高中数学高考黄金卷07（文）（新课标Ⅱ卷）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷07（文）（新课标Ⅱ卷）（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】，故选A。
2．已知集合，，若，则实数的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】∵，又，∴，
又，∴、是方程的两个根，∴，故选A。
3．已知实数、满足约束条件，则的最小值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】画可行域可知如图，令，则，作出直线并平移，
分析可知当平移后的直线经过点时取得最小值，
联立解得，则，
∴的最小值为，故选A。
4．《九章算术》的“开立圆术”中，“立圆”的意思是“球体”，古称“丸”，而“并立圆术”即求已知体积的球体的直径的方法：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”其意思为：“把球体体积先乘再除以，然后再把得数开立方，所得即为所求球体直径的近似值。”则当球体体积为时，球半径的近似值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】由题意可得，，则。
5．函数的图像大致为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴，
∴，∴是奇函数，故排除CD，
又，故排除B，故选A。
6．已知双曲线：(，)的一个焦点坐标为，且两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程为( )。
A、或
B、或
C、或
D、或
【答案】D
【解析】两条渐近线的夹角为，∴或，又，，
解得或，∴双曲线的标准方程为或，故选D。
7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】当时，
当时，
当时，
则周期为，当时输出，此时，故选C。
8．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，
还原几何体如图所示，故该四棱锥的外接球，
与以俯视图为底面，以为高的直三棱柱的外接球相同，
∵底面底边为，高为，故底面是等腰直角三角形，
可得底面三角形外接圆的半径为，
由棱柱高为可得，外接球半径为，
外接球的体积为，故选D。
9．已知数列的通项公式为()，其前项和为，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】对，
，
∴，故选A。
10．已知某曲线上一动点到点与到直线的距离相等，经过点的直线与该曲线交于、两点，且点恰为的中点，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】平面内与一个定点和一条定直线：的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，
定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，
∵焦点在轴正半轴上，设抛物线方程为，焦点坐标，
则，∴，则，
分别过、、向准线：做垂线，
垂足分别为、、，
连接、，则，
又根据梯形中位线定理可知：，
又，则，选D。
11．在正三棱锥中，，为底面的中心，以为直径的球分别与侧棱、、交于、、，若球的表面积为，则的面积等于( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】为正三角形，则，
，球的表面积为，
则球的半径，则，
则在中，=，则角，
在中，，，
在中，，，
则，又，
则，故选A。
12．已知函数()的图像与函数的图像关于直线对称，设定义在的函数的导函数满足，且，则当时，满足( )。
A、有极大值，无极小值
B、有极小值，无极大值
C、既无极大值，也无极小值
D、既有极大值，也有极小值
【答案】C
【解析】，则()，，
则，，，
设，
则，
即，令，则，，
则为的极小值也是最小值，
则，∴，
∴既无极小值，也无极大值，故选C。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量、的夹角为，且、，则 。
【答案】
【解析】。
14．曲线在处的切线方程为 。
【答案】
【解析】由求导可得，
故在处切线斜率为，∴切线方程为。
15．已知函数(，)与函数的部分图像如图所示，且函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到，则 ，函数在区间上的值域为 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）
【答案】
【解析】由题意可知将函数的图像上的点向右平移个单位长度，
可得的图像在五点法做图时的第一个点，坐标为，即，
由的部分图像可知五点法做图时的第三个点坐标为，
则，解得，∴，由得，
则当，时，，
当，时，，
故函数在区间的值域为。
16．已知数列的前项和与满足：当时，、、成等比数列，且，则 。
【答案】
【解析】∵当时，、、成等比数列，∴，
又∵当时，∴，
则，∴，数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴，即，
当时，经检验时不合符，
则。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）
在中、、分别为角、、所对的边，已知。
(1)求角的大小；
(2)若、，求的面积。
【解析】(1)在中，，
∵，∴由正弦定理得：， 2分
∴，
即，
化简得， 4分
又，∴，∴； 6分
(2)在中，由余弦定理得：， 8分
即，∴，解得(可取)或(舍)， 10分
∴。 12分
18．（12分）
如图所示，平面分别与空间四边形中的、、、交于、、、，且平面，平面，，，。
(1)求证为矩形；
(2)点在什么位置时，最大？
【解析】(1)∵平面，平面平面，平面平面，
∴，，∴，同理可证， 3分
∴四边形为平行四边形，
又∵，∴ ，∴四边形矩形； 5分
(2)设，， 则，， 7分
∴，， 8分
∴， 11分
∴当时，。 12分
19．（12分）
某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段、、、、、进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如图)。
(1)体育成绩大于或等于分的学生常被称为“体育良好”。已知该校高一年级有名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；
(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取人，求在抽取的名学生中，至少有人体育成绩在的概率；
(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为、、，且分别在、、三组中，其中、、。当数据、、的方差最大时，写出、、的值。(结论不要求证明)
(注：，其中为数据、…的平均数)
【解析】(1)由折线图知，样本中体育成绩大于或等于分的学生有人，
∴该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为人； 3分
(2)设“至少有人体育成绩在”为事件，
记体育成绩在的学生为、，体育成绩在的学生为、、，5分
则从这两组学生中随机抽取人，所有可能结果如下：
、、、、、、、
、、共种， 6分
而事件所包含的结果有：、、、、
、、共7种， 7分
∴事件发生的概率为； 9分
(3)、、的值分别是为、、。 12分
20．（12分）
已知直线与抛物线：()交于、两点，且点、在轴两侧，其准线与轴的交点为点，当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，。
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若抛物线的焦点为，，且与的面积分别为、，求的最小值。
【解析】(1)当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，直线的方程为， 1分
联立得：，恒成立， 3分
设、，则，， 4分
∴，解得，
∴此抛物线的标准方程为； 6分
(2)由(1)知抛物线的方程为，设直线：，
∵直线与抛物线相交，∴， 7分
联立得，则，， 8分
则，解得或(舍)， 9分
∴直线：，恒过定点， 10分
设，从而、，
则， 11分
当且仅当时不等式取等号， 故的最小值为。 12分
21．（12分）
已知函数(且)。
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点、()，且，证明：。
【解析】(1)的定义域为，， 1分
当时，恒成立，则在上单调递减， 2分
当时，令，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增； 4分
(2)由(1)知，，，
依题意可知，解得，
由得：()，
，，
由及得，即， 6分
欲证，只要，注意到在上单调递减，且，
只要证明即可，由得， 7分
∴

，， 9分
令，， 10分
则，则在上是递增的， 11分
于是，即，综上。 12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线过点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系，曲线的极坐标方程为。
(1)求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
(2)直线和曲线交于、两点，求的值。
【解析】(1)∵直线的倾斜角为，过点，∴直线的参数方程是(为参数)，2分
将代入到得，
∴曲线的直角坐标方程为； 4分
(2)将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程得：， 5分
设、两点对应的参数为、，则、， 7分
则。 10分
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，。
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围。
【解析】(1)当时，， 2分
不等式等价于或或， 4分
解得或，不等式解集为； 5分
(2)当时，不等式等价于， 7分
整理得，记，则，解得。 10分