第四章 指数函数与对数函数同步课堂单元测试（解答题基础版）-高一数学单元专项培优复习（人教A版必修第一册）

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第四章 指数函数与对数函数同步课堂单元测试【解答题基础版】一、解答题1．化简：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接利用根式的运算性质求解即可（2）直接利用分数指幂的运算性质求解即可【详解】（1）原式；（2）原式.2．将下列根式与分数指数幂进行互化．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用根式与分式指数幂的关系以及指数幂的运算性质化简可得结果；（2）利用根式与分式指数幂的关系以及指数幂的运算性质化简可得结果.【详解】（1）；（2）.【点睛】本题考查分式指数幂以及指数幂的运算性质，考查计算能力，属于基础题.3．已知，求函数的最大值．【答案】2【分析】令，，结合，可得最值.【详解】因为，令，则，因为，所以，即，又因为对称轴，所以当，即时，．4．求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】根据解析式直接得出定义域即可.【详解】（1）可得的定义域为；（2）可得的定义域为；（3）可得的定义域为；（4）可得，即的定义域为.5．计算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【分析】(1)根据对数的运算法则和性质即可求解；(2) 根据对数的运算法则和性质即可求解.【详解】（1）原式=；（2）原式= .6．求下列各式中的取值范围．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】两题均根据真数大于零，底数大于零，且不等于1列出不等式即可获解.【详解】（1）由题意可知：，解之得：．∴的取值范围是;（2）由题意可知：，解之得：．∴的取值范围是．7．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a(单位：元)，每期利率为r，本利和为y(单位：元)，存期数为x.（1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式；（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄.【答案】（1）（）；（2）.【分析】（1）根据已知条件求得解析式.（2）结合（1）的结论计算出本利和【详解】（1）依题意可知，（）.（2）由（1）得，本利和为.8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．（1）f（x）＝；（2）f（x）＝x2＋2x＋4；【答案】（1）；（2）不存在零点.【分析】（1）令，求解相应的即可. （2）先判断二次函数有根无根，有根求根，即可得出答案.【详解】（1）令＝0，解得x＝－3，所以函数f（x）＝的零点是x＝－3．（2）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f（x）＝x2＋2x＋4不存在零点．【点睛】本题考查函数零点的求法，考查二次函数根的判别式的应用，熟悉函数的零点定义是解题的关键，本题属于基础题.9．求证：函数只有一个零点，且.【答案】见解析【分析】利用函数的单调性及零点存在定理证明．【详解】证明：函数在上为增函数，又，有且只有一个零点，且.【点睛】本题考查零点存在定理，在一个区间上单调的函数，在此区间上最多只有一个零点．10．已知A地到B地的电话线路发生故障（假设线路只有一处发生故障），这是一条10km长的线路，每隔50m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在（精确到50m）？【答案】见解析【分析】利用二分法取线段的中点即可迅速查出故障所在.【详解】如图：可首先从中点C开始检查，若段正常，则故障在段；再到段中点D检查，若段正常，则故障在段；再到段中点E检查……每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过8次查找，可将故障范围缩小到50m之内，即可迅速找到故障所在．【点睛】本题考查了二分法在生活中的应用，理解二分法的定义，属于基础题.