高中数学高考黄金卷07（理）（新课标Ⅱ卷）（解析版）

黄金卷07（新课标Ⅱ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数满足，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】∵，∴，故选C。

2．已知集合，，则集合的真子集的个数为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】联立解得或或，

故，

有个元素，则真子集的个数为，故选C。

3．王老师是高三的班主任，为了在新型冠状病毒疫情期间更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成。已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数。则该钉钉群人数的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】设教师人数为，家长人数为，女学生人数为，男学生人数为，、、、，

则，，，则，

又“教师人数的两倍多于男学生人数，

∴，∴，当时，，此时总人数最少为，故选C。

4．已知，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由可得，

∴，∴，

∴，故选D。

5．设曲线()上任意一点处切线斜率为，则函数的部分图像可以为(  )。

A、      B、    C、    D、

【答案】D 

【解析】∵()上任一点处切线率为，

∴，∴，

∴该函数为奇函数，且当时，，故选D。

6．某公司为了调查产品在、、三个城市的营销情况，派甲、乙、丙、丁四人去调研，每人只去一个城市每个城市必须有人去，且甲乙不能去同一个城市，则不同的派遣方法有(  )。

A、种

B、种

C、种

D、种

【答案】D

【解析】人不同组合方案有：

①若甲、乙各自单独为一组，有种，

②若甲与丙、丁之一为一组，有种，

③若乙与丙、丁之一为一组，有种，

故不同的派遣方法有种，故选D。

7．在中，，点满足，若，则的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】取的中点为，连接，则，

∴，

设，则，解得，

∴是等边三角形，∴，故选C。

8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】还原空间几何体如图，

可知该几何体为底面是正三角形的直三棱柱中的一个五面体，

其中为的中点，直三棱柱的高为，底面正三角形的边长为，高为，

故该几何体的体积为，故选C。

9．已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数

()的所有零点之和为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】∵为定义在上的奇函数，先画当时的图像如图，

再围绕原点将的图像旋转得到时的图像，

的零点可以看做与()的图像的交点，

由图像可知交点一共有个，设交点的横坐标从左到右依次为、、、、，

则，，且满足，解得，

∴，故选D。

10．已知双曲线：(，)的左焦点为，过原点的直线与双曲线左、右两支分别交于点、，且满足，虚轴的上端点在圆内，则该双曲线离心率的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】设双曲线的右焦点为连接、，如图所示，

由对称性可知，、关于原点对称，则，

又，∴四边形为平行四边形，

∴，则，∴，

∵虚轴的上端点在圆内，

∴，解得，则，即，

得，∴，故选A。

11．设，若，恒成立，则实数的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】将不等式变形为，

当时，不等式恒成立；

当时，不等式变形为，

记，则，而，

因此在上单调递增，故，∴，故，

∴的取值范围是，故选A。

12．设棱锥的底面是正方形，且，，如果的面积为，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵，，∴平面，

∴面面，记是的中点，从而，

∴平面，，

设球是与平面、平面、平面都相切的球，

由图得截面图及内切圆，

不妨设平面，于是是的内心，

设球的半径为，则，设，∵，

∴，，，

当且仅当，即时等号成立，

∴当时，满足条件的球最大半径为，故选A。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量、为单位向量，，若，则与所成角的余弦值为       。

【答案】

【解析】由数量积公式得，。

14．已知实数、满足约束条件，且目标函数的最大值为，则的取值范围是         。

【答案】

【解析】作图，目标函数改写为，作直线，

目标直线斜率为负，且截距最大时也最大，

则时目标函数过点，目标直线为，

与交于点，则，、，

设，表示点到点的斜率，

其在为正数时范围为，在负值时范围为，又，，

则的取值范围为。

15．抛物线()的焦点为，准线为，、是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是        。

【答案】

【解析】设、，如图所示，根据抛物线的定义，

可知、，

在梯形中，有，

在中，，

又∵，∴，

∴，故的最大值是。

16．在中，角、、的对边分别为、、，，，若，则        ，        。(本题第一空2分，第二空3分)

【答案】   

【解析】由正弦定理得，又由题意可知得，即，

则，即，解得，又，∴，

由余弦定理得，∴；

由得，∵，∴，

∴，，

∴。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

已知数列的前项和为，，，且(，)。

(1)设，求证：数列为等比数列；

(2)求数列的前项和。

【解析】(1)由已知得，即()，                    2分

∴()，                                3分

又∵，且，故数列是首项为、公比为的等比数列；   4分

(2)由(1)知，则，∴，        5分

设，   6分

，   7分

两式相减得：，  9分

解得，                                                  10分

∴数列的前项和。                             12分

18．（12分）

如左图，在边长为的菱形中，，且。将梯形沿直线折起，使平面，如右图，是上的点，。

(1)求证：直线平面；

(2)求平面与平面所成角的余弦值。

【解析】(1)证明：如图，连接，交于点，连接，                              1分

∵、，∴，                               2分

∵，∴，∴，                           3分

∵平面，平面，∴平面；              4分

(2)解：以点为原点，以、、所在直线为、、轴建立空回直角坐标系，

如图所示，且，则，                        5分

又、、，则、，     6分

设平面的法向量为，则，           8分

令，则，，则，                     9分

又平面的法向量为，                                    10分

设平面与平面所成角的平面角为，                           11分

则。                          12分

19．（12分）

某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出着十根对其直径(单位：)进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布。

(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；

(2)如果钢管的直径满足为合格品(合格品的概率精确到)，现要从根该种钢管中任意挑选根，求次品数的分布列和数学期望。

(参考数据：若，则，，

)。

【解析】(1)∵、、、，且，                 1分

∴，         3分

∴此事件为小概率事件，∴该质检员的决定有道理；                             4分

(2)∵、、、，

由题意可知钢管直径满足：为合格品，                       5分

故试钢管为合格品的概率的为，根管中，合格品根，次品根，         6分

任意挑选根，则次品数的可能取值为：、、、，

，，

，，                    10分

则次品数的分布列为：

则次品数的数学期望。   12分

20．（12分）

已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点。

(1)求动点的轨迹方程；

(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程。

【解析】(1)设，，

以为切点的切线为，整理得：，                1分

同理：以为切点的切线为：，                                   2分

联立方程组：，解得，                            3分

设直线的方程为：，

联立方程组得：，                           5分

∴，，∴，∴点的轨迹方程为；  6分

(2)由(1)知：，             8分

又到直线的距离为：，                          9分

∴，                           11分

∴时，取得最小值，此时直线的方程为。                     12分

21．（12分）

已知函数，其中，。

(1)当时，证明不等式恒成立；

(2)若()，证明有且仅有两个零点。

【解析】(1)令，则，                                    1分

当时，，∴在上单调递减，                          3分

∴，即不等式恒成立；                            4分

(2)的定义城为，且，

令，，则在上单调递增，

当时，，∴，                                    6分

，                 7分

故在上有唯一解，从而在上有唯一解，

不妨设为，则，

当时，，∴在上单调递减，

当时， ，∴在上单调递增，

因此是唯一极值点，                                                 8分

∵，∴，即在上有唯一零点，              9分

，

∵，由(1)可知，∴，

即在上有唯一零点，                                           11分

综上，在上有且仅有两个零点。                                  12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为。

(1)写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

(2)已知点、，直线过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值。

【解析】(1)由直线的参数方程消去，

得到直线的普通方程为：，                        2分

由得，

∴曲线的直角坐标方程为，                                       4分

(2)由题意可知直线必过点，∴，∴，       5分

∴直线的参数方程为(为参数)，                                   6分

代入中得：，

设、、点所对应的参数分别为、、，                              8分

∴，∴。                                        10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数。

(1)当时，解不等式；

(2)若存在，使得不等式的解集非空，求的取值范围。

【解析】(1)当时，函数，解不等式转化为：

，即，                                        2分

∴，解得，

∴不等式的解为；                                            4分

(2)由得，

设，

则不等式的解集非空，等价于，                                     6分

由得，

由题意知存在，使得上式成立，                                     8分

而函数在上的最大值为，

∴，即的取值范围是。                                      10分