2022-2023学年河南省濮阳市高三下学期第一次摸底考试（月考）文科数学试题含答案

2023届高三年级摸底考试

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，那么（）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数，则（）

A.  B.  C.  D.

3. 某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决定增加生产线．经过一段时间的生产，统计得该款新产品的生产线条数与月产量（件）之间的统计数据如下表：

由数据可知，线性相关，且满足回归直线方程，则当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为（）

A. 73件 B. 79件 C. 85件 D. 90件

4. 若实数x，y满足约束条件则的最大值为（）

A. 1 B. 2 C. 6 D. 7

5. 函数的大致图象为（）

A.  B.

C.  D.

6. 设，且，则（）

A.  B.  C.  D.

7. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形ABC的边长为6，P为圆柱上底面圆上任意—点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的表面积为（）

A B.  C.  D.

8. 在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（）

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数在上单调，则a取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

10. 以抛物线的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A，B两点，过B且平行于x轴的直线交C于点P，过A且平行于x轴的直线交l于点Q，且，则△PBF的周长为（）

A. 16 B. 12 C. 10 D. 6

11. 已知双曲线的左、右焦点分为，，左、右顶点分别为，，点M，N在y轴上，且满足（O为坐标原点）．直线，与C的左、右支分别交于另外两点P，Q，若四边形为矩形，且P，N，三点共线，则C的离心率为（）

A. 3 B. 2 C.  D.

12. 已知实数a，b，c满足，且，则（）

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，则_________．

14. 已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为_________．

15. 已知为奇函数，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围是_________．

16. 如图，已知AB为圆O的直径，，，则六边形AECBDF的周长的最大值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 在数列中，，．

（1）设，求数列的通项公式；

（2）设，且数列前项和为．若，求正整数的值．

18. 某出租车公司为推动驾驶员服务意识和服务水平大提升，对出租车驾驶员从驾驶技术和服务水平两个方面进行了考核，并从中随机抽取了100名驾驶员，这100名驾驶员的驾驶技术与性别的2×2列联表和服务水平评分的频率分布直方图如下，已知所有驾驶员的服务水平评分均在区间内．

（1）判断能否有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关；

（2）从服务水平评分在，内的驾驶员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有2人的评分在内的概率．

附：，其中．

19. 在如图所示的六面体中，平面平面，，，．

（1）求证：平面；

（2）若AC，BC，两两互相垂直，，，求点A到平面的距离．

20已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．

21. 已知椭圆的离心率为，点在短轴上，且．

（1）求的方程；

（2）若直线与交于两点，求（点为坐标原点）面积的最大值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22. 在直角坐标系xOy中，已知点，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．

（1）求l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）设l与C相交于点A，B，求的值．

23. 已知正实数，，满足，

（1）证明：；

（2）求的最小值．

2023届高三年级摸底考试

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，那么（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

2. 已知复数，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

3. 某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决定增加生产线．经过一段时间的生产，统计得该款新产品的生产线条数与月产量（件）之间的统计数据如下表：

由数据可知，线性相关，且满足回归直线方程，则当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为（）

A. 73件 B. 79件 C. 85件 D. 90件

【答案】C

4. 若实数x，y满足约束条件则的最大值为（）

A. 1 B. 2 C. 6 D. 7

【答案】D

5. 函数的大致图象为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

6. 设，且，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

7. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形ABC的边长为6，P为圆柱上底面圆上任意—点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的表面积为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

8. 在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

9. 已知函数在上单调，则a的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

10. 以抛物线的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A，B两点，过B且平行于x轴的直线交C于点P，过A且平行于x轴的直线交l于点Q，且，则△PBF的周长为（）

A. 16 B. 12 C. 10 D. 6

【答案】B

11. 已知双曲线的左、右焦点分为，，左、右顶点分别为，，点M，N在y轴上，且满足（O为坐标原点）．直线，与C的左、右支分别交于另外两点P，Q，若四边形为矩形，且P，N，三点共线，则C的离心率为（）

A. 3 B. 2 C.  D.

【答案】A

12已知实数a，b，c满足，且，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，则_________．

【答案】

14. 已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为_________．

【答案】

15. 已知为奇函数，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围是_________．

【答案】

16. 如图，已知AB为圆O的直径，，，则六边形AECBDF的周长的最大值为______．

【答案】12

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 在数列中，，．

（1）设，求数列的通项公式；

（2）设，且数列的前项和为．若，求正整数的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）依题意可得，利用累加法求出数列的通项公式；

（2）由（1）可得，即可得到，利用裂项相消法求出，即可得到方程，解得即可.

【小问1详解】

解：因为，，且，

所以，

当时，

当时

，

又时也符合上式，

所以.

【小问2详解】

解：由（1）可知，所以，

所以，

所以，

则，解得.

18. 某出租车公司为推动驾驶员服务意识和服务水平大提升，对出租车驾驶员从驾驶技术和服务水平两个方面进行了考核，并从中随机抽取了100名驾驶员，这100名驾驶员的驾驶技术与性别的2×2列联表和服务水平评分的频率分布直方图如下，已知所有驾驶员的服务水平评分均在区间内．

（1）判断能否有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关；

（2）从服务水平评分在，内的驾驶员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有2人的评分在内的概率．

附：，其中．

【答案】（1）没有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关，理由见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）计算出卡方，与3.841比较后得到相应结论；

（2）先根据频率之和为1得到，从而得到评分在，内的驾驶员人数比例，及两个区间各抽取的人数，利用列举法求出概率.

【小问1详解】

，

没有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关；

小问2详解】

，

解得：，

故服务水平评分在，内的驾驶员人数比例为，

故用分层抽样的方法抽取5人中，内有4人，设为，内有1人，设为，

再从这5人中随机抽取3人，共有以下情况：

，共10种情况，

其中这3人中恰有2人的评分在的有，6种情况，

故这3人中恰有2人的评分在内的概率为．

19. 在如图所示的六面体中，平面平面，，，．

（1）求证：平面；

（2）若AC，BC，两两互相垂直，，，求点A到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）取的中点，的中点，连，，，利用面面平行的性质定理推出，再利用线面平行的判定定理可证结论成立；

（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据点到面的距离的向量公式可求出结果.

【小问1详解】

取的中点，的中点，连，，，

在六面体中，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，

同理可得，

因为分别是，的中点，且，，

所以，，，，

所以四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，

所以，，又已知，所以，则共面，

因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，

又分别是，的中点，，

所以，

因为平面，平面，

所以平面；

【小问2详解】

因为AC，BC，两两互相垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系：

则，，设，则，，

，，，

设平面的一个法向量为，

则，则，取，则，，

所以点A到平面的距离为.

20. 已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；

（2）.

【解析】

【分析】（1）求导后，解不等式可得增区间，解不等式可得减区间；

（2）先由时不等式成立，得，再将不等式化为，构造函数，利用导数求出其最小值，代入可解得结果.

【小问1详解】

，，

令，得或，

令，得或，令，得，

所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.

【小问2详解】

关于x的不等式在上恒成立，

即在上恒成立，

当时，得，即，

令，

，

因为，所以，

设，则，

令，得,令，得，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以，即，

所以，所以在上为增函数，

所以，即.

21. 已知椭圆的离心率为，点在短轴上，且．

（1）求的方程；

（2）若直线与交于两点，求（点为坐标原点）面积的最大值．

【答案】（1）；

（2） .

【解析】

【分析】（1）由题知，，进而根据向量数量积的坐标运算得，再根据即可求得，进而得答案；

（2）设，进而联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，弦长公式得，再求得原点到直线的距离即可计算的面积，再根据基本不等式求解即可.

【小问1详解】

解：因为椭圆的离心率为，

所以，即，

因为点在短轴上，且，

所以，，解得，

因为，所以，，

所以，的方程为；

【小问2详解】

解：设

联立方程得，

所以，即，

所以，

所以，

，

因为原点到直线的距离为，

所以，，当且仅当，即时等号成立，

所以，（点为坐标原点）面积的最大值为.

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22. 在直角坐标系xOy中，已知点，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．

（1）求l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）设l与C相交于点A，B，求的值．

【答案】（1）直线的普通方程为，;

（2）

【解析】

【分析】（1）根据参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程的方法求得正确答案.

（2）利用直线参数的几何意义求得正确答案.

【小问1详解】

由得，

两式相减得，所以直线的普通方程为.

由，

得，

即，即，

所以曲线的直角坐标方程为.

【小问2详解】

由于，所以在圆外，

将代入，

化简得，

，

所以，均为负数，

所以

.

23. 已知正实数，，满足，

（1）证明：；

（2）求的最小值．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）利用基本不等式证明即可；

（2）利用柯西不等式计算可得.

【小问1详解】

证明：因为，，为正实数且满足，

所以

，

当且仅当，即，，时取等号，

所以.

【小问2详解】

解：由柯西不等式可知，

当且仅当，，时等号成立，

所以的最小值为.