4.3几何图形初步—角（教师版） 教案

几何图形初步—角（教师版）

学生姓名

年级

学科

授课教师

日期

时段

核心内容
角的比较与计算、余角和补角
课型
一对一/一对N



教学目标
1、理解角的概念，掌握角的表示方法．理解平角、周角的概念．
2、会比较两个角的大小，能进行角的运算(和、差、倍、分)．理解角的平分线以及直角、锐角、钝角的概念．
3、理解一个角的余角和补角的概念，理解方向角的概念．



重、难点
1、掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；
2、掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；
3、掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；
4、掌握规范的几何语言书写过程；
5、掌握方程思想在角度计算中的运用.


课首沟通
1、通过课后练习，上节课是否还有不了解的地方？
2、锐角，直角，钝角，平角，周角的范围或者度数是多少？
3、我们常用的三角板有哪些度数？
知识导图


导学一 ： 角的概念
知识点讲解 角的定义

定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图所示， 角的顶点是点O，边是射线OA、OB．







定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如下图所示，射线OA绕它 的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．









要点关注：
（1） 两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2） 平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图 2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．


例题

1. [角的概念] [难度： ★ ] 判断对错平角是一条直线（ ）
【参考答案】错
【题目解析】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。平角也是由两条射线组成

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1. [单选题] [角的概念] [难度： ★ ] 下列语句正确的是( )． A．两条直线相交，组成的图形叫做角．
B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角． C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角． D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．

【参考答案】C
【题目解析】角的定义一

知识点讲解 角的表示方法及画法
角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：


角的画法：
（1）用一副三角板可以画出15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°、180°等
（15°倍数的特殊角）．
（2） 用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3） 利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
例题

1. [角的概念] [难度： ★ ] 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于
180°).
【参考答案】1：∠A与∠C 2：∠ABE，∠EBC，ABC 3:7个
【题目解析】利用角的表示方法.

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1. [单选题] [角的概念] [难度： ★ ] 如图所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是
（ ）
A. B. C. D.
【参考答案】B
【题目解析】A、因为顶点O处有四个角，所以这四个角均不能用∠O表示，故本选项错误；
B、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用∠O、∠α及∠AOB表示，故本选项正确； C、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误；
D、因为∠O与∠α表示的不是同一个角，故本选项错误．



2. [单选题] [角的概念] [难度： ★ ] 如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠DAO就是∠DAC B．∠COB就是∠O C．∠2就是∠OBC D．∠CDB就是∠1
【参考答案】B

【题目解析】A、∠DAO与∠DAC的顶点相同，角的两边也相同，∠DAO就是∠DAC，正确； B、因为顶点O处有四个角，说∠COB就是∠O，错误；
C、∠2与∠OBC的顶点相同，角的两边也相同，∠2就是∠OBC，正确； D、∠CDB与∠1的顶点相同，角的两边也相同，∠CDB就是∠1，正确． 故选：B


知识点讲解 度、分、秒的换算
1、角度的换算：
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1 分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.
要点关注：(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；

2、角的度数的换算有两种方法：
①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；
②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化)，1″＝（1÷60）′，1′＝（1÷60）°，用除法． 度及度、分、秒之间的转化须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．

例题

1. [角的计算] [难度： ★ ] (1) 将70.23°用度、分、秒表示； (2) 将26°48′36″用度表示．

【参考答案】（1）70°13′48″；（2）26.81°

【题目解析】(1) 0.23×60′＝13.8′，0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.
(2) 36″＝36÷60＝0.6 ′，48′＋0.6′＝48.6′，48.6′＝48.6÷60＝0.81°. 所以26°48′36″
＝26.81°.



2. [ 角 的 计 算 ] [ 难 度 ： ★ ] 计 算 下 列 各 题 ： (1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；






(3)35°3 6′47″×9； (4)41°37′÷3．







【参考答案】（1）173°；（2）45°17′45″；（3）320°31′3″；（4）13°52′20″

【题目解析】(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″


即：152°49′12″+20.18°＝173°．
解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，
∴ 152.82°+20.18°＝173°．
即：152°49′12″+20.18°＝173°．
(2)将82°化为81°59′60″，则
∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″

423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，
∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″

【学有所获】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往 往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除， 将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五 入．
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1. [角的计算] [难度： ★ ] （1）把26.29°转化为度、分、秒表示的形式； （2）把33°24′36″转化成度表示的形式．

【参考答案】（1）26°17′24″；（2）33.41°



2. [角的计算] [难度： ★ ] (1) 23°45′36″+66°14′24″； (2) 180°-98°24′30″；








(3) 15°50′42″×3； (4) 88°14′48″÷4．

【参考答案】(1)23°45′36″+66°14′ 24″＝90°； (2)180°-98°24′30″＝81°35′30″； (3)15°50′42″×3＝47°32′6″； (4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．


知识点讲解 角的比较与运算
角的比较：
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′； 由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．







常见角的比较：
锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角

例题

1. [角的大小比较] [难度： ★ ] 已知∠AOB（如图所示），画一个角等于这个角．
【参考答案】如图所示，∠A′O′B′为所求。

【题目解析】作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧l，交O′A′于点C′； (3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D′；
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．


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1. [角的大小比较] [难度： ★ ] 不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)


【参考答案】∠β＞∠α；∠3＞∠2＞∠1

【题目解析】(1)如图所示，将∠α平移使∠α的始边与∠β的始边重合，发现∠α落在∠β内部，因此∠β＞∠α．
(2)由图可知∠1是锐角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是钝角，即90°