高中数学高考黄金卷07（理）（新课标Ⅰ卷）（解析版）

黄金卷07（新课标Ⅰ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则集合的真子集的个数为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】联立解得或或，

故，

有个元素，则真子集的个数为，故选C。

2．已知是复数，为的共轭复数。若命题：，命题：，则是成立的(  )。

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由可得，∴，

由，设()，得，∴或，即或，

∴是成立的充分不必要条件，故选A。

3．函数的大致图像是(  )。

A、     B、    C、   D、

【答案】C

【解析】的定义域为，为奇函数，为偶函数，

∴为奇函数，排除D，，排除A，，

，，排除B，故选C。

4．射线测厚技术原理公式为，其中、分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数。工业上通常用镅()低能射线测量钢板的厚度。若这种射线对钢板的半价层厚度为，钢板的密度为，则钢板对这种射线的吸收系数为(  )。

(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到)

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】由题意可知、、，代入得：，

即，即，故选C。

5．若函数的值域为，则实数的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】等价于的值域能取到内的任意实数，

若，则，可取，

若，则需，，解得，

∴的范围为，故选C。

6．已知的展开式中的常数项为，则的系数为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】的展开式的通项公式为，

∵常数项，∴，∴常数项为，解得，

∵，∴，∴的系数为，故选A。

7．某校举办“中华魂”《爱我中华》主题演讲比赛，聘请名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分。现评委为选手李红的评分从低到高依次为、、…、，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的分别为(  )。

A、；

B、；

C、；

D、；

【答案】D

【解析】根据题意，程序框图求的是，

∴图中判断框空白处应填“”，

由茎叶图知、、、，

∴，故选 D。

8．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，还原几何体如图所示，

故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以为高的直三棱柱的外接球相同，

∵底面底边为，高为，故底面是等腰直角三角形，

可得底面三角形外接圆的半径为，由棱柱高为可得，

外接球半径为，外接球的体积为，故选D。

9．已知单位向量、、，满足。若常数、、的取值集合为，则的最大值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】由条件得，

和的取值只有三种可能，分别为、、，

但二者不可能同时一个取，另一个取，

∴的化简结果只有四种形式：、、、，

而，故所有可能取值只有或两种结果，

∴的最大值为，故选A。

10．互相垂直的直线、(不与坐标轴垂直)过抛物线：的焦点，且分别与抛物线交于点、、、，记、的中点分别为、，则线段的中点的轨迹方程为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】由题意，抛物线：的焦点，

设直线、的方程分别为和，

、、、，

联立得，∴、，

联立得，∴、，

∴、，∴，

∴的轨迹方程为，故选A。

11．已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，，则的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】∵，∴，

∵函数在区间内取得极大值，在区间内取得极小值，

∴在和内各有一个根，，，，

即，在坐标系中画出其表示的区域，，

令，其几何意义为区域中任意一点与点连线的斜率，

分析可得，则，∴的取值范围是，故选D。

12．已知在数列中，，，且当时，，若为数列的前项和，，则当为整数时，(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】当时，，得，又，

∴从第二项开始是首项为，公比为的等比数列，

∴()，∴，

当时，，，不符合题意，

当时，，

∴，

则，由为整数可知是的因数，

∴当且仅当时可取整数，，，故选D。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，则       。

【答案】

【解析】∵

∴，则，∴由正弦二倍角公式得。

14．曲线在处的切线方程为       。

【答案】

【解析】由求导可得，

故在处切线斜率为，∴切线方程为。

15．在三棱锥中，，， ，，，，则异面直线与所成的角的余弦值为        。

【答案】

【解析】如图，由己知条件，将三棱锥补为长方体，

连接、，∵，

∴是异面直线和所成的角，

由已知得，又在中，，

∴，，在中，、，

由余弦定理可得。

16．已知双曲线：(，)的左、右顶点分别为、，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于、两点，连接交轴于点，连接交于点，且，则双曲线的离心率为       。

【答案】

【解析】由双曲线：(，)得：、、，

又过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于、两点，

∴、，如图所示，设，

∵，解得，即，

又直线的方程为，

令得，即，

又由、、三点共线，∴，即，

又∵，整理得，即，∴。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

在中、、分别为角、、所对的边，已知。

(1)求角的大小；

(2)若、，求的面积。

【解析】(1)在中，，

           ∵，∴由正弦定理得：，                 2分

∴，

即，

化简得，                                                 4分

又，∴，∴；                                        6分

(2)在中，由余弦定理得：，                          8分

即，∴，解得(可取)或(舍)，                10分

∴。                                               12分

18．（12分）

年月日，记者走进浙江缙云北山村，调研“中国淘宝村”的真实模样，作为最早追赶电大大潮的中国村庄，地处浙中南偏远山区的北山村，是电商改变乡村、改变农民命运的生动印刻。互联网的通达，让这个曾经的空心村在高峰时期生长出多家网店，网罗住多位村民，销售额达两亿元。一网店经缙云土面，在一个月内，每售出缙云土面可获利元，未售出的缙云土面，每亏损元。根据以往的销售统计，得到一个月内五地市场对缙云土面的需求量的频率分布直方图，如图。该网店为下一个月购进了缙云土面，用(单位：，)表示下一个月五地市场对缙云土面的需求量，(单位：元)表示下一个月该网店经销云土面的利润。

(1)将表示为的函数；

(2)根据直方图估计利润不少于元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，将需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值时的概率(例如，若需求量，则取，且的概率等于需求量落的频率)，求该网店下一个月利润的分布列和期望值。

【解析】(1)由题意可知，当时，，          1分

当时，，                         2分

∴；                                           3分

(2)由得，∴，                            4分

由直方图知需求量的频率为，

∴利润不少于元的概率的估计值为；                               6分

(3)由题意可知，可取、、、，其分布列为：              9分

∴。           12分

19．（12分）

如图所示，在四棱柱中，底面，，，

。

(1)求证：平面；

(2)设为的中点，求二面角的正弦值。

【解析】(1)连接，如图，在中，易得，，

由于，∴，                                          2分

又底面，底面，∴，

又∵，∴平面，                                   4分

又，∴平面；                                        5分

(2)∵、、两两垂直，

∴以为坐标原点，、、所在的直线为、、轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，             6分

则、、，                                7分

设平面的法向量为，

则，即，令，得、，则，  9分

设平面的法向量为，

则，即，

令，得、，则，                               11分

则，

设二面角的平面角为，则。        12分

20．（12分）

已知直线与抛物线：()交于、两点，且点、在轴两侧，其准线与轴的交点为点，当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，。

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若抛物线的焦点为，，且与的面积分别为、，求的最小值。

【解析】(1)当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，直线的方程为，           1分

联立得：，恒成立，                         3分

设、，则，，                      4分

∴，解得，

∴此抛物线的标准方程为；                                         6分

(2)由(1)知抛物线的方程为，设直线：，

∵直线与抛物线相交，∴，                                          7分

联立得，则，，    8分

则，解得或(舍)，                 9分

∴直线：，恒过定点，                                    10分

设，从而、，

则，                         11分

当且仅当时不等式取等号， 故的最小值为。        12分

21．（12分）

已知函数，其中，。

(1)当时，证明不等式恒成立；

(2)若()，证明有且仅有两个零点。

【解析】(1)令，则，                                    1分

当时，，∴在上单调递减，                          3分

∴，即不等式恒成立；                            4分

(2)的定义城为，且，

令，，则在上单调递增，

当时，，∴，                                    6分

，                 7分

故在上有唯一解，从而在上有唯一解，

不妨设为，则，

当时，，∴在上单调递减，

当时， ，∴在上单调递增，

因此是唯一极值点，                                                 8分

∵，∴，即在上有唯一零点，              9分

，

∵，由(1)可知，∴，

即在上有唯一零点，                                           11分

综上，在上有且仅有两个零点。                                  12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标下，曲线的方程是，曲线的参数方程是(为参数)，点是曲线上的动点。

(1)求点到曲线的距离的最大值；

(2)若曲线：交曲线于、两点，求的面积。

【解析】(1)的平面直角坐标方程：，的平面直角坐标方程：，   4分

则的圆心到直线的距离，则；       5分

(2)的平面直角坐标方程：，                                           7分

的圆心到直线的距离，

则，∴。                  10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知()

(1)证明：；

(2)若成立，求的取值范围。

【解析】(1)由得，2分

当且仅当，即时取等号，∴；                             4分

(2)由得，                                             5分

由得，即，                             6分

当时，，恒不成立，                          7分

当时，，有，即，解得，            9分

综上，的取值范围是。                                               10分