人教版八年级上册12.1 全等三角形教案设计

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直角三角形全等的判定,一般三角形的全等的判定定理都有哪些?你喜欢哪一种?使用的时候有什么不同?
课首小测
[单选题] [全等三角形的判定] [难度： ★★ ] 如图，AB=AD，BC=CD，那么全等三角形的对数是（）
A.1B.2C.3D.4
【参考答案】C
【题目解析】先根据SSS推出△ABC≌△ADC，推出∠1=∠2，∠3=∠4，再根据SAS即可推出△ABO≌△ADO，
△CBO≌△CDO．
[全等三角形的判定] [难度： ★★ ] （2015年江西南昌中考试题） 如图，OP平分∠MON , PE⊥OM于E,PF⊥ON于
F,OA=OB, 则图中有 对全等三角形.
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
全等三角形的性质与判定
课型
一对一
教学目标
1、掌握全等三角形的性质
2、会运用性质进行全等三角形的判定
3、掌握全等三角形性质与判定的综合运用
重、难点
重点:全等三角形的判定定理的灵活应用
难点:全等三角形的性质以及判定的综合运用
【参考答案】3
【题目解析】∵∠POE=∠POF, ∠PEO=∠PFO=90°OP=OP,∴△POE≌△POF(AAS),
又OA=OB,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△POA≌△POB(AAS),∴PA=PB,∵PE=PF,
∴Rt△PAE≌Rt△PBF(HL).∴图中共有3对全的三角形.
[全等三角形的判定] [难度： ★★ ] 如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
【参考答案】△ADC≌△CEB
证明：∵AD⊥CD，BE⊥CE，AC⊥BC
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∠ADC=∠CEB=90°
∴∠CAD=∠BCE
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）
[单选题] [全等三角形的判定] [难度： ★★ ] 下面一定是全等三角形的是（）
A.周长相等的两个三角形B.面积相等的两个三角形
C.三个角分别相等的两个三角形D.能够完全重合的两个三角形
【参考答案】D
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★★ ]
如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，CE垂直于BD的延长线，若BD=12．则CE=
【参考答案】6
【题目解析】
解：延长CE、BA交于O，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAO=∠BAD=90°，
∵CE⊥BE，
∴∠BEO=∠BEC=90°，
∴∠O+∠OCA=90°，∠O+∠DBA=90°，
∴∠OCA=∠DBA，
在△BAD和△CAO中，
∠DBA＝∠OCA，BA＝AC，，∠BAD＝∠CAO
∴△BAD≌△CAO（ASA），
∴BD=OC=12，
∵BE平分∠CBA，
∴∠CBE=∠OBE，
在△CBE和△OBE中，
∠CBE＝∠OBE，BE＝BE，∠BEC＝∠BEO，
∴△CBE≌△OBE（ASA），
∴CE=OE=1/2，CO=1/2×12=6．
故答案为：6．
知识梳理
导学一 ： 全等三角形的性质与判定
例题
1. [全等三角形的性质] [难度： ★★ ] 如图，△ABC≌△ADE，∠B=40°，∠E=30°，∠BAE=80°，则∠BAC=
、∠DAC= ．
【参考答案】
【题目解析】
【思维对话】全等三角形的性质，对应角相等以及对应边相等，这是一定要掌握的，当然还有面积，周长之类的也作 相应的了解。
[全等三角形的判定] [难度： ★★ ] 如图，已知∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E在AB上，连接CE、DE
请你找出与点E有关的所有全等的三角形．
选择（1）中的一对全等三角形加以证明．
【参考答案】（1）△ACE≌△ADE，△BCE≌△BDE；
（2）在RT△ABC和RT△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（HL），
∴∠CAB=∠DAB，
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE（SAS）．
【题目解析】（1）找出图中E为顶点的全等三角形即可解题；
（2）易证△ABC≌△ABD可得∠CAB=∠DAB，根据边角边证明三角形全等方法即可求得
△ACE≌△ADE．
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★★ ] 如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD．
【参考答案】证明：连接AC、AD，
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED（SAS）．
∴AC=AD．
又∵点F是CD的中点，
∴CF=DF 又∵AF=AF
∴△ACF≌△ADF（SSS）
∴∠AFC=∠AFD
∴AF⊥CD．
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[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2014年北京中考试题） 如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，
BC=DB．求证：∠A=∠E
【参考答案】如图，∵BC∥DE，
∴∠ABC=∠BDE．
在△ABC与△EDB中，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠A=∠E．
[全等三角形的判定] [难度： ★★ ] （2014年海珠蓝天中学期中） 如图，AC=AE，AB=AD，∠1=∠2.求证：BC=DE
【参考答案】
【思维对话】证明线段相等，我们首先要想到的就是全等，然后找出相应的全等三角形，先看下是否是直角三角形， 是的话，先考虑HL，然后再考虑一般的三角形的判定定理，其次找出“三公”，包括公共边，公共角以及对顶角，最后证明全等得出线段相等。
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2014年天河期中试题） 如图，D、E分别是等边三角形ABC的边AB、AC 上的点，且AE=BD，CD、BE交于点P.
（1）求证：BE=CD；（2）求∠BPC的度数.
【参考答案】
导学二 ： 倍长中线
例题
[全等三角形的判定与性质;三角形三边关系] [难度： ★★ ] （2015年十堰市初二期中考试） 如图，△ABC中，D为
BC的中点．
求证：AB+AC＞2AD；
若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．
【参考答案】
（1）证明：由BD=CD，再延长AD至E，使DE=AD，
∵D为BC的中点，
∴DB=CD，
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC，
在△ABE中，∵AB+BE＞AE，
∴AB+AC＞2AD；
（2）1＜AD＜4
[角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;平行线的性质] [难度： ★★★ ] 如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点
E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF，求证：AD为△ABC的角平分线.
【参考答案】
【题目解析】
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2015年上海市初二期末考试） 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，
E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。
【参考答案】
证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．
∵AD是BC边上的中线（已知），
∴DC=DB，
在△ADC和△GDB中，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴∠CAD=∠G，BG=AC
又∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G，
∵∠BED=∠AEF，
∴∠AEF=∠CAD， 即：∠AEF=∠FAE，
∴AF=EF．
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[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] 阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．
求证：AB=CD．
【参考答案】方法一：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
∴∠F=∠CGE=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF=CG．
在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，
∴△ABF≌△DCG．
∴AB=CD．
方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
∴∠F=∠BAE． 又∵∠ABE=∠D，
∴∠F=∠D．
∴CF=CD．
∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB=CF．
∴AB=CD．
方法三：延长DE至点F，使EF=DE． 又∵BE=CE，∠BEF=∠CED，
∴△BEF≌△CED．
∴BF=CD，∠D=∠F． 又∵∠BAE=∠D，
∴∠BAE=∠F．
∴AB=BF．
∴AB=CD．
【题目解析】证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明 的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
[三角形的角平分线、中线和高;等腰直角三角形] [难度： ★★ ] 如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB 边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，
求证:EF＝2AD
【参考答案】
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2015年广州市初二月考试题） 已知：如图，在中，
，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分。
【参考答案】
证明：如图，延长FE到G，使EG=EF，连接CG．
在△DEF和△CEG中，
∴△DEF≌△CEG．
∴DF=GC，∠DFE=∠G．
∵DF∥AB，
∴∠DFE=∠BAE．
∵DF=AC，
∴GC=AC．
∴∠G=∠CAE．
∴∠BAE=∠CAE． 即AE平分∠BAC
导学三 ： 角平分线的性质
例题
[角平分线的性质] [难度： ★★★ ] 如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数．
【参考答案】∵AE是角平分线，∠BAE=26°，
∴∠FAD=∠BAE=26°，
∵DB是△ABC的高，
∴∠AFD=90°﹣∠FAD=90°﹣26°=64°，
∴∠BFE=∠AFD=64°．
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★★ ] 已知：如图，BP，CP是△ABC的外角平分线，证明：点P一定在∠BAC 的角平分线上．
【参考答案】过点P分别作AM、BC、AN的垂线PE、PF、PD，E、F、D为垂足，
∵CP是∠MCB的平分线，
∴PE=PD．
同理：PF=PD．
∴PE=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上．
[角平分线的性质;全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] 等边三角形ABC中，点E在AB上，点F在AC上 EDF=45 ， DB=DC，BDC=120 。请问现在EF、BE、CF有什么数量关系？并证明
【参考答案】EF= BE+CF
【题目解析】证明：延长AB到G,使BG=CF,连接DG
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵DB=DC,∠BDC=120°
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠DBE=∠DCF=90° 则∠DBG=90°=∠DCF 又∵DB=DC,BG=CF
∴△DBG≌△DCF（SAS）
∴DG=DF,∠BDG=∠CDF
∵∠EDF=60°
∴∠BDE+∠CDF=60°
∴∠BDE+∠BDG=60° 即∠EDG=60°=∠EDF 又∵DE=DE,DG=DF
∴△EDG≌△EDF（SAS）
∴EF=EG=BE+BG=BE+CF
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[勾股定理;全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2014年惠州市期末试题） 已知，Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=BC，AD平分∠BAC.求证：AC+ CD =AB
【参考答案】证明：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD是∠A的平分线，
∴DE=DC，
由勾股定理得：AE2=AD2-DE2，AC2=AD2-DC2，
∵AD=AD，DE=DC，
∴AE=AC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠EDB=45°=∠B，
∴BE=DE=DC，
∴AB=AE+BE=AC+CD， 即AC+CD=AB．
[角平分线的性质;全等三角形的判定与性质] [难度： ★★★ ] 如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证： AB=AC+CD.
【参考答案】证明：方法1：在AB上取AE=AC，连接DE，
∵AE=AC，∠1=∠2，且AD=AD，
∴△≌△（），
∴ED=CD，∠=∠C=2∠B， 又∵∠=∠B+∠，
∴∠B=∠，
∴ =ED，即△ D为等腰三角形．
∴ =ED=CD，
∴AB=AE+ =AC+CD．
方法2：延长AC到E，使 =CD，连接DE． 则∠=∠E
∴∠ACB=∠+∠E=2∠E
∵∠ACB=2∠B
∴∠B=∠E
∵∠1=∠2，AD=AD
∴△≌△AED
∴AB=AE=AC+CD．
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] 如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120º，说明AD=BD+CD的理由
【参考答案】延长BD到E点,使DE=DC,
∵∠BDC=120度
∴∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形
∴∠ECD=60度,CD=CE
∵∠BCE=∠ACD,
又∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,
∴ACD≌△BCE
∴AD=BE=BD+DE=BD+CD
导学四 ： 全等三角形的综合应用
例题
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] 已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB与点E，CF⊥AD与点F， 且BC=DC，你能说出BE与DF的数量关系吗？为什么？
【参考答案】解：∵∠1=∠2，CE⊥AB，CF⊥AD， 又∵AC=AC，
∴RT△ACF和RT△ACE
∴CF=CE
在RT△DCF和RT△ECB中，
，
∴RT△DCF≌RT△ECB（HL），
∴BE=DF．
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，
BE⊥MN于E．
当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【参考答案】
（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
证明：在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；
DE=BE﹣AD．
易证得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．
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1. [全等三角形的判定与性质;角平分线的性质] [难度： ★★ ] 如图，AD是的角平分线，H，G分别在AC，AB 上，且HD＝BD.
求证：∠B与∠AHD互补；
若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.
【参考答案】(1)：∠B与∠AHD互补；(2)AG＝ AH＋HD
【题目解析】证明：（1）在AB上取一点M, 使得AM＝AH, 连接DM.
∵ ∠CAD＝∠BAD, AD＝AD,
∴ △AHD≌△AMD.
∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD.
∵ HD＝DB,
∴ DB＝ MD.
∴ ∠DMB＝∠B.
∵ ∠AMD＋∠DMB ＝180(,
∴ ∠AHD＋∠B＝180(. 即 ∠B与∠AHD互补.
（2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180(.
∵ ∠B＋2∠DGA ＝180(,
∴ ∠AHD＝2∠DGA.
∴ ∠AMD＝2∠DGM.
∵ ∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.
∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.
∴ ∠DGM＝∠GDM.
∴ MD＝MG.
∴ HD＝ MG.
∵ AG＝ AM＋MG,
∴ AG＝ AH＋HD.
限时考场模拟 ： 15分钟
[单选题] [全等三角形的判定] [难度： ★★ ] （2015年江苏泰州中考试题） 如图，△中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交 AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是()
A.1对B.2对C.3对D.4对
【参考答案】D
【题目解析】试题分析：根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交
AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．
试题解析：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] （2015年江苏无锡中考试题） 已知：如图，AB∥CD，E是AB的点，
CE=DE． 求 证 ： (1）∠AEC=∠BED； (2）AC=BD．
【参考答案】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，
∵CE=DE，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠AEC=∠BED；
(2）∵E是AB的点，
∴AE=BE，
在△AEC和△BED，
，
∴△AEC≌△BED（SAS），
∴AC=BD．
[全等三角形的判定与性质] [难度： ★★ ] 如图，∠A=90°，∠D=90°，AC与BD相交于点E，BE=EC． 求证：△ABC≌△DCB．
【参考答案】证明：∵BE=EC
∠A=∠D=90°
又∵∠AEB=∠DEC
∴△AEB≌△DEC (AAS)
∴AB=DC
在△ABC和△DCB中AB=DC
BC=BC
∴△ABC≌△DCB（HL）．
[全等三角形的判定] [难度： ★★ ] 如图，△EFG的三条边相等，三个内角也相等，且EH=FI=GJ，找出图中一对全等三角形，并说明理由．
【参考答案】△EHJ≌△FIH，
理由：∵△EFG的三条边相等，三个内角也相等，
∴∠E=∠F，EF=FG=EG，
∵EH=FI=GJ，
∴EJ=HF，
在△EHJ和△FIH中，
，
∴△EHJ≌△FIH（SAS）．
[全等三角形的判定与性质;角平分线的性质] [难度： ★★ ] （2014年广州市白云区期末试题） 如图，已知在
△ABC中，AB=AC，∠A=100°，CD是∠ACB的平分线．求证：BC=CD+AD．
【参考答案】
证明：延长CD使CE=BC，连接BE，∴∠CEB=∠CBE= （180°﹣∠BCD）=80°，
课后作业
∵BC=CE=DE+CD，∴BC=AD+CD．
[单选题] [全等三角形的性质] [难度： ★★ ] 如图所示是两个全等三角形，由图中条件可知，∠α=（）
A．65°B．30°C．85°D．30°或65°
【参考答案】A
【题目解析】如图，∠1=180°﹣30°﹣85°=65°，
∵两个三角形全等，
∴∠α=∠1=65°． 故选A．
[全等三角形的判定] [难度： ★★ ] 已知：∠B=∠C，AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． 求证：BE=CF．
【参考答案】∵AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC，
∴DE=DF，
又∠B=∠C，∠BED=∠CFD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE=CF．
[单选题] [全等三角形的判定] [难度： ★★ ] （2014年广西） 下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应 相等的两个三角形全等．其中正确的是（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【参考答案】A
【题目解析】①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等； 如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC，
同理：B′E′=A′C′，
∴BE=B′E′，AE=A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故选A．
[全等三角形的判定] [难度： ★★ ] 如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连接
CD，EB．请你找出图中的一对全等三角形，并证明它．
【参考答案】解：△ACD≌△AEB．
证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，
∵∠BAC=∠DAE，∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS）
[角平分线的性质;全等三角形的判定与性质] [难度： ★★★ ] 已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB。E、F 分别是直线CD上两点（不重合），且∠BEC＝∠CFA＝∠α。
若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：
①若∠BCA＝90°，∠α＝90°，请在图1中补全图形，并证明：BE=CF，EF＝|BE -AF|；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，∠α+∠BCA＝180°，求证 △BCE≌△CAF。
如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，试探究EF、BE、AF三条线段数量关系，并证明．
【参考答案】
[角平分线的性质;全等三角形的判定与性质] [难度： ★★★ ] 如图,在△ABC中,分别以AB、AC为边,向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形,BE、CD相交于点O。
如图甲,求证: △ABE≌△ADC；
探究:如图甲,∠BOC的度数为 ； 如图乙, ∠BOC的度数为 ；
如图丙, ∠BOC的度数为 ；
【参考答案】
1、总结一下本节课的重难点知识
2、完成老师规定的作业，制定相应的学习安排
3、做好下一阶段的学习笔记