高中数学高考解密03 等差数列与等比数列（讲义）-【高频考点解密】2021年高考数学二轮复习讲义+分层训练（原卷版)

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核心考点一 等差(比)数列的基本运算
1.等差数列
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)求和公式：Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d；
2.等比数列
(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；
(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q)；
1.【2017新课标1理4】记为等差数列的前项和，若，，则的公差为（ ）
A．1B．2C．4 D．8
2.【2019新课标3文6理5】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则( )
A. 16 B. 8C. 4D. 2
3.【2020新课标2文14】记为等差数列的前n项和．若，则__________．
4．【2019新课标1理14】记为等比数列的前n项和．若，则____________．
1.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于( )
A．－2 B．－1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
2.已知等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
A.n(n－2) B.n(n－1)
C.n(n＋1) D.n(n＋2)
3.(2019·北京卷)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.
核心考点二 等差(比)数列的性质
1.等差数列常用性质：
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
②an＝am＋(n－m)d；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列.
2.等比数列常用性质：
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；
②an＝am·qn－m；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列.
1.【2020新高考全国14】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和为________．
2.【2020新课标2理4】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
1.在数列{an}中，2an＋1＝an＋an＋2，且an≠0.若an－1－aeq \\al(2,n)＋an＋1＝0(n≥2)，且S2n－1＝38，则n＝( )
A.38 B.20 C.10 D.9
2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为( )
A.25 B.20 C.15 D.10
3.已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则
lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a7＝________.
核心考点三 等差(比)数列的判断与证明
证明数列{an}是等差（比）数列的方法：
(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：
①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；
②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．
(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法：
①利用定义，证明eq \f(an＋1,an)(n∈N*)为一常数；
②利用等比中项，即证明aeq \\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)．
1. 【2017新课标1文17】记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.
2.【2019新课标2理19】已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
1.已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝eq \f(1,2)(3an－1－bn－1)，bn＝－eq \f(1,2)(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.
(1)求证：数列{an－bn}为等比数列；
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2n,anan＋1)))的前n项和Tn.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an>0，Seq \\al(2,n)＝aeq \\al(2,n＋1)－λSn＋1，其中λ为常数.
(1)证明：Sn＋1＝2Sn＋λ；
(2)是否存在实数λ，使得数列{an}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.
核心考点四 等差数列与等比数列的综合问题
1.【2020新高考全国18】已知公比大于的等比数列满足：．
（1）求的通项公式；
（2）【全国Ι卷】记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
（2）【全国Ⅱ卷】求.
1.已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式an与其前n项和Sn；
(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使得对任意n∈N*，总有Sn读高考设问知考法
命题解读
等差(比)数列的基本运算
【2017新课标1理4】记为等差数列的前项和，若，，则的公差为（ ）
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.
2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．
【2020新课标2文14】记为等差数列的前n项和．若，则________．
【2019新课标3文6理5】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则( )
【2019新课标1理14】记为等比数列的前n项和．若，则_________．
等差(比)数列的性质
【2020新课标1文10】设是等比数列，且，，则（ ）
【2020新课标2理4】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
【2020新高考全国14】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和为________．
等差(比)数列的判断与证明
【2019新课标2理19】已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，
4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
【2017新课标1文17】记为等比数列的前项和，已知．（1）求的通项公式； （2）求，并判断，，成等差数列．
等差数列与等比数列的综合问题
【2020新高考全国卷18】已知公比大于的等比数列满足：．（1）求的通项公式；
（2）【全国Ι卷】记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
（2）【全国Ⅱ卷】求.