高考数学真题与模拟训练汇编专题23 抛物线(教师版)

这是一份高考数学真题与模拟训练汇编专题23 抛物线(教师版)，共15页。试卷主要包含了抛物线C的顶点为坐标原点O等内容，欢迎下载使用。
专题23 抛物线第一部分 真题分类1．（2021·全国高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.2．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）．A．经过点 B．经过点C．平行于直线 D．垂直于直线【答案】B【解析】如图所示：．因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.故选：B.3．（2019·全国高考真题（文））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A．2 B．3C．4 D．8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．4．（2021·北京高考真题）已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．【答案】5        【解析】因为抛物线的方程为，故且.因为，，解得，故，所以，故答案为：5，.5．（2021·全国高考真题（文））抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析【解析】（1）依题意设抛物线，，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为；（2）设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.6．（2021·浙江高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.（2）设，，，所以直线，由题设可得且.由可得，故，因为，故，故.又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，则且，故，故即，解得或或.故直线在轴上的截距的范围为或或.7．（2020·浙江高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；（Ⅱ）设，由，，由在抛物线上，所以，又，，， .由即，所以，，，所以，的最大值为，此时.法2：设直线，.将直线的方程代入椭圆得：，所以点的纵坐标为.将直线的方程代入抛物线得：，所以，解得，因此，由解得，所以当时，取到最大值为.8．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)见解析.【解析】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程为：，其准线方程为：.(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.故：.设，则，直线的方程为，与联立可得：，同理可得，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：，，则圆的方程为：，令整理可得：，解得：，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.第二部分 模拟训练1．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点，．若，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，，设，，则，，因为，且，，三点共线，则由可得，所以，即，解得或（舍），所以.设直线的方程为，与抛物线方程联立，得，消去得，则，所以.则.所以.故选：D.2．已知抛物线的焦点为，若点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】A【解析】根据抛物线的定义，得到，解得，即点到轴的距离为2.故选：A.3．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于、两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则此时的面积为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由抛物线定义得：，由为正三角形知，直线的倾斜角为60°，，故，，直线的方程为，抛物线方程为：，联立，得：，所以点的坐标为，所以.故选：A.3．已知以圆：的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为的圆心所以以为焦点的抛物线方程为，由，解得，抛物线的焦点为，准线方程为，如图，即有，当且仅当在之间）三点共线，可得最大值，故选：A4．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上两点，，且，则的斜率不可能是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为为抛物线的焦点，所以，又，即为等腰三角形，所以，又点在抛物线上，所以，则，即，所以由抛物线的焦半径公式可得：，又，所以，即，所以，则，即，所以；当，时，的斜率为；当，时，的斜率为；当，时，的斜率为；当，时，的斜率为；故ABC都能取到，D不能取到.故选：D.5．已知，为的两个顶点，点在抛物线上，且到焦点的距离为13，则的面积为（    ）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】A【解析】解:因为点在抛物线上,设，抛物线的准线方程为，根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.由，得，所以.故选:A 6．若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数满足的条件是__________.【答案】【解析】抛物线的准线为，当时，表示椭圆在轴上方部分以及左右顶点所以，若与曲线只有一个交点，则，解得，当时，表示双曲线的在轴上方部分即上支，此时，此时满足与曲线只有一个交点，所以，综上所述：实数满足的条件是或，故答案为：7．过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，其中点，且，则__________.【答案】【解析】因为抛物线的准线为，点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为.设，由点在抛物线上，可得，由抛物线的对称性不妨设，又，所以直线的斜率，所以直线的方程为，代入抛物线方程得，所以，所以.故答案为：.8．已知抛物线：上的点到的焦点的距离为10，点在直线上的射影为，点关于轴的对称点为，则四边形的周长为______．【答案】32【解析】由抛物线的方程可知，焦点，直线为抛物线的准线，所以，四边形为直角梯形．因为，所以根据抛物线的定义，得，过点作轴于点，则．在中，由勾股定理得，所以，所以四边形的周长为．故答案为：32.9．已知双曲线的一条渐近线方程为，且一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程为__．【答案】【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，，①抛物线的准线方程为，该双曲线一个焦点在抛物线的准线上，，而，，②由①②，得，，双曲线的方程为．故答案为：．10．已知抛物线的焦点为F，点为抛物线C上一点，且，过点作抛物线C的切线AN（斜率不为0），设切点为N．（1）求抛物线C的标准方程；（2）求证：以FN为直径的圆过点A．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）因为为抛物线上一点，所以的长等于到抛物线准线的距离，即，解得，所以抛物线C的标准方程为：．（2）直线斜率不存在时，直线不是抛物线的切线，所以可设切线AN的方程为：， ，联立直线与抛物线方程得，消去y可得，因为直线与抛物线相切，∴，解得．，所以切点，，，∴，，∴．∴，以FN为直径的圆过点A．11．已知动点到直线的距离比到点的距离大.（1）求动点所在的曲线的方程；（2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析，定值；（3）证明见解析.【解析】（1）已知动点到直线的距离比到点的距离大，等价于动点到直线的距离和到点的距离相等，由抛物线的定义可得曲线的轨迹时以为焦点，以直线为准线的方程，且，所以曲线的方程为.（2）设直线的斜率为，因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，所以直线的斜率为，则，联立方程组，整理得，即，可得联立方程组，整理得，即，可得所以，即直线的斜率为定值.（3）设直线的斜率为，所以直线的斜率为，则，两类方程组，整理得，即，可得，联立方程组，可得，即，可得所以，所以，整理得所以直线恒过.