高中数学高考黄金卷07（文）（新课标Ⅰ卷）（解析版）

黄金卷07（新课标Ⅰ卷）

文科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵，∴，解得或，

故，则，故选A。

2．已知()，则复数(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】∵且，则，，

∴，故选C。

3．函数的大致图像是(  )。

A、     B、    C、   D、

【答案】C

【解析】的定义域为，为奇函数，为偶函数，

∴为奇函数，排除D，，排除A，，

，，排除B，故选C。

4．执行如图所示的程序框图，输出的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】根据程序框图可知：

5．如图所示，三棱锥中，，，，，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】正视图面积为，

侧视图面积为，

则面积之和为，故选C。

6．若函数的值域为，则实数的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】等价于的值域能取到内的任意实数，

若，则，可取，若，则需，，解得，

∴的范围为，故选C。

7．设实数、满足约束条件，则上的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】画可行域如图，表示点与点的连线的斜率，

又、、，

则，，故选D。

8．近年来，黄金周给百姓的生活带来了巨大变化。不断增长的旅游需求，日益完善的旅游市场和四通八达的交通出行，让人们对黄金周热情不改。而随着社会老龄化程度的不断加深，老人出游人数也越来越多。据全国老龄办统计，国内游总人次中有两成是老年人。某旅行社在十一期间接待了大量的老年旅行团，旅行团人数的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下(阴影部分为损坏数据)，估算该旅行社团的平均人数和频率分布直方图中的矩形的高分别为(  )。

A、，

B、，

C、，

D、，

【答案】A

【解析】由茎叶图得，旅行团人数在的频数为，

由频率分布直方图可得，人数在的频率为，

可得旅行团总数为，则旅行团人数在的频率为，

在频率分布直方图中对应的高为，可得频率分布表如下：

∴平均人数为，故选A。

9．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】设直线：的参数方程为(为参数)，

∵圆：的两条切线分别为、，切点分别为、，

∴，，则点、在以为直径的圆上，设这个圆为圆，

即是圆与圆的公共弦，则圆心的坐标是，

且半径的平方是，

∴圆的方程是，

则公共弦所在的直线方程为：，即，

则，得，，∴直线经过定点，故选B。

10．关于函数有下述四个结论：①是偶函数：②是周期为的函数；③在区间上单调递减；④的最大值为。其中正确结论的编号为(  )。

A、①②③

B、①②④

C、①③④

D、②③④

【答案】A

【解析】函数的定义域为，由，

∴是偶函数，①正确，

，

∴是周期为的函数，②正确，

当时，，

则在区间上单调递减，③正确，

当时，，

当时，，

又由②知是周期为的函数，∴的值域为，④正确，

故选A。

11．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点、、、在同一个球面上，则该球的表面积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】如图分别取，的中点、，连，

则容易算得，，，，

由图形的对称性可知球心必在的延长线上，

设球心为，半径为，，

则由题设可得，

解之得，则，∴球的表面积，故选C。

12．设函数的零点为、、…，表示不超过的最大整数，有下述四个结论：①函数在上单调递增；②函数与有相同零点；③函数有且仅有一个零点，且；④函数有且仅有两个零点，且。其中所有正确结论的个数是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，当时，，

∴函数在上单调递增，故①正确，

显然不是零点，令，

则在上，与有相同零点，故②正确，

在上，，

∴在上单调递增，在上也单调递增，

而、，∴存在，使，

又、，∴存在的，使，

∴在上只有两个零点、，也即在上只有两个零点到、，

且，故③错误、④正确，正确的命题有个，故选C。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知与均为单位向量，且，则与的夹角是        。

【答案】

【解析】∵与是单位向量，∴，设向量、的夹角为，

∵，∴，即，

∴，又，∴。

14．设椭圆：的左，右焦点分别为、，点在椭圆上，目满足，则的面积为         。

【答案】

【解析】∵，，∴，，

又，∴，

∴是直角三角形，∴。

15．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程恰好有个不同的实数根，那么的值为        。

【答案】

【解析】做图像如图，令，则原方程可化为，

根据图像可知，原方程恰好有个不同的实数根，

只需有两个不等的实数根、，

由韦达定理得，，解得，，于是。

16．在中，内角、、所对的边分别为、、，且点是的中点，若，

 ，则面积的最大值是        。

【答案】

【解析】如图，设，则，

在和中，分别由余定理可得：

，，

两式相加整理得，

∴①，

由及正弦定理得，

整理得②，由余弦定理的推论可得：，

∴，把①代入②整理得：，又，

当且仅当时等号成立，∴，即，

∴，即面积的最大值是。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

如图所示，四棱柱中，底面为菱形，底面，为的中点。

(1)证明：平面平面；

(2)若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积。

【解析】(1)证明：连接，设与的交点为，连接，                           1分

∵为的中点，为的中点，                                  2分

∴，则平面，                                     3分

又∵平面，∴平面平面；                       4分

(2)解：连接、、，设交于点，                             5分

由题意可知四边形为正方形，且，则，         7分

∴平面，∴，                                      8分

又∵，∴平面，

∴，∴菱形为正方形，                                  10分

∴点到平面的距离为，∴。 12分

18．（12分）

年月日上午，辽宁省省委、省政府在沈阳召开辽宁省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程。某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品。如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，如表是设备改造后的样本的频数分布表。

设备改造后样本的频数分布表

(1)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；

(2)根据上图和上表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；

(3)根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利元，一件不合格品亏损元，用频率估计概率，则生产件产品企业大约能获利多少元？

附：

【解析】(1)根据上图和上表可得列联表：

将列联表中的数据代入公式计算得：，  4分

∵，

∴有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；        6分

(2)根据上图和上表可知，设备改造后产品为合格品的概率约为，           7分

设备改造前产品为合格品的概率约为，                               8分

即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好；                         9分

(3)用频率估计概率，件产品中大约有件合格品，件不合格品，           10分

则获利约为，                                    11分

因此，该企业大约能获利元。                                         12分

19．（12分）

已知数列的前项和为，，，且(，)。

(1)设，求证：数列为等比数列；

(2)求数列的前项和。

【解析】(1)由已知得，即()，                    2分

∴()，                                3分

又∵，且，故数列是首项为、公比为的等比数列；   4分

(2)由(1)知，则，∴，        5分

设，   6分

，   7分

两式相减得：，  9分

解得，                                                  10分

∴数列的前项和。                             12分

20．（12分）

已知椭圆：()，椭圆短轴的端点、与椭圆的左、右焦点、构成边长为的菱形，是经过椭圆右焦点的椭圆的任意一条弦，点是椭圆上一点，且(为坐标原点)。

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求的最小值。

【解析】(1)∵椭圆短轴的端点、与椭圆的左、右焦点、构成边长为的菱形，

∴，                                                                  1分

又∵椭圆的右焦点，∴，∴，                        2分

∴椭圆的标准方程为；                                          3分

(2)①当轴时，，，此时，        4分

②当不垂直于轴且斜率不为时，设直线的方程为()，

联立并化简得，恒成立，  5分

设、，则，，

∴，                          6分

∵，∴直线的方程为，

联立可解出，，∴， 7分

∴

，                  8分

令，∵且，∴，

∴，                9分

∴当时，取最小值，且，          10分

③当的斜率为时，，，此时，      11分

由①②③可知，。                                    12分

21．（12分）

已知函数。

(1)讨论的单调性；

(2)求证：当时 ，对都有。

【解析】(1)∵，其定义域为，∴，，     1分

当时，即时，恒成立，∴在上单调递增，             2分

当时，即时，

有两个根为、，，                3分

∴当和时，，单调递增，  4分

当时，，单调递减；                5分

(2)由(1)知，当时，，在上单调递增，

∵对有，

不妨设，∵在上单调递增，∴，

则原式可以转化为，                          7分

即有，即证，

设，，                                        9分

则，，

当时，单调递增，，

∵，∴，                                               10分

当时，单调递增，

∴，即，

同理可证，即，

则原不等式得证。                                                          12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为。

(1)写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

(2)已知点、，直线过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值。

【解析】(1)由直线的参数方程消去，

得到直线的普通方程为：，                        2分

由得，

∴曲线的直角坐标方程为，                                       4分

(2)由题意可知直线必过点，∴，∴，       5分

∴直线的参数方程为(为参数)，                                   6分

代入中得：，

设、、点所对应的参数分别为、、，                              8分

∴，∴。                                        10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数，。

(1)当时，求不等式的解集；

(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围。

【解析】(1)当时，，                            2分

不等式等价于或或，                    4分

解得或，不等式解集为；                            5分

(2)当时，不等式等价于，                7分

整理得，记，则，解得。         10分