新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第5讲向量与解析几何(教师版)

第5讲  向量与解析几何

一、问题综述

本讲研究向量问题与解析几何交叉问题，具体如下：

1.利用向量线性的关系，将几何问题代数化；

2.利用向量垂直的充要条件，巧妙化解几何中的垂直问题；

3.利用向量夹角，合理处理解析几何中的角度问题；

4.利用数量积坐标形式、投影解决几何问题. 

二、典例分析

类型一：利用向量线性的关系，几何问题代数化

【例1】过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，若，则的值为(　　)

A.　　　            B.                 C.                   D.

【答案】B

【解析】根据题意设，由，，即

设直线的方程为联立直线与抛物线方程，消元得

故即

【例2】（2018年浙江高考17题）已知点，椭圆上两点满足，则

当            时，点横坐标的绝对值最大.

【答案】

【解析】若直线的斜率不存在，那么，不是最大值；

设直线，

，.

由知，所以.

因此，当且仅当，即时取等号.

解法2：设则，

，又均在椭圆上，则

.

而，则当时，取得最大值为4.

【例3】（2018学年金丽衢十二校第二次联考17）过点的直线与椭圆交于点和，且

，点满足.若为坐标原点，则的最小值为          .

【答案】.

【解析】解法1：常规处理（运算量偏大）

情形一：直线斜率存在时，设直线为，

联立：

由于点在椭圆内部，显然；

由韦达定理有：

联立

.

处理1：（柯西不等式求最值）

.

处理2：（几何意义求最值）

情形二：当直线斜率不存在时，直线方程为，此时.

综上所述.

解法2：定比点差（运算量较小）

设点，

（*）

，

代入（*）式有.

所以的轨迹方程为直线.

注：背景解读：

过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足，则点在直线上.

证明方法：定比点差法.

类型二：利用向量垂直的充要条件，巧妙化解几何中的垂直问题

【必要储备】两个非零向量垂直的充要条件是，如，，

则．

【例4】（2017届广西武鸣县高中高三月考）已知椭圆的左顶点为，是椭圆上

异于点的任意一点，点与点关于点对称．

（1）若点的坐标为，求的值；

（2）若椭圆上存在点，使得以线段为直径的圆过原点，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）依题意，是线段的中点，因为，，所以点的坐标为 .

由点在椭圆上，所以，解得.

（2）设则且

又，以线段为直径的圆过原点，则OP⊥OM，即，

所以=

由①②得：，所以.

【例5】（江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试）设点是圆上任意一点，点是点

在轴上的投影，动点满足.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设点，若直线与轨迹相切于点，且与直线相交于点，求证：以为直径的圆经过定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）设，

由已知得，因为点在圆上，所以＝4，即.

所以点的轨迹方程为.

（2）证明：由 得，

如图，设点的坐标为，依题意，且，则

，整理得.

此时 所以，

由，解得 即.

由，，

，故.

所以为直径的圆过定点.

类型三：利用向量夹角，合理处理解析几何中的角度问题

【例6】（河北省唐山市2018届高三上学期期末）已知为抛物线的焦点，过点作两条互

相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为.

（1）求的取值范围；

（2）设线段的中点分别为点，求证：为钝角.

【解析】（1）由题可知设直线的方程为.

由，则或.

设直线的方程为，由，同理得或.

又或，即或

（2）设，由方程得

即，

，

而，所以与不共线.

故为钝角.

类型四：利用数量积坐标形式、投影解决几何问题

【例7】（2017浙江高考21题）如图，已知抛物线， 点，抛物线上的点

，过点作直线的垂线，垂足为.

（1）求直线斜率的取值范围；

（2）求的最大值.

【解析】（2）投影法，

而代入得：  .

令，则.

所以在上单调递增，在上单调递减；

所以当时，的最大值.

注：也可将目标式转化为：，

，也可，可谓殊途同归！

【例8】(宁波市2018.02高三期末试卷）已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一

点作次抛物线的切线，为切点，且.

（1）求证：直线过定点；

（2）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.

【解析】（1）设直线的方程为设，

以为切点的切线方程分别为

由

这两条切线的斜率分别为

所以直线恒过定点

   （2）设

当时，则，可得；

       当时，则，可得

       所以，

      令

      所以在上为减函数，在上为增函数.

      所以

注：也可以由三元均值得

三、巩固练习

1.（湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试）已知椭圆，若直线经过，与椭

圆交于两点，且，则直线的方程为

A.       B.       C.       D.

2.（2017江苏13）在平面直角坐标系中，点，，点在圆上．若，

则点的横坐标的取值范围是              ．

3.（2014年浙江文22）已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为

的中点，.

（1）若，求点的坐标；

（2）求面积的最大值.

4.（广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测）已知椭圆的离心率为，且过点.

若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积.

5.已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切.

（1）求直线被圆所截得的弦的长；

（2）过点作两条与圆相切的直线，切点分别为，求直线的方程；

（3）若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，若为钝角，求直线纵截距的取值范围．

6.（2017课标II，理）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点

满足.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点

7.已知抛物线：经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交

轴于，直线交轴于.

（1）求直线的斜率的取值范围；

（2）设为原点，，，求证为定值.

8.（2018学年宁波市第一学期期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，抛物线在、

处的切线交于．

（1）求证：；

（2）设，当时，求的面积的最小值．

四、巩固练习参考答案

1.【答案】B

【解析】设直线斜率为， ， ，

由与联立可得 ，则，解得，故选B.

2.【答案】

【解析】不妨设，则，且易知．

..

故．所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）.

联立，得，，如图所示，结合图形知．

3.【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）由题意知焦点为，准线方程为，设，

由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，

所以或，由得或.

（2）设直线的方程为，，，，

由得，于是，

所以，，所以的中点，

由，所以，

所以，因为，

所以，由，，所以，

又因为，点到直线的距离为，

所以，

记，，令解得，.

所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

又，所以当时 ，取得最大值，此时，

所以的面积的最大值为.

4.【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由，得， 又， 椭圆，

 因点在上，，得， ，

 所以椭圆的方程为：.

（2）设，则，

  由以为直径的圆经过坐标原点，得，即   （1）

 由，消除整理得：，

 由，得，

 而  （2）

     （3）

 将（2）（3）代入（1）得：，即，

 又，

 原点到直线的距离，

 把代入上式得，即的面积是为

5.【解析】（1）由题意得圆心到直线的距离等于半径，

圆C的标准方程:所以圆心到直线的距离

（2）因为点，所以，

所以以点为圆心，线段长为半径的圆方程： （1）

又圆方程为： （2），由得直线方程：   

（3）设直线的方程为：联立得：，

设直线与圆的交点，

由，得， （3）  

因为为钝角，所以，

即满足，且与不是反向共线，

又，所以

由（3）（4）得，满足，即，      

当与反向共线时，直线过原点，此时，不满足题意，

故直线纵截距的取值范围是，且.       

6.【解析】（1）设，设， .

由得因为在上，所以.

因此点的轨迹方程为.

（2）由题意知.设，则

，.

由得，

又由知，故.所以，即.

又过点存在唯一直线垂直于，所以过点且垂直于的直线过的左焦点.

7.【解析】（1）由已知可得，所以抛物线的方程为，

令，，直线显然不能与轴垂直，令其方程为，

代入整理得，即，

所以由已知可得解得且，所以直线的斜率的取值范围为.

（2） 由（1）知，，而点，均在抛物线上，所以，.

因为直线与直线与轴相交，则直线与直线的斜率均存在，即，，

因为，所以直线的方程为.

令，可得，即，同理可得，

而由可得，，所以；

同理由可得，，所以，

所以=

.

8.【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】（1）设，，把抛物线看成函数求导得，

     则：即，：.

     解得，所以，所以．

     设：与抛物线联立得：，所以，，

     从而，所以，所以；

（2）由（1）得，，，，

     因为，所以，，所以，

     ，所以

     ，因为，所以点到直线的    

     距离，所以，

     令，则有，所以.