2022-2023学年河北省邢台市一中高三上学期期末考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年河北省邢台市一中高三上学期期末考试数学试题含解析，共28页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 《中国居民膳食指南，25C， 若，且，则， 已知，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为、，高为，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
3 若复数z满足方程，则z=（ ）
A. B. C. D.
4. 某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（ ）
A. B. C. D.
5. 《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是（ ）
A. 55B. 57.25C. 58.75D. 60
6. 已知圆与直线相切，则圆关于直线对称圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（ ）
A. 260万元B. 265万元
C. 255万元D. 250万元
8. 若，且，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 的最小值为16D. 没有最小值
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. 函数为增函数B. 函数的图象关于y轴对称
C. D.
10. 如图，正方体的棱长为2，线段上有两个不重合的动点E，F，则（ ）
A. 当时，B.
C. AE的最小值为D. 二面角为定值
11. 已知直线与椭圆C）交于A，B两点，线段AB的中点为，则C的离心率可能是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知，函数，下列结论正确是（ ）
A. 一定存在最小值
B. 可能不存在最小值
C. 若恒成立，则
D. 若恒成立，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设向量 满足，则_________.
14. 设等比数列的前n项和为，写出一个满足下列条件的的公比_________．
①，②是递减数列，③．
15. 已知函数在上恰有3个零点，则ω的最小值是 ________.
16. 已知为抛物线：上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于48，则点的纵坐标的取值范围是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．
（1）若，证明：△ABC等腰三角形；
（2）若，求b最小值．
18. 已知数列{}满足，.
（1）记，证明{}为等差数列，并求{}的通项公式；
（2）求{}的前2n项和.
19. 如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20. 灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.
（1）求的分布列；
（2）若满足的n的最小值为，求；
（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.
21. 已知双曲线C的渐近线方程为，且C的实轴长为2.
（1）求C的方程；
（2）过右焦点F的直线与C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P（异于点F），使得点F到直线PA，PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.
22. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，，求a的取值范围.
邢台市一中2022~2023学年高三（上）教学质量检测
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算得到，再计算交集得到答案.
【详解】因为，所以.
故选：A
2. 已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为、，高为，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用台体的体积公式可求得该圆台的体积.
【详解】由题意可知，该圆台的体积为.
故选：C.
3. 若复数z满足方程，则z=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】配方可得，两边开方可求.
【详解】由，得，
则，则，
故，
故选：C.
4. 某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，，再利用条件概率求解即可．
【详解】由题意可知，，
所以．
故选：A．
5. 《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是（ ）
A. 55B. 57.25C. 58.75D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】确定第75百分位数在内，直接根据百分位数的概念计算得到答案.
【详解】因为，
所以该地中学生体重的第75百分位数在内，
设第75百分位数为m，则，解得．
故选：C
6. 已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆与直线相切，求出，然后求出过圆圆心垂直于直线的直线方程，联立求出交点，再利用中点公式求出关于直线对称后圆的圆心坐标，半径没有改变，即可解决问题.
【详解】由圆的圆心为原点，半径为5，
又圆与直线相切，
则到直线的距离为，
则，解得，
设过且与垂直的直线为，
则：，
联立，
得直线l与的交点为，
设圆心关于点的对称点为，
由中点公式有
所以圆心关于点的对称点为，
因此圆C关于直线l对称的圆的方程为：，
故选：D.
7. 如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（ ）
A 260万元B. 265万元
C. 255万元D. 250万元
【答案】D
【解析】
【分析】设，，利用表示风景区的面积，求出最大值，进而可求得该风景区的修建最多需要多少费用．
【详解】设，，则，，
所以矩形ODEH的面积，
又，
所以风景区面积，
当时，有最大值，故最多需要万元的修建费．
故选：D．
8. 若，且，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 的最小值为16D. 没有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】先将题意整理成，然后利用基本不等式可得到，最后检验是否成立即可
【详解】由，得.
因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
由得,
设函数，
则由，得在上至少一个零点，
此时，故存在，使得不等式中的等号成立，
故的最小值为.
故选：A
【点睛】关键点睛：这道题关键的地方在于检验是否成立，需要构造，并结合零点存在定理进行验证
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. 函数为增函数B. 函数的图象关于y轴对称
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】确定函数定义域为，计算，再根据函数的单调性和奇偶性定义判断A错误，B正确，代入数据计算得到CD正确，得到答案.
【详解】当时，，时等号成立，
当时，，时等号成立，，，，A错误.
，故为偶函数，B正确.，C正确.
，则，D正确.
故选：BCD
10. 如图，正方体的棱长为2，线段上有两个不重合的动点E，F，则（ ）
A. 当时，B.
C. AE的最小值为D. 二面角为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据数量积的计算可求得，判断A；证明⊥平面，根据下年垂直的性质可判断B；当时，取得最小值，求得其值，判断C；根据正方体性质可知二面角就是二面角，由此判断D.
【详解】连接，，，,
由正方体的性质可知，
则，解得，故A错误,
因为平面，平面，故，
因为，且平面，
所以⊥平面，
平面，所以，即，则B正确.
当时，取得最小值，此时为等腰三角形，
故最小值为，则C正确.
因为平面与平面是同一平面，平面与平面是同一平面，
所以二面角就是二面角，
在正方体中，平面和平面是两个确定的平面，
故二面角是定值，所以二面角为定值，则D正确，
故选：
11. 已知直线与椭圆C）交于A，B两点，线段AB的中点为，则C的离心率可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】设出，，代入椭圆方程，相减后得到，结合及直线斜率为，，求出离心率范围，得到答案.
【详解】设，，则，
从而，故，
由题意可得，
故，又因为，
则，从而，
因为，所以，
椭圆C的离心率，
所以椭圆离心率范围为，
故与满足要求.
故选：BD
12. 已知，函数，下列结论正确的是（ ）
A. 一定存在最小值
B. 可能不存在最小值
C. 若恒成立，则
D. 若恒成立，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性，判断最值的存在性，通过构造函数，利用单调性处理恒成立问题.
【详解】，则为增函数.
因为，所以存在唯一的零点.
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以， A选项正确，B选项错误；
由，可得，则.
恒成立，即恒成立，
令函数，则，
易知在上单调递增，则，
故，即，C选项正确，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设向量 满足，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】由得，经平方后转化为数量积求解.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
14. 设等比数列的前n项和为，写出一个满足下列条件的的公比_________．
①，②是递减数列，③．
【答案】（答案不唯一，只要即可）
【解析】
【分析】依题意可得，从而得到，进而可得到答案．
【详解】由，得，
又因为，所以，
又是递减数列，所以．
故答案为：（答案不唯一，只要即可）．
15. 已知函数在上恰有3个零点，则ω的最小值是 ________.
【答案】
【解析】
【分析】化简函数解析式可得，结合正弦型函数的性质求其零点，结合条件列不等式求ω的最小值.
【详解】因为，
所以
所以.
令，可得，
所以或，
所以或，，
所以函数的正零点由小到大依次为，，，，，
因为函数在上恰有3个零点，
所以，，
所以
所以故ω的最小值是.
故答案为：.
16. 已知为抛物线：上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于48，则点的纵坐标的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】点的坐标为，根据抛物线的定义及几何性质确定的周长表达式，转换为含的式子，利用函数单调性与取值求解不等式即可得所求.
【详解】解：抛物线：，则焦准距，则
如图，设点的坐标为，则准线与轴的交点为，
则由抛物线定义可得
又，
所以的周长为，
设函数，则在上为减函数，
因为，所以的解为，则点的纵坐标的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．
（1）若，证明：△ABC为等腰三角形；
（2）若，求b的最小值．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）已知条件由余弦定理角化边，化简可得，从而可证△ABC为等腰三角形；
（2）已知条件由正、余弦定理角化边，可得，从而得到，进而可求得b的最小值．
【小问1详解】
因为，，所以由余弦定理可得，即，
整理得，即，所以△ABC为等腰三角形．
【小问2详解】
因为，
所以由正弦定理可得，
所以由余弦定理可得，
又，所以，
所以，
当时，取最小值，且最小值为．
18. 已知数列{}满足，.
（1）记，证明{}为等差数列，并求{}的通项公式；
（2）求{}的前2n项和.
【答案】（1）证明见解析，
（2）3n2
【解析】
【分析】（1）根据数列新定义得出和的关系即可证明．
（2）根据数列新定义求出的通项公式，根据通项公式特性求出.
【小问1详解】
由题知
则
所以，即
故{}为等差数列
又
所以
【小问2详解】
因为……
所以
=3n2
19. 如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，证明平面平面，根据面面平行的性质即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，设棱长，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得答案.
【小问1详解】
证明：连接，
因为分别是棱的中点，所以,
平面,平面,所以平面，
因为分别是棱，的中点，所以,.
所以四边形是平行四边形，则,.
平面,平面,所以平面，
因为平面，且，所以平面平面，
因平面，所以平面.
【小问2详解】
取的中点O，连接，，
因为是等边三角形，故,
而平面故平面,平面,
则，
即，，两两垂直，
则以O为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,
设，由知，，
则，,,，
从而,
设平面的法向量为，
则,令，得,
设直线与平面所成角为，
则.
20. 灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.
（1）求的分布列；
（2）若满足的n的最小值为，求；
（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.
【答案】（1）分布列见解析；
（2）13； （3）更优
【解析】
【分析】(1)由条件确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列；
(2)根据分布列结合条件求n的最小值；
(3)分别计算与时购买替换灯珠所需总费用的期望值，比较大小确定结论.
【小问1详解】
设ξ表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，
则0.2，，
X的取值范围是，
，
，
，
，
，
，
，
X的分布列为
【小问2详解】由（1）可知，
，
故.
【小问3详解】
由（2）可知.
在灯带安全使用寿命期内，当时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当时，设购买替换灯珠所需总费用为v元，则，
，
故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比的方案更优
21. 已知双曲线C的渐近线方程为，且C的实轴长为2.
（1）求C的方程；
（2）过右焦点F的直线与C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P（异于点F），使得点F到直线PA，PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】(1)由条件列关于的方程，解方程求可得双曲线方程；
(2)假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此求可得结论.
【小问1详解】
由题意得，即.
因为C的渐近线方程为.
所以
所以，故C的方程为.
【小问2详解】
假设存在P（n，0）满足条件，设.
由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB：
联立消去x得
则
且.
，，
由已知，所以，
因为点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是∠APB角平分线
则，即，
所以
整理得
所以，整理得，
因为对于任意的，恒成立，所以，
故存在点，使得点F到直线PA，PB的距离相等.
【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
22. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据导函数的几何意义求切线方程；
(2)参变分离可得，利用导数讨论的最值即可求解.
【小问1详解】
当时，，则，
则
又，所以所求切线方程为，
即.
【小问2详解】
，等价于,
①当时，显然成立;
②当时，不等式
等价于,
设，则.
设，
则,
）时，，当）时，,
则在上单调递减，上单调递增.
因为，所以，且,
则当时，，当）时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
则,
则，故a的取值范围为.
X
10
11
12
13
14
15
16
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04