高中数学高考黄金卷06（文）（新课标Ⅲ卷）（解析版）

黄金卷06（新课标Ⅲ卷）

文科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数满足，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】∵，∴，故选C。

2．设集合，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】，，，故选D。

3．函数的图像大致为(  )。

A、    B、   C、    D、

【答案】B

【解析】由可知函数为奇函数，故排除C、D，

由图像性质可知，当时，，排除A，故选B。

4．射线测厚技术原理公式为，其中、分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数。工业上通常用镅()低能射线测量钢板的厚度。若这种射线对钢板的半价层厚度为，钢板的密度为，则钢板对这种射线的吸收系数为(  )。

(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到)

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】由题意可知、、，代入得：，

即，即，故选C。

5．已知、满足约束条件，则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】画出可行域如图所示，目标函数即，

平移直线，当截距最大时，最小，

联立，解得，

即在点处取得最小值，，故选B。

6．在三棱锥中，，， ，，，，则异面直线与所成的角的余弦值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】如图，由己知条件，将三棱锥补为长方体，连接、，

由于，则是异面直线和所成的角，

由已知得，又在中，，

∴，，在中，、，

由余弦定理可得。

7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为(  )。

A、   

B、   

C、   

D、   

【答案】C

【解析】当时，

当时，

当时，

则周期为，当时输出，此时，故选C。

8．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，还原几何体如图所示，

故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以为高的直三棱柱的外接球相同，

∵底面底边为，高为，故底面是等腰直角三角形，

可得底面三角形外接圆的半径为，由棱柱高为可得，

外接球半径为，外接球的体积为，故选D。

9．将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的()倍(纵坐标不变)，得到函数的图像，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】将函数的图像经过变化后得到的图像，

令()，即()，

∵在上是增函数，∴，又，∴，

令时，解得，当且时，不符合题意，故选B。

10．已知双曲线：(，)的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】如图，由双曲线的定义知，

∵，∴，即，

而，∴，

在中，，设，

由于，则，

由余弦定理得：，

即，∵，∴，即，故选B。

11．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点、、、在同一个球面上，则该球的表面积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】如图分别取，的中点、，连，

则容易算得，，，，

由图形的对称性可知球心必在的延长线上，

设球心为，半径为，，

则由题设可得，

解之得，则，∴球的表面积，故选C。

12．已知函数()的图像与函数的图像关于直线对称，设定义在的函数的导函数满足，且，则当时，满足(  )。

A、有极大值，无极小值

B、有极小值，无极大值

C、既无极大值，也无极小值

D、既有极大值，也有极小值

【答案】C

【解析】，则()，，

则，，，

设，

则，

即，令，则，，

则为的极小值也是最小值，

则，∴，

∴既无极小值，也无极大值，故选C。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，，且与平行，那么       。

【答案】

【解析】∵、，且与平行，

∴，解得。

14．某学校进行足球选拔赛，有甲、乙、丙、丁四个球队，每两队要进行一场比赛。记分规则为胜一场得分，平一场得分，负一场得分。若甲胜乙、丙、丁的概率分别是、、，甲负乙、丙、丁的概率分别是、、，最后得分大于等于为胜出，则甲胜出的概率为         。

【答案】

【解析】两队进行一场比赛，一队胜、平、负是互斥事件，

∴由题意可知：甲平乙、丙，丁的概率分别是、、，

∴甲胜的概率为。

15．已知数列的前项和与满足：当时，、、成等比数列，且，则　      。

【答案】

【解析】∵当时，、、成等比数列，∴，

又∵当时，∴，

则，∴，数列是以为首项，为公差的等差数列，

∴，即，

当时，经检验时不合符，

则。

16．已知椭圆：上有一点，若直线：交椭圆于不同的两点、，且，则         。

【答案】

【解析】设、，联立得，

得：，，，

则，，

∵，∴

，

解得或，又，故。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试。测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子停下所需的距离)，无酒状态与酒后状态下的实验数据分别列于表1和表2。

表1

表2

请根据表1、表2回答以下问题：

(1)根据表1估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；

(2)根据最小二乘法，由表2的数据计算关于的回归方程；

(3)该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的“平均停车距离”大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的倍，则认定驾驶员是“醉驾”。请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？

参考公式：，。

【解析】(1)依题意，驾驶员无酒状态下停车距离的平均数为：

；                        3分

(2)依题意可得：，，                                               4分

，                6分

，则回归方程为；                            8分

(3)由(1)知当时认定驾驶员是“醉驾”，                                9分

令得，解得，                                      11分

当每毫升血液酒精含量大于毫克时为“醉驾”。                               12分

18．（12分）

在直三棱柱中，，，是的中点，是上一点。

(1)当，求证：平面；

(2)若，求三棱锥体积。

【解析】(1)证明：∵，是的中点，∴，                            1分

在直三棱柱中，

∵底面，底面，∴，                    2分

∵，∴平面，                                3分

∵平面，∴，                                  4分

在矩形中，∵，，

∴≌，∴，                          5分

∴，∴，∵，∴平面，    6分

(2)解：∵平面，，又，，                   8分

∵，∴∽，

∴，∴，                                 10分

∴。                12分

19．（12分）

已知在锐角中，三个内角、、所对的边分别为、、，满足。

(1)求的值；

(2)若，求的取值范围。

【解析】(1)在中，，

由得：，又由正弦定理得：，          2分

即，    4分

即，解得，∴；                5分

(2)在锐角中，，，，

由正弦定理可得，                                        6分

∴

       ，             9分

∵，∴，而，，                   10分

又正切函数在上单调递增，∴，                       11分

从而，即的取值范围是。           12分

20．（12分）

已知直线与抛物线：()交于、两点，且点、在轴两侧，其准线与轴的交点为点，当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，。

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若抛物线的焦点为，，且与的面积分别为、，求的最小值。

【解析】(1)当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，直线的方程为，           1分

联立得：，恒成立，                         3分

设、，则，，                      4分

∴，解得，

∴此抛物线的标准方程为；                                         6分

(2)由(1)知抛物线的方程为，设直线：，

∵直线与抛物线相交，∴，                                          7分

联立得，则，，    8分

则，解得或(舍)，                 9分

∴直线：，恒过定点，                                    10分

设，从而、，

则，                         11分

当且仅当时不等式取等号， 故的最小值为。        12分

21．（12分）

已知函数，函数的导函数为，()。

(1)求函数的单调区间

(2)若函数存在单递增区间，求的取值范围；

(3)若函数存在两个不同的零点、，且，求证：。

【解析】(1)的定义域为，

，令解得，                     1分

当时，，此时在上单调递减，                  2分

当时，，此时在上单调递增，                    3分

∴的单调递减区间为，单调递增区间为；                 4分

(2)，

定义域为，，                                      5分

若函数存在单递增区间，只需在上有解，

即存在使得，

令，则，令解得，                      6分

当时，则在上单调递增，

当时，则在上单调递减，

则时取极大值也是最大值，∴，∴，

∴的取值范围为；                                                 8分

(3)由(2)可知()，令可知，

设，则，令解得，                     9分

当时，则在上单调递增，

当时，则在上单调递减，

∴，又，且当时，                 10分

∴当时，直线与的图像有两个交点，

即有两个不同的零点、，∵，∴，，

∴，，∴。                                          12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线 ：(为参数)，在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：。

(1)写出曲线和的普通方程；

(2)若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求使最小时点的坐标。

【解析】(1)由题意可知曲线为椭圆，的普通方程为：，                      2分

曲线为直线，的普通方程为：；                              4分

(2)结合图形可知：最小值即为点到直线的距离的最小值，

设，

则到直线的距离，其中， 6分

∴当时，最小，即的最小值为，        7分

此时，，

即，即最小时点的坐标为。                10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数。

(1)求的解集；

(2)若恒成立，求实数的最大值。

【解析】(1)由得，解得，                         3分

∴的解集为；                                                4分

(2)恒成立，即恒成立，                                    5分

当时，，                                                         6分

当时，原不等式可化为，

设，即，                                         8分

又(当且仅当即时等号成立)，

∴，即实数的最大值为。                                      10分