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初中4.3.3 余角和补角学案
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这是一份初中4.3.3 余角和补角学案，共15页。
课首沟通
1、学校学到哪里？有不会的地方吗？
2、对于解答题会不会用规范的几何语言写解答过程？
3、理解余角和补角的性质了吗？
知识导图
课首小测
[单选题] （2015年秦皇岛市卢龙县期末考试） 如图所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）
A． B．C． D．
（2015年宁德市福鼎县期中考试） 如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是 ．
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
角的比较与计算、余角和补角
课型
一对一/一对N
教学目标
1、理解角的概念，掌握角的表示方法，能进行简单的计算．理解周角、平角的概念．
2、会比较两个角的大小，能进行角的运算(和、差、倍、分)．理解角的平分线以及直角、锐角、钝角的概念．
3、理解一个角的余角和补角的概念，理解方向角的概念，并能解决有关角的计算问题．
重、难点
1、掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；
2、掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；
3、掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；
4、掌握规范的几何语言书写过程
（2014年济宁市微山县期末） 一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大30°，则∠1的度数是
（2016年广州市荔湾区期末考试） 如图，射线OA所表示的方向是 。
[单选题] 小亮利用星期天搞社会调查活动，早晨8：30出发，出发时，钟表的时针和分针夹角的度数为（） A． 75°B． 60°C． 45°D． 30°
6. 15°= ′= ″，41°18′36″= 度．
（2016年广州市海珠区期末考试） 如果一个角的余角是这个角的4倍，则这个角的度数是 。
导学一 ： 角的基本知识
知识点讲解 1：角的表示方法
角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
要点诠释：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 例 1. [单选题] 如图所示，下列说法错误的是（）
A．∠DAO就是∠DACB．∠COB就是∠OC．∠2就是∠OBCD．∠CDB就是∠1
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[单选题] 如图，下列表示角的说法，错误的是（）
A．∠AOC也可用∠O表示B．∠1与∠AOB表示同一个角
C．∠β表示的是∠BOCD．∠AOB和∠BOC都不能用∠O表示
知识点讲解 2：度、分、秒的换算
1、角度的换算：
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1 分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.
谈重点：角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；
2、角的度数的换算有两种方法：
①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；
②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化)，1″＝ ′，1′＝ °，用除法． 度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．
例 1. (1) 将70.23°用度、分、秒表示； (2) 将26°48′36″用度表示．
例 2. 计算下列各题：
(1)152°49′12″+20.18°；(2)82°-36°42′15″；(3)35°3 6′47″×9；(4)41°37′÷3．
【学有所获】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往 先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余 数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．
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1、（1）把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；（2）把33°24′36″转化成度表示的形式．
计算：
(1) 23°45′36″+66°14′24″；(2) 180°-98°24′30″；
(3) 15°50′42″×3；(4) 88°14′48″÷4．
知识点讲解 3：角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B
′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
角的分类：
所以：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角
例 1. 已知∠AOB（如图所示），画一个角等于这个角．
例 2. 如图，作一个角等于已知角的一半。
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不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)
【学有所获】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则 是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小．
[单选题] 拿一个4倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为（） A．4°B．1°
C．5°D．不能确定，视放大镜的距离而定
【学有所获】放大镜只能放大物体的大小，而角度只是形状，是不能被放大镜改变的．无论角的边长怎么改变，角的大 小不变．
作图题：已知∠AOB，利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=2∠AOB．
知识点讲解 4：余角、补角、方向角
1、定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝180°
∴∠1和∠2互为余角，∠3和∠4互为补角
2、性质：（1）等角的余角相等．
用数学式子表示为：∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，∠2＝∠4
∴∠1＝∠3.
（2）等角的补角相等．
用数学式子表示为：∵∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，∠2＝∠4
∴∠1＝∠3.
要点诠释：
互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．
一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。
3、方向角：在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的 方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．
要点诠释：
正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
方向角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、 正西、正南、正北的方向；
图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
例 1. [单选题] 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角的度数是（）
A．60°B．30°C．90°D．120°
例 2. 一个角的补角与这个角的余角的和是平角的还多1°，求这个角．
例 3. 如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．
例 4. [单选题] 小颖看小明是北偏东30°，那么小明看小颖时，它的方向是（）
北偏西30°B．南偏西30°C．南偏西60°D．南偏东60°
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[单选题] 如果一个角的余角是，那么这个角的补角的度数是（）
B．C． D．
[单选题] （2016年广州市越秀区期末考试） 将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是
（）
B．
C．D．
一个角的余角比它的补角的 还少40°，则这个角为 度。
[单选题] （2014年广州市天河区期末统考） 在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（）
A．69°B．111°C．141°D．159°
知识点讲解 5：钟面角
时针、分针转动一周经过12大格或60小格．因此，每小时时针转动30°，每分钟时针转动0.5°，每分钟分针转动6°。 假设时间是m时n分，钟表角的计算公式是：
公式说明：1、公式中的时间按12小时制，若是24小时制，则换算为12小时制。如16点15分，则按4点15分代入公式计
算。
2、若计算的结果大于180°，按照计算夹角的习惯方法，答案应为360°减去运算结果。例 1. 说出每个钟面的时间，量出时针和分针所成的角
（1）时间： ；角度： ；（2）时间： ；角度： ；
（3）时间： ；角度： ；（4）时间： ；角度： ；
例 2. 6点20分，时针与分针的夹角是 。
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（2015年） 在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度？从这一时刻开始，经过多少分钟，时针和分针第一次垂直？
（2015年） 广场上大摆钟现在是6时整时，再过多少分钟时针与分针首次重合？
导学二 ： 角平分线
例 1. 如图所示，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，求∠DOE的度数．
【学有所获】应用角的平分线的定义时根据两点：若OB是∠AOC的平分线，则①∠AOB＝∠BOC＝ ∠AOC；②∠AOC＝ 2∠AOB＝2∠BOC，在解题时要学会灵活应用。
例 2. 如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，求∠AOB的度数．
【学有所获】对于含有角的倍数关系的题，可以利用方程进行解题。善于运用方程思想。
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（2014年广州市白云区期末统考） 如图，OB是∠ AOC的平分线，OD是∠ COE的平分线．
如果∠ AOB=50°，∠ DOE=30°，那么∠ BOD是多少度？
如果∠ AOE=160°，∠ COD=30°，那么∠ AOB是多少度？
已知：如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC为2：5两部分，∠DBE=24°，求∠ABC的度数．
（2014年广州市越秀区期末统考） 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=3∠BOD+20°．
求∠BOD的度数；
以O为端点引射线OE、OF，射线OE平分∠BOD，且∠EOF=90°，求∠BOF的度数，并画图加以说明．
导学三 ： 角的计算
知识点讲解 1：角的和差计算
角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运 算的基础．
①几何意义：如图所示，∠AOB与∠BOC的和是∠AOC，表示为∠AOB＋∠BOC＝∠AOC；∠AOC与∠BOC的差为∠AOB，表 示为∠AOC－∠BOC＝∠AOB.
②代数意义：如已知∠A＝23°17′，∠B＝40°50′，∠A＋∠B就可以像代数加减法一样计算，即∠A＋∠B＝ 23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B－∠A＝40°50′－23°17′＝17°33′.
例 1. [单选题] 如图，点B，O，D在同一直线上，如果∠2=110°，∠AOC=90°，∠1的度数为（）
A．30°B．25°C．20°D．15°
例 2. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角？
【学有所获】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°、45°、60°、90°、15°、75°、105°、120°、135°、150°、165°，都是 的倍数．
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已知∠AOB=37°，∠AOC=2∠AOB，求∠BOC的度数．
[单选题] 下面一些角中，可以用一副三角尺画出来的角是（）
（1） 的角； （2）的角； （3）的角； （4）的角； （5）的角．
A．（1）（3）（4）B．（1）（3）（5）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）（5）
知识点讲解 2：运用整体思想解决角的计算问题
例 1. 已知，OM、ON分别是∠AOC，∠BOC的角平分线．
（1）如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，则∠MON= ．
如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=β°，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，试说明理由；
如图2，若∠AOB=α°，∠BOC=β°，是否仍然能求出∠MON的度数，若能，求∠MON的度数（用含α或β的式子表 示），并从你的求解过程中总结出你发现的规律．
例 2. 已知：如图，ON是∠AOC的平分线，OM是∠AOB的平分线．
若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求∠MON的大小．
若∠AOB=α，∠AOC=β，试用含α，β的代数式表示∠MON，并直接写出∠MON与∠BOC的倍数关系．
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如图，已知O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB平分线，求∠DOE的度数．
[单选题] （2015年广州市天河区期末统考） 如图，已知∠AOB是直角，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（）
A．60°B．50°C．45°D．30°
【学有所获】解决问题的关键是把 视为一个整体，代入求值．
知识点讲解 3：归纳猜想在角的问题中的运用
例 1. （1）若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？
（2）如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?
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1. （1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角；
在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 个不同的角；
在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角；
在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角；
在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角．
限时考场模拟 ： 15 分钟
[单选题] 下列说法中，错误的是() A．借助三角尺，我们可以画135°的角
把一个角的两边都延长后，所得到的角比原来的角要大C．有公共顶点的两条边组成的图形叫做角
D．两个锐角之和是锐角、直角或钝角
[单选题] 下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是 ()
B．C．
A．D．
[单选题] 下列说法正确的个数为 （）
①锐角的补角一定是钝角；②锐角和钝角互补；③一个角的补角一定大于这个角；
④如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等.
A．1个B．2个C．3个D．4个
[单选题] （2016年广州市越秀区期末考试） 如图所示的四条射线中，表示南偏西60°的是（）
A．射线OAB．射线OBC．射线OCD．射线OD
[单选题] 钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是 () .
A．77.5 °B．77 °5′C．75°D．以上答案都不对
[单选题] 如图，∠AOB是直角，∠COD也是直角，若∠AOC＝ ，则∠BOD等于（）
A．90°＋B．90°－C．180°＋D．180°－
[单选题] 如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46’，OD平分∠COE，则∠COB的度数为
（）.
A. 68°46′B.82°32′C. 82°28′D.82°46′
将一副三角板如图摆放，若∠BAE=135 °17′，则∠CAD的度数是 。
已知∠AOB=48°，以OB为一边画一个∠BOC=20°，则∠AOC= 。
南偏东80°的射线与西南方向的射线组成的角(小于平角)的度数是 。
（2016年广州市越秀区期末考试） 已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．
如图1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求EOF的度数；
如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；
若将题中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”的条件改为“∠EOB= ∠BOC，∠COF= ∠AOC”，且∠AOB=α，求∠EOF 的度数（用含α的式子表示）。
[单选题] 如图，已知∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=130°，则∠BOC的度数为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
[单选题] （2015年广州市海珠区期末统考） 一艘轮船行驶在B处同时测得小岛A，C的方向分别为北偏西30°和西南方向，则∠ABC的度数是（）
[单选题] 已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（） A．20°B．40°C．20°或40°D．30°或10°
一个角的补角比这个角的余角的2倍还大28°，这个角的度数为 ．
（2016年广州市越秀区期末考试） 如果一个角是37°39′，那么它的补角大小是 。
如图，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于 ．
课后作业
1. [单选题] 下列关于角的说法正确的是（ A．两条射线组成的图形叫做角
）
B．延长一个角的两边
C．角的两边是射线，所以角不可以度量
D．角的大小与这个角的两边长短无关
A． 135°
4. [单选题]
B． 115°C． 105°
钟表在3点30分时，它的时针和分针所成的角是（）
D． 95°
A．75°
B．80°C．85°
D． 90°
5. [单选题] A．∠1=∠3
如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（） B．∠1=180°﹣∠3C．∠1=90°+∠3
D．∠3=90°+∠1
如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC
已知∠AOC=140°，求∠COD、 ∠COE和∠DOE;
求∠AOD与∠BOE 之和。
（2015年广州市海珠区期末统考）如图所示，直线AE上有一点O，∠AOB=30°，∠BOC=2∠AOB
求∠EOC的度数；
如果OD平分∠EOC，求∠BOD的度数．
（2015年广州市天河区期末考试） 如图（1），将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，
试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
若∠DCE=40°，求∠ACB的度数；
猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？（不需说明理由）
1、复习这节课总结的一些方法和规律。
2、完成老师规定的作业，解答题的书写要注意规范性，制定相应的学习安排。
3、做好下一阶段的学习笔记，做到下一讲“有备而来”。
课首沟通
1、学校学到哪里？有不会的地方吗？
2、对于解答题会不会用规范的几何语言写解答过程？
3、理解余角和补角的性质了吗？
知识导图
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[单选题] （2015年秦皇岛市卢龙县期末考试） 如图所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）
A． B．C． D．
（2015年宁德市福鼎县期中考试） 如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是 ．
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
角的比较与计算、余角和补角
课型
一对一/一对N
教学目标
1、理解角的概念，掌握角的表示方法，能进行简单的计算．理解周角、平角的概念．
2、会比较两个角的大小，能进行角的运算(和、差、倍、分)．理解角的平分线以及直角、锐角、钝角的概念．
3、理解一个角的余角和补角的概念，理解方向角的概念，并能解决有关角的计算问题．
重、难点
1、掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；
2、掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；
3、掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；
4、掌握规范的几何语言书写过程
（2014年济宁市微山县期末） 一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大30°，则∠1的度数是
（2016年广州市荔湾区期末考试） 如图，射线OA所表示的方向是 。
[单选题] 小亮利用星期天搞社会调查活动，早晨8：30出发，出发时，钟表的时针和分针夹角的度数为（） A． 75°B． 60°C． 45°D． 30°
6. 15°= ′= ″，41°18′36″= 度．
（2016年广州市海珠区期末考试） 如果一个角的余角是这个角的4倍，则这个角的度数是 。
导学一 ： 角的基本知识
知识点讲解 1：角的表示方法
角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
要点诠释：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 例 1. [单选题] 如图所示，下列说法错误的是（）
A．∠DAO就是∠DACB．∠COB就是∠OC．∠2就是∠OBCD．∠CDB就是∠1
我爱展示
[单选题] 如图，下列表示角的说法，错误的是（）
A．∠AOC也可用∠O表示B．∠1与∠AOB表示同一个角
C．∠β表示的是∠BOCD．∠AOB和∠BOC都不能用∠O表示
知识点讲解 2：度、分、秒的换算
1、角度的换算：
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1 分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.
谈重点：角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；
2、角的度数的换算有两种方法：
①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；
②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化)，1″＝ ′，1′＝ °，用除法． 度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．
例 1. (1) 将70.23°用度、分、秒表示； (2) 将26°48′36″用度表示．
例 2. 计算下列各题：
(1)152°49′12″+20.18°；(2)82°-36°42′15″；(3)35°3 6′47″×9；(4)41°37′÷3．
【学有所获】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往 先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余 数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．
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1、（1）把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；（2）把33°24′36″转化成度表示的形式．
计算：
(1) 23°45′36″+66°14′24″；(2) 180°-98°24′30″；
(3) 15°50′42″×3；(4) 88°14′48″÷4．
知识点讲解 3：角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B
′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
角的分类：
所以：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角
例 1. 已知∠AOB（如图所示），画一个角等于这个角．
例 2. 如图，作一个角等于已知角的一半。
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不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)
【学有所获】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则 是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小．
[单选题] 拿一个4倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为（） A．4°B．1°
C．5°D．不能确定，视放大镜的距离而定
【学有所获】放大镜只能放大物体的大小，而角度只是形状，是不能被放大镜改变的．无论角的边长怎么改变，角的大 小不变．
作图题：已知∠AOB，利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=2∠AOB．
知识点讲解 4：余角、补角、方向角
1、定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝180°
∴∠1和∠2互为余角，∠3和∠4互为补角
2、性质：（1）等角的余角相等．
用数学式子表示为：∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，∠2＝∠4
∴∠1＝∠3.
（2）等角的补角相等．
用数学式子表示为：∵∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，∠2＝∠4
∴∠1＝∠3.
要点诠释：
互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．
一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。
3、方向角：在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的 方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．
要点诠释：
正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
方向角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、 正西、正南、正北的方向；
图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
例 1. [单选题] 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角的度数是（）
A．60°B．30°C．90°D．120°
例 2. 一个角的补角与这个角的余角的和是平角的还多1°，求这个角．
例 3. 如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．
例 4. [单选题] 小颖看小明是北偏东30°，那么小明看小颖时，它的方向是（）
北偏西30°B．南偏西30°C．南偏西60°D．南偏东60°
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[单选题] 如果一个角的余角是，那么这个角的补角的度数是（）
B．C． D．
[单选题] （2016年广州市越秀区期末考试） 将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是
（）
B．
C．D．
一个角的余角比它的补角的 还少40°，则这个角为 度。
[单选题] （2014年广州市天河区期末统考） 在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（）
A．69°B．111°C．141°D．159°
知识点讲解 5：钟面角
时针、分针转动一周经过12大格或60小格．因此，每小时时针转动30°，每分钟时针转动0.5°，每分钟分针转动6°。 假设时间是m时n分，钟表角的计算公式是：
公式说明：1、公式中的时间按12小时制，若是24小时制，则换算为12小时制。如16点15分，则按4点15分代入公式计
算。
2、若计算的结果大于180°，按照计算夹角的习惯方法，答案应为360°减去运算结果。例 1. 说出每个钟面的时间，量出时针和分针所成的角
（1）时间： ；角度： ；（2）时间： ；角度： ；
（3）时间： ；角度： ；（4）时间： ；角度： ；
例 2. 6点20分，时针与分针的夹角是 。
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（2015年） 在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度？从这一时刻开始，经过多少分钟，时针和分针第一次垂直？
（2015年） 广场上大摆钟现在是6时整时，再过多少分钟时针与分针首次重合？
导学二 ： 角平分线
例 1. 如图所示，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，求∠DOE的度数．
【学有所获】应用角的平分线的定义时根据两点：若OB是∠AOC的平分线，则①∠AOB＝∠BOC＝ ∠AOC；②∠AOC＝ 2∠AOB＝2∠BOC，在解题时要学会灵活应用。
例 2. 如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，求∠AOB的度数．
【学有所获】对于含有角的倍数关系的题，可以利用方程进行解题。善于运用方程思想。
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（2014年广州市白云区期末统考） 如图，OB是∠ AOC的平分线，OD是∠ COE的平分线．
如果∠ AOB=50°，∠ DOE=30°，那么∠ BOD是多少度？
如果∠ AOE=160°，∠ COD=30°，那么∠ AOB是多少度？
已知：如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC为2：5两部分，∠DBE=24°，求∠ABC的度数．
（2014年广州市越秀区期末统考） 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=3∠BOD+20°．
求∠BOD的度数；
以O为端点引射线OE、OF，射线OE平分∠BOD，且∠EOF=90°，求∠BOF的度数，并画图加以说明．
导学三 ： 角的计算
知识点讲解 1：角的和差计算
角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运 算的基础．
①几何意义：如图所示，∠AOB与∠BOC的和是∠AOC，表示为∠AOB＋∠BOC＝∠AOC；∠AOC与∠BOC的差为∠AOB，表 示为∠AOC－∠BOC＝∠AOB.
②代数意义：如已知∠A＝23°17′，∠B＝40°50′，∠A＋∠B就可以像代数加减法一样计算，即∠A＋∠B＝ 23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B－∠A＝40°50′－23°17′＝17°33′.
例 1. [单选题] 如图，点B，O，D在同一直线上，如果∠2=110°，∠AOC=90°，∠1的度数为（）
A．30°B．25°C．20°D．15°
例 2. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角？
【学有所获】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°、45°、60°、90°、15°、75°、105°、120°、135°、150°、165°，都是 的倍数．
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已知∠AOB=37°，∠AOC=2∠AOB，求∠BOC的度数．
[单选题] 下面一些角中，可以用一副三角尺画出来的角是（）
（1） 的角； （2）的角； （3）的角； （4）的角； （5）的角．
A．（1）（3）（4）B．（1）（3）（5）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）（5）
知识点讲解 2：运用整体思想解决角的计算问题
例 1. 已知，OM、ON分别是∠AOC，∠BOC的角平分线．
（1）如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，则∠MON= ．
如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=β°，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，试说明理由；
如图2，若∠AOB=α°，∠BOC=β°，是否仍然能求出∠MON的度数，若能，求∠MON的度数（用含α或β的式子表 示），并从你的求解过程中总结出你发现的规律．
例 2. 已知：如图，ON是∠AOC的平分线，OM是∠AOB的平分线．
若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求∠MON的大小．
若∠AOB=α，∠AOC=β，试用含α，β的代数式表示∠MON，并直接写出∠MON与∠BOC的倍数关系．
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如图，已知O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB平分线，求∠DOE的度数．
[单选题] （2015年广州市天河区期末统考） 如图，已知∠AOB是直角，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（）
A．60°B．50°C．45°D．30°
【学有所获】解决问题的关键是把 视为一个整体，代入求值．
知识点讲解 3：归纳猜想在角的问题中的运用
例 1. （1）若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？
（2）如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?
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1. （1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角；
在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 个不同的角；
在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角；
在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角；
在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角．
限时考场模拟 ： 15 分钟
[单选题] 下列说法中，错误的是() A．借助三角尺，我们可以画135°的角
把一个角的两边都延长后，所得到的角比原来的角要大C．有公共顶点的两条边组成的图形叫做角
D．两个锐角之和是锐角、直角或钝角
[单选题] 下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是 ()
B．C．
A．D．
[单选题] 下列说法正确的个数为 （）
①锐角的补角一定是钝角；②锐角和钝角互补；③一个角的补角一定大于这个角；
④如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等.
A．1个B．2个C．3个D．4个
[单选题] （2016年广州市越秀区期末考试） 如图所示的四条射线中，表示南偏西60°的是（）
A．射线OAB．射线OBC．射线OCD．射线OD
[单选题] 钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是 () .
A．77.5 °B．77 °5′C．75°D．以上答案都不对
[单选题] 如图，∠AOB是直角，∠COD也是直角，若∠AOC＝ ，则∠BOD等于（）
A．90°＋B．90°－C．180°＋D．180°－
[单选题] 如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46’，OD平分∠COE，则∠COB的度数为
（）.
A. 68°46′B.82°32′C. 82°28′D.82°46′
将一副三角板如图摆放，若∠BAE=135 °17′，则∠CAD的度数是 。
已知∠AOB=48°，以OB为一边画一个∠BOC=20°，则∠AOC= 。
南偏东80°的射线与西南方向的射线组成的角(小于平角)的度数是 。
（2016年广州市越秀区期末考试） 已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．
如图1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求EOF的度数；
如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；
若将题中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”的条件改为“∠EOB= ∠BOC，∠COF= ∠AOC”，且∠AOB=α，求∠EOF 的度数（用含α的式子表示）。
[单选题] 如图，已知∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=130°，则∠BOC的度数为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
[单选题] （2015年广州市海珠区期末统考） 一艘轮船行驶在B处同时测得小岛A，C的方向分别为北偏西30°和西南方向，则∠ABC的度数是（）
[单选题] 已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（） A．20°B．40°C．20°或40°D．30°或10°
一个角的补角比这个角的余角的2倍还大28°，这个角的度数为 ．
（2016年广州市越秀区期末考试） 如果一个角是37°39′，那么它的补角大小是 。
如图，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于 ．
课后作业
1. [单选题] 下列关于角的说法正确的是（ A．两条射线组成的图形叫做角
）
B．延长一个角的两边
C．角的两边是射线，所以角不可以度量
D．角的大小与这个角的两边长短无关
A． 135°
4. [单选题]
B． 115°C． 105°
钟表在3点30分时，它的时针和分针所成的角是（）
D． 95°
A．75°
B．80°C．85°
D． 90°
5. [单选题] A．∠1=∠3
如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（） B．∠1=180°﹣∠3C．∠1=90°+∠3
D．∠3=90°+∠1
如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC
已知∠AOC=140°，求∠COD、 ∠COE和∠DOE;
求∠AOD与∠BOE 之和。
（2015年广州市海珠区期末统考）如图所示，直线AE上有一点O，∠AOB=30°，∠BOC=2∠AOB
求∠EOC的度数；
如果OD平分∠EOC，求∠BOD的度数．
（2015年广州市天河区期末考试） 如图（1），将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，
试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
若∠DCE=40°，求∠ACB的度数；
猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？（不需说明理由）
1、复习这节课总结的一些方法和规律。
2、完成老师规定的作业，解答题的书写要注意规范性，制定相应的学习安排。
3、做好下一阶段的学习笔记，做到下一讲“有备而来”。
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