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第四章 指数函数与对数函数同步课堂单元测试(解答题提升版)-高一数学单元专项培优复习(人教A版必修第一册)
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第四章 指数函数与对数函数同步课堂单元测试【解答题提升版】一、解答题1.计算下列各式:(1);(2).【答案】(1)6y;(2)x2y.【分析】(1)根据指数运算法则可求得答案;(2)根据指数运算法则可求得答案.【详解】解:(1) ;(2).2.对于函数.(1)求函数的定义域,值域;(2)确定函数的单调区间.【答案】(1)定义域为R,值域为(0,];(2)单调递增区间为(﹣∞,3),单调递减区间为(3,+∞).【分析】(1)由题意得出函数的定义域,利用配方法得出x2﹣6x+13的范围,利用指数函数的性质得出函数的值域;(2)利用复合函数的单调性求解即可.【详解】(1)由题意可得函数的定义域为R,配方可得x2﹣6x+13=(x﹣3)2+4≥4,∴∈(0,],∴函数的值域为(0,];(2)由二次函数可知t=x2﹣6x+13的单调递减区间为(﹣∞,3),单调递增区间为(3,+∞),由指数函数和复合函数的单调性可得的单调递增区间为(﹣∞,3),单调递减区间为(3,+∞).3.若,,求的值.【答案】2【分析】将,,转化为对数,再利用对数运算分别求得,,进而得到求解.【详解】因为,,所以,则,,所以,所以.4.已知loga3=m,loga2=n.(1)求am+2n的值;(2)若0<x<1,x+x-1=a,且m+n=log32+1,求x2-x-2的值.【答案】(1)12;(2)-3.【分析】(1)根据指数与对数互化得am=3,an=2,再由指数运算法则可得答案;(2)根据对数运算法则求得a,再由指数运算求得答案.【详解】解:(1)由loga3=m,loga2=n得am=3,an=2,因此am+2n=am·a2n=3×22=12.(2)∵m+n=log32+1,∴loga3+loga2=loga6=log36,即a=3,因此x+x-1=3.于是(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=5,由0<x<1知x-x-1<0,从而x-x-1=-,∴x2-x-2=(x-x-1)(x+x-1)=-3.5.计算:.【答案】.【分析】利用换底公式结合对数的基本公式化简即可.【详解】原式.6.比较的大小【答案】【分析】利用函数的单调性得到,结合函数的单调性得到,从而可以求出结果.【详解】因为为增函数,故,而为增函数,故,故.7.已知函数.(1)求的定义域;(2)判断在内的单调性,并证明你的结论;【答案】(1);(2)在内单调递减,证明见解析.【分析】(1)本题可根据对数函数的性质以及解分式不等式得出结果;(2)本题可通过定义法以及对数的运算法则证出在内单调递减.【详解】(1)因为,所以,即,解得或,故函数的定义域为.(2)在内单调递减,证明:任取、且,则,因为,所以,则,,,在内单调递减.8.已知二次方程有且只有一个实根属于,求的取值范围.【答案】.【分析】由题知,进而得,再解不等式即可得答案.【详解】解:因为所以易知是方程的一个根,则另一根为,因为原方程有且仅有一个实根属于,所以,即 ,解得或,所以的取值范围为9.最近,考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据,科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代,已知某放射性元素的半衰期约为年(即:每经过年,该元素的存量为原来的一半),已知古生物中该元素的初始存量为(参考数据:).(1)写出该元素的存量与时间(年)的关系;(2)经检测古生物中该元素现在的存量为,请推算古生物距今大约多少年?【答案】(1),;(2).【分析】(1)根据半衰期的定义可得出函数解析式;(2)利用指数与对数式的互化解方程,求得即可得解.【详解】(1)由半衰期的定义可知,每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的,所以,该元素的存量与时间(年)的关系式为,;(2)由可得,所以,,.因此,该古生物距今大约年.10.已知函数f(x)=3x2-5x+a.(1)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的一个零点在(-2,0)内,另一个零点在(1,3)内,求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)(-12,0).【分析】(1)由判别式大于零求出实数a的取值范围;(2)画出的草图,结合零点存在性定理,列出不等式组求出实数a的取值范围.【详解】(1)由题意得Δ=25-4×3×a>0,解得.所以a的取值范围是.(2)由草图可知得,解得.所以a的取值范围是【点睛】关键点睛:解决问题二的关键在于根据题意画出的草图,结合零点存在性定理得出实数a的取值范围.