高中数学高考解密02 三角恒等变换与解三角形（讲义）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版)

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核心考点一 三角恒等变换
三角函数公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β；
cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β；
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcs α，cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)辅助角公式：asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
1.【2018新课标2理10文11】已知，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，．
，又，，又，，故选B．
2.【2018新课标2理15】已知，，则__________．
【答案】
【解析】，，，，，
因此．
1.已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β等于( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
【答案】C
【解析】 因为α，β均为锐角，所以－eq \f(π,2)A，所以b>a，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2\r(2)，,b＝4，))所以CD＝eq \r(2).
在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD·cs C＝16＋2－2×4×eq \r(2)cs eq \f(3π,4)＝26，所以AD＝eq \r(26).
若选择条件②：cs B＝eq \f(2\r(5),5).
因为cs B＝eq \f(2\r(5),5)，B∈(0，π)，所以sin B＝eq \f(\r(5),5).
因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋sin Ccs B＝eq \f(\r(10),10)，
所以结合正弦定理eq \f(c,sin C)＝eq \f(a,sin A)，得a＝eq \f(csin A,sin C)＝2eq \r(2).
在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cs B＝(2eq \r(10))2＋(eq \r(2))2－2×2eq \r(10)×eq \r(2)×eq \f(2\r(5),5)＝26，解得AD＝eq \r(26).
4.在①3c2＝16S＋3(b2－a2)，②5bcs C＋4c＝5a，两个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知________.
(1)求tan B的值；(2)若S＝42，a＝10，求b的值.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【解析】选择条件①：(1)由题意得8acsin B＝3(a2＋c2－b2)，
即4sin B＝3·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，整理可得3cs B－4sin B＝0.
又sin B>0，所以cs B>0，所以tan B＝eq \f(sin B,cs B)＝eq \f(3,4).
(2)由tan B＝eq \f(3,4)，得sin B＝eq \f(3,5).
又S＝42，a＝10，
所以S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×10c×eq \f(3,5)＝42，解得c＝14.
将S＝42，a＝10，c＝14代入3c2＝16S＋3(b2－a2)，
得3×142＝16×42＋3(b2－102)，解得b＝6eq \r(2).
选择条件②：(1)已知5bcs C＋4c＝5a，
由正弦定理，得5sin Bcs C＋4sin C＝5sin A，
即5sin Bcs C＋4sin C＝5sin(B＋C)，
即sin C(4－5cs B)＝0.
在△ABC中，因为sin C≠0，所以cs B＝eq \f(4,5).
所以sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(3,5)，所以tan B＝eq \f(3,4).
(2)由S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×10c×eq \f(3,5)＝42，解得c＝14.
又a＝10，所以b2＝100＋196－2×140×eq \f(4,5)＝72，所以b＝6eq \r(2).
核心考点三 解三角形与三角函数的综合问题
1.【2018天津卷】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6))).
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，可得bsin A＝asin B.
又由bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，得asin B＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，
即sin B＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，所以tan B＝eq \r(3).
又因为B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3).
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq \f(π,3)，
得b2＝a2＋c2－2accs B＝7，故b＝eq \r(7).
由bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，可得sin A＝eq \f(\r(21),7) .
因为a