得；
当直线恰好经过点A时，则，解得；
综上所述，当或时直线l与半圆只有一个交点，
故答案为：或．
【点睛】此题综合考查了直线和圆的位置关系以及用待定系数法求解直线的解析式等知识，根据题意得到直线l与半圆只有一个交点的两种不同情况是解决本题的关键．
16．
【分析】根据，设，则，根据勾股定理，列出方程，求出k的值，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴设，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义及解直角三角形的方法和步骤．
17．
【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为，半径为的扇形，求出扇形中的圆心角所对的弦长即为最短路径．
【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过作，则，
设，
即： ，
解得：，
，
，
∴，
即爬行的最短距离为．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．
18．点M，O，N在同一条直线上，理由见解析，
【分析】连接，通过证明得出，再根据得出，即可求证．
【详解】解：点M，O，N在同一条直线上，理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点M，O，N在同一条直线上．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，线段中点的定义，解题的关键的正确画出辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等的性质进行求证．
19．能，运动员的成绩为
【分析】结合题意，根据二次函数图像的性质，得顶点坐标；再根据二次函数的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得二次函数解析式；通过求解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】∵，，
∴顶点坐标为，
设，
把代入，得，
∴ ，
∴，即，
当时，得，
∴，（舍去）
∴该运动员的成绩为．
【点睛】本题考查了二次函数、一元一次方程、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
20．(1)见解析
(2)路灯高8米，影长为步
【分析】（1）分别连接并延长，相交于点E，过点E作于点A，即为所求；
（2）根据可得，则，即可求出，根据，即可求出．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）根据题意可得：步，步，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
，即，
解得：，
综上：路灯高8米，影长为步．
【点睛】本题主要考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握中心投影的性质和确定点光源的方法，以及相似三角形对应边成比例的性质．
21．(1)
(2)①，②当或时，，③，理由见解析
【分析】（1）将点代入，求出k的值即可；
（2）根据三角形的面积公式，先求出三角形那个以为底的高的长度，进而求出点C的坐标，最后用待定系数法即可求解直线的函数表达式；②根据函数图象，即可进行解答；③根据点C和点D的坐标，得出，从而得出，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得：，
（2）解：①由（1）可得，
延长，相交于点M，
∵轴，轴，
∴，
∵点，
∴，
∵的面积为12，
∴，
解得：，
∴，即点C的纵坐标为，
把代入得：，解得：，
∴，
把，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为：；
②∵，，
∴当或时，；
③∵，，
∴，
∴，
∴， ，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，求一次函数表达式，根据图象求不等式的解集，以及解直角三角形、平行线的判定，熟练掌握相关知识点并灵活运用，具有数形结合是思想是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据内心的定义可得，则，再根据直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理即可求证；
（2）连接，根据三角形内心的定义和同弧所对的圆周角相等，可得，，再根据三角形的外角定理和角度直角的和差关系可得，，即可证明，即可求证；
（3）过点M作，根据三角形内心的性质可得，根据可得，则，根据勾股定理，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵点M为的内心，
∴平分，则，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴．
（2）连接，
∵点M为的内心，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）过点M作，垂足分别为点E，F，G，
∵为直径，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵点M为的内心，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
在中，根据勾股定理可得：，
设半径为，
∴，
∴，
∵点M为的内心，
∴，，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：或（舍），
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角为直角，三角形的内心为三角形三条角平分线的交点，勾股定理．
23．(1)；
(2)或
(3)①当的面积最大时，点P的坐标为；的面积为
②或
【分析】（1）把代入，可求出抛物线解析式，再求出点C的坐标，可求出直线的解析式，即可求解；
（2）观察图象得：当或时，抛物线图象位于直线的上方，此时，即可求解；
（3）①过点P作轴于点M，交直线于点N，设点，则，可得，再由，列出函数关系式，即可求解；②根据平行四边形的性质可得，，从而得到点P和点关于对称轴对称，进而得到点P的坐标为，即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：
，解得：
∴抛物线解析式为：，
当时，，
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：观察图象得：当或时，抛物线图象位于直线的上方，
此时，即，
∴不等式的解集为或；
（3）解：①如图，过点P作轴于点M，交直线于点N，
设点，则，
∴ ，
∴，
∴当时，的面积最大，为，
此时点P的坐标为；
②∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，且点B，Q均在x轴上，
∴，，
∴点P和点关于对称轴对称，
∴点P的坐标为，
∴，
∵，
∴点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，利用待定系数法解答是解答问题（1）的关键，将不等式转化为，然后利用函数图象求解是解答问题（2）的关键，得到与m的函数关系式以及判断出与为平行四边形的对边是解答问题（3）的关键．