初中数学人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组教学设计及反思

这是一份初中数学人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组教学设计及反思，共18页。教案主要包含了知识梳理，课堂精讲，课后巩固练习，解答题等内容，欢迎下载使用。
考点1 常见的一些等量关系
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
5.行程问题
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度.
逆水速度=静水速度-水流速度.
6.存贷款问题
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.
月利率＝年利率×.
7.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
8.方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
要点诠释：
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．
考点2 实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
二、课堂精讲：
（一）和差倍分问题
例1．甲乙丙三个工厂共同筹办一所厂校，所出经费不同，其中甲厂出总数的，乙厂出甲丙两厂和的，已知丙厂出了16000元，问这所厂校总经费是多少？甲乙两厂各出多少？
【随堂演练一】
根据如图提供的信息，求一个热水瓶的价格．
（二）配套问题
例2．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
【随堂演练二】
某家具厂生产一种方桌，设计时1的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有10的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）.
（三）工程问题
例3．一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?
【随堂演练三】
古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．
求A、B两工程队分别整治河道多少米．
（四）利润问题
例4.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
【随堂演练四】
王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗?
（五）行程问题
例5. A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．
(1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；
(2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?
【随堂演练五】
两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？
（六）存贷款问题
例6.蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？
（七）数字问题
例7.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．
【随堂演练六】
一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是多少？
（八）方案选择问题
例8.某种饮料有大箱和小箱两种包装，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．求：
①2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？
②若一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全相同，请问购买哪种包装的饮料更合算？
【随堂演练七】
某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.
三．小结：
1.常见问题中的一些等量关系
和差倍分问题；产品配套问题；工程问题；利润问题；行程问题；存贷款问题 ；数字问题；方案问题
2.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
3.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
四、课后巩固练习
一、选择题
1．有一些苹果箱，若每只装苹果25 kg，则剩余40 kg无处装；若每只装30 kg，则还有20个空箱，这些苹果箱有( )
A．12只 B．6只 C．112只 D．128只
2.幸福中学七年级学生到礼堂开会，若每条长椅坐5人，则少10条长椅，若每条长椅坐6人，则又多余2条长椅，设学生有x人，长椅有y条，依题意得方程组 ( )
A． B．
C． D．
3.十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，共花了400元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？（ ）
A．300元 B．310元 C．320元 D．330元
4. 两个水池共储水40吨，如果甲池注进水4吨，乙池注进水8吨，甲池水的吨数就与乙池水的吨数相等．甲、乙水池原来各储水的吨数是 （ ）
A．甲池21吨，乙池19吨 B．甲池22吨，乙池18吨
C. 甲池23吨，乙池17吨 D．甲池24吨，乙池16吨
5.某校七年级(2)班40名同学为四川地震灾区捐款，共捐了100元，捐款情况如下表：
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列方程组( )
B．
C. D.
6.（2015春•天河区期末）甲乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的船速与水流速度分别是（ ）
A．24km/h，8km/hB．22.5km/h，2.5km/h
C．18km/h，24km/hD．12.5km/h，1.5km/h
7.已知一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小，求这个两位数所列的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
9. 为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度y米．则方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
10．（2015春•孝南区期末）根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是 元和 元．
11．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题.
12．“六一”儿童节，某动物园的成人门票每张8元，儿童门票半价(即每张4元)，全天共售出门票3000张，共收入15600元，则这一天售出了成人票________张，儿童票__________ 张．
13. 小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你珠子的给我，我就有10颗”，那么小刚的弹珠颗数是 颗．
14. 学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大时，你刚1岁；你到我这么大时，我已37岁了”．那么老师现在的年龄是 岁．
三、解答题
15．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10．求原来的两位数．
16．小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？
17. 某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价是书包单价的4倍少8元．
(1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元?
(2)某假期该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购满100元返购物券30元(销售不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说出他可以选择在哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱?
第九讲 实际问题与二元一次方程组【答案】
例1．解：设甲厂出x元，乙厂出y元，由题意得：
∴12000+14000+16000=42000（元）
答：总经费为42000元，甲厂出12000元，乙厂出14000元.
【随堂演练一】
解：设水壶单价为x元，杯子单价为y元，
则有 ，
解得 ．
答：一个热水瓶的价格是45元．
例2．解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.
根据题意，列方程组得
解方程组得
答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
【随堂演练二】
解：设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，由题意得，
,
.
∴方桌有50=300（张）.
答：有6的木材生产桌面，4的木材生产桌腿，可生产出300张方桌.
例3．解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件．
根据题意，得，
解之，得．
答：甲、乙两人每天做机器零件分别为50个、30个．
【随堂演练三】
解：选甲同学所列方程组解答如下：
，
解得，
A工程队整治河道：12x=60 （米），
B工程队整治河道：8y=120 （米）．
答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．
例4. 解：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得
，
解得：．
答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱．
（2）300×（36﹣24）+200×（48﹣33）
=3600+3000
=6600（元）．
答：该商场共获得利润6600元．
【随堂演练四】
解：设王师傅分别购进甲、乙两种商品件和件，则
解得：
答：王师傅分别购进甲乙两种商品32件与18件．
例5.解：(1)设快车和慢车的速度分别为x千米/时和y千米/时．
根据题意，得，
解得
答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时．
(2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，
根据题意，得60(x+1)+100x＝480．
解得．
答：快车开出小时两车相遇．
【随堂演练五】
解：设这两列火车的速度分别为km/h，km/m．
由题意得，
答：这两列火车的速度分别为45 km/h和 36 km/h．
例6.解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得：
解得：
答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元．
例7.解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y．则原数为10y+x，把这两个数的位置对换后，所得的新数为10x+y，根据题意，得：
，解方程组，得．
故这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49．
答：这个两位数为49．
【随堂演练六】
解：设个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数是（10b+a），
由题意，得，
解得．
所以这个两位数是：10×1+6=16．
例8.解：①设大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，
根据题意可知3大箱、2小箱共92瓶，
可列式为3x+2y=92，
又知5大箱、3小箱共150瓶，
故可列式为5x+3y=150，
即列方程组为，
解得：，
故2大箱有24×2=48（瓶）、5小箱有饮料：10×5=50（瓶），
答：2大箱有48瓶、5小箱有饮料50瓶；
②∵一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，
∴大箱平均每瓶：48÷24=2（元），
小箱平均每瓶：25÷10=2.5（元），
所以买大箱合算．
【随堂演练七】
解：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐.则根据题意可得：
解得：
答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.
∴能供全校的5300名学生就餐.
三．小结：
四、课后巩固练习
一、选择题
1. D
2. A
3．C
4. B
5. A
6．B
7. D
8. C
9. A
二、填空题
10．20，2．
19
900， 2100．
88；6
25
三、解答题
13.解：设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为10y+x，根据题意得：
解得
答：原来的两位数为26．
14.解：设平路有xm，下坡路有ym，
根据题意得，
解得：，
答：小华家到学校的平路和下坡路各为300m，400m．
15.解： (1)设书包的单价为x元，随身听的单价为y元，根据题意，得：
，
解得．
(2)在超市A购买随身听与书包需花费现金：452×80％＝361.6(元)．因为361.6＜400，所以可以选择在超市A购买．
在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元的购物券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360+2＝362(元)．因为362＜400，所以也可以选择在超市B购买．
因为361.6＜362，所以在超市A购买更省钱．
课程目标
以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；
课程重点
1. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题；
2．熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法.
课程难点
1.二元一次方程组解应用题的一般步骤；
2.用二元一次方程组解决实际问题．
教学方法建议
依次设未知数，建立数学模型，得到二元一次方程组方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.
类别/单价
成本价
销售价（元/箱）
甲
24
36
乙
33
48
捐款（元）
1
2
3
4
人数
6
7