高中数学高考黄金卷06（文）（新课标Ⅱ卷）（解析版）

黄金卷06（新课标Ⅱ卷）

文科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】，，，故选D。

2．已知为虚数单位，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，故选C。

3．若、、，且，则下列不等式中一定成立的是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】∵，∴，

对于A，若，则不等式不成立，

对于B，若，则不等式不成立，

对于A，若、，则不等式不成立，

对于D，若，∴，

故选D。

4．函数的大致图像是(  )。

A、     B、    C、   D、

【答案】C

【解析】的定义域为，为奇函数，为偶函数，

∴为奇函数，排除D，，排除A，，

，，排除B，故选C。

5．已知数列的各项均为负数，其前项和为，且满足，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】由，可得，

两式相减得：，

即，∴，

由已知，∴，∴数列为等差数列，公差为，

再由，令得，

即，∴或(舍去)，

∴，因此，故选C。

6．宋元时期数学名若《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图，若输人的、分别为、，则输出的(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】模拟程序运行，可得：、，

，，，不满足，执行循环，

，，，不满足，执行循环，

，，，不满足，执行循环，

，，，满足，退出循环，输出的值为，故选C。

7．若函数的定义域为，则的单调递增区间为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由题意可知的解集为，即和是方程的两个根，

利用韦达定理得：，，解得，，

∴，设，则在上单调递减，

在上单调递增，在上单调递减，

则在上单调递增，故选D。

8．在，，，点是的重心，则的最小值是(  ) 。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】设的中点为，∵点是的重心，∴，

再令，，则，解得，

∴，

∴，当且当时取等号，故选C。

9．已知单位向量、、，满足。若常数、、的取值集合为，则的最大值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】由条件得，

和的取值只有三种可能，分别为、、，

但二者不可能同时一个取，另一个取，

∴的化简结果只有四种形式：、、、，

而，故所有可能取值只有或两种结果，

∴的最大值为，故选A。

10．已知()关于对称，将函数图像向左平移()个单位后与

重合，则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵关于对称，∴，即()，

又，∴，，

将向左平移个单位，，此时与重合，

∴有()，∴的最小值为，故选A。

11．已知双曲线：(，)的左、右顶点分别为、，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于、两点，连接交轴于点，连接交于点，且，则双曲线的离心率为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】由双曲线：(，)得：、、，

又过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于、两点，

∴、，如图所示，设，

∵，解得，即，

又直线的方程为，

令得，即，

又由、、三点共线，∴，即，

又∵，整理得，即，∴，故选B。

12．设函数的零点为、、…，表示不超过的最大整数，有下述四个结论：①函数在上单调递增；②函数与有相同零点；③函数有且仅有一个零点，且；④函数有且仅有两个零点，且。其中所有正确结论的个数是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，当时，，

∴函数在上单调递增，故①正确，

显然不是零点，令，

则在上，与有相同零点，故②正确，

在上，，

∴在上单调递增，在上也单调递增，

而、，∴存在，使，

又、，∴存在的，使，

∴在上只有两个零点、，也即在上只有两个零点到、，

且，故③错误、④正确，正确的命题有个，故选C。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知、满足约束条件，则的最小值为        。

【答案】

【解析】画出可行域如图所示，目标函数即，

平移直线，当截距最大时，最小，

联立，解得，

即在点处取得最小值，。

14．已知数列满足，(，)。定义：使乘积为正整数的()叫做“幸运数”，则在内的所有“幸运数”的和为        。

【答案】

【解析】∵，

∴，

为使为正整数，即满足，则，

则在内的所有“幸运数”的和为：

。

15．已知抛物线：，，若抛物线上存在点()，使得过点的切线，设与轴交于点，则的面积为        。

【答案】

【解析】由可得，，∴直线的斜率，

又直线的斜率为，∵切线，∴，又，

解得，，不妨设，则直线的方程为，即，

∴，则的面积为。

16．在四棱锥中，底面为正方形，，为等边三角形，线段的中点为，若，则此四棱锥的外接球的表面积为        。

【答案】

【解析】如图，设为中点，为正方形中心，

连、，，

设四棱锥的外接球的球心为，半径为，

则球心一定在过点且垂直于底面的垂线上，

∴，，

∵是边长为的等边三角形，∴，

又、，∴，∴,

又，∴为外心，

则球心一定在过点且垂直于侧面的垂线上，

∴，∴，∴，

又∵，∴，

∴。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

平面四边形中，，，。

(1)若的周长为，求。

(2)若，，求四边形的面积。

【解析】(1)在中，∵，，的周长为，∴，       1分

又由余弦定理得：，      3分

则将代入得；                                            5分

(2)在中，由余弦定理得：，         7分

∴，又，，∴，，              9分

∴四边形的面积

。     12分

18．（12分）

在直三棱柱中，，，是的中点，是上一点。

(1)当，求证：平面；

(2)若，求三棱锥体积。

【解析】(1)证明：∵，是的中点，∴，                            1分

在直三棱柱中，

∵底面，底面，∴，                    2分

∵，∴平面，                                3分

∵平面，∴，                                  4分

在矩形中，∵，，

∴≌，∴，                          5分

∴，∴，∵，∴平面，    6分

(2)解：∵平面，，又，，                   8分

∵，∴∽，

∴，∴，                                 10分

∴。                12分

19．（12分）

某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

(1)补全频率分布直方图并求、、的值；

(2)从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，求选取的名领队中恰有人年龄在岁的概率。

【解析】(1)∵第二组的频率为，

∴高为，频率直方图如下：                                         3分

第一组的人数为，频率为，∴，             4分

由题可知第二组的频率为，∴第二组的人数为，

∴，                                                         5分

第四组频率为，∴第四组人数为，

∴，                                                       6分

(2)∵岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，

∴采用分层抽样法抽取人，岁中有人，岁中有人，

设岁中的人为、、、，岁中的人为、，            8分

则选取人作为领队的有：

、、、、、、、、

、、、、、、，共种，      9分

其中恰有人年龄在岁的有：、、、、

、、、，共种，                                10分

∴选取的名领队中恰有人年龄在岁的概率为。                 12分

20．（12分）

记抛物线：()的焦点为，过点的动直线与的交点为、。当的斜率为时，。

(1)求抛物线的方程；

(1)若，()，求的取值范围。

【解析】(1)抛物线的焦点，直线的方程为，                            1分

联立直线与抛物线的方程得：，                  2分

设、，则，，

则，                                             3分

∵，∴，即，解得，

∴抛物线的方程为；                                               4分

(2)由(1)知，焦点，由得：，，

由得，又、，

故，代入得，即，，        6分

①当时，点，此时，，

∴，记，则，

当时，，故在上单调递减，

∴的取值范围是，                                          9分

②当时，点，此时，，

∴，同理，当时，在上单调递增，

∴的取值范围是，                                            11分

综上，的取值范围是。                                 12分

21．（12分）

已知函数()。

(1)当时，求函数的最小值；

(2)若，，求证：。

【解析】(1)的定义域为，当时，，

，                                     1分

令()，则，当时，

当时，则在上单调递减，

当时，则在上单调递增，

则时取极小值也是最小值，则，

即在上恒成立，                                      4分

则当时，则在上单调递减，

当时，则在上单调递增，

∴当时取极小值也是最小值，；                     6分

(2)令，的定义域为，

∵，∴，∴，，7分

当时，，在上单调递增，

∴，∴，                                     8分

当时，，

令()，则当时，，

，∵，∴，                9分

∴存在满足得，则有，

∵，∴存在唯一零点，

即有唯一的极值点且为极大值点，，                          10分

由可得，故，

令，，则，

∴在上单调递增，∴，

故，∴，                                       11分

综上，。                                                       12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标下，曲线的方程是，曲线的参数方程是(为参数)，点是曲线上的动点。

(1)求点到曲线的距离的最大值；

(2)若曲线：交曲线于、两点，求的面积。

【解析】(1)的平面直角坐标方程：，的平面直角坐标方程：，   4分

则的圆心到直线的距离，则；       5分

(2)的平面直角坐标方程：，                                           7分

的圆心到直线的距离，

则，∴。                  10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数。

(1)求的解集；

(2)若恒成立，求实数的最大值。

【解析】(1)由得，解得，                         3分

∴的解集为；                                                4分

(2)恒成立，即恒成立，                                    5分

当时，，                                                         6分

当时，原不等式可化为，

设，即，                                         8分

又(当且仅当即时等号成立)，

∴，即实数的最大值为。                                      10分