新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第16讲定点问题(教师版)

第16讲  定点问题

一．问题综述

定点问题是常见的出题形式，解决这类问题的关键是引入变量表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

1、解决直线过定点问题的基本步骤：（1）设出直线，（2）借助韦达定理和已知条件找出与的一次函数关系式，（3）代入直线方程，得出定点。

2、处理定点问题的技巧：（1）引进参数法，设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或者曲线系方程，而该方程与参数无关，得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点，即所求的定点。（2）特殊到一般法。从特殊位置入手，找到定点，再证明该定点与变量无关。

3、其中共线问题是解析几何中常见问题之一，解决此类问题常利用向量共线定理，可以从两方面入手（1）共线向量坐标交叉相乘相等（2）直线上任意两点的向量存在倍数关系

下面总结圆锥曲线中几种常见的定点模型．

二．典例分析

类型1：“手电筒”模型

手电筒模型：限定AP与BP条件(如定值，定值，则直线AB过定点(因三条直线形似手电筒，故名曰“手电筒模型”）

【例1-1】已知椭圆：函若直线：与椭圆相交于求两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点坐标．

【解析】设，由得

以为直径的圆过椭圆的右顶点

解得且满足，

当时，：，直线过定点与已知矛盾．

当时，：，直线过定点．

综上可知：直线过定点

【方法小结】本题为”弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点(参考百度文库文章”圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”)

【例1-2】（2017全国Ⅰ理20）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.

又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.

因此，解得.

故C的方程为.

（2）设直线与直线的斜率分别为k1，k2，

如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.

则，得，不符合题设.

从而可设l：（）.将代入得

由题设可知.

设，则，.

而.

由题设，故.

即.

解得.

当且仅当时，，欲使l：，即，

所以l过定点（2，）

【方法小结】本题为手电筒模型中定值一个例子，由定值  得到k与m的一次关系，再代入直线方程，得到定点。

类型2：切点弦恒过定点

【例2-1】过椭圆的右准线上任意一点引椭圆的两条切线，切点为

（1）求证：直线恒过定点

（2）略

【解析】有如下结论：圆上一点处的切线方程为，类比也有结论：椭圆上一点处的切线方程为

【解】（1）设则的方程为，

点在上        ①  同理可得    ②

由①②知的方程为，即       ③

易知右焦点满足③   故直线恒过定点

（2）略

【例2-2】（2019全国Ⅲ文21）已知曲线：，D为直线上的动点，过D作C的两条切线， 切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.

【解】，则.

由于，所以切线DA的斜率为，故 .整理得

设，同理可得. 故直线AB的方程为.

所以直线AB过定点.

（2）略

【方法小结】切点弦方程是指从圆锥曲线外一点可引两条切线，切点为，连接两个切点所得方程具有相同的推导方法。切点弦性质可以作为结论，在考试中可以借鉴本题的书写步骤。切点弦方程的推导简单，方程形式简洁，可以大大简化解题过程。

类型3：相交弦恒过定点

【例3】如图，已知直线：，过椭圆：的右焦点，且交椭圆于

两点，点A，B在直线：上的射影依次为点连接AE，BD，试探索当变化时，直线AE，BD是否交于一定点N？若交于N，求出N点的坐标，并证明，否则说明理由

【解析】相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用，但是相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程需要思路清晰，同时注意总结这类问题的通法.

【解法一】，先探索，当时，直线轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD交于定点，

证明：设，当变化时首先AE过定点N

即

又    

而

       A、N、E三点共线，同理B、N、D三点共线

与相交于定点

【解法二】本题也可以直接得出AE和BD的方程，令，得与轴交点M、N，然后两个坐标相减=0，计算量也不大。

【方法小结】方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题的一类通法，但是需要注意解答的严谨。

类型4：动圆恒过定点

动圆恒过定点问题实质是垂直向量问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用

【例4-1】已知椭圆的离心率为，并且直线是抛物线的一条切线.

（1）求椭圆的方程

（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由

【解】（1）由

由直线与抛物线相切得

故所求椭圆为

（2）当与轴平行时，以AB为直径的圆的方程为

当与轴垂直时，以AB为直径的圆的方程为

由  即两圆的公共点为(0，1)

因此所求点T如果存在，只能是(0，1)，事实上.点(0，1)就是所求点，证明如下

当与轴垂直时，以AB为直径的圆过T(0，1)

当与轴不垂直时，设直线：

由

记点，则  又

即以AB为直径的圆恒过T，故在坐标平面上存在T(0，1)满足题意

【例4-2】（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

【解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，

故抛物线方程为：，其准线方程为：.

(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，

设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.

故：.

设，则，

直线的方程为，与联立可得：，同理可得，

易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，

且：，，

则圆的方程为：，

令整理可得：，解得：，

即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

【方法小结】圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出定点，再证明向量数量积等于0.

三．巩固练习

1．（2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．

2．（2011山东）在平面直角坐标系中，已知椭圆：．如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若

（i）求证：直线过定点；

（ii）试问点能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由．

3．（2014山东）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形。

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，

        （ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

4．（2018·黑龙江哈尔滨三中高二期中（文））曲线，直线关于直线对称的直线为，直线，与曲线分别交于点、和、，记直线的斜率为．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．

5．（2016·浙江高二期中）已知圆与轴交于两点，是圆上的动点，直线与分别与轴交于两点．

（1）若时，求以为直径圆的面积；

（2）当点在圆上运动时，问：以为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．

6.（2017·江西高考模拟（文））如图，已知直线关于直线对称的直线为，直线与椭圆分别交于点、和、，记直线的斜率为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点? 若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.

7．（2019·全国高三竞赛）如图，中心在坐标原点和焦点分别在轴、轴上的椭圆、均过点，且椭圆、的离心率均为。过点作两条斜率分别为、的直线，分别与椭圆、交于点、。当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由。

8．已知曲线和都过点，且曲线的离心率为.

（1）求曲线和曲线的方程；

（2）设点，分别在曲线，上，，的斜率分别为，，当时，问直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【巩固练习参考答案】

1．【解析】（1）设，，则，，．

由得  ，．

因为在上，所以．

因此点的轨迹方程为．

（2）由题意知．设，，则

，，，

，，

由得，又由（1）知，

故．

所以，即．又过点存在唯一直线垂直与，所以过点且垂直于的直线过的左焦点． 

2．【解析】（Ⅰ）设直线，由题意，

由方程组得，

由题意，所以

设，由韦达定理得

所以

由于E为线段AB的中点，因此

此时

所以OE所在直线方程为又由题设知D（－3，m），

令=－3，得，即=1，所以

当且仅当==1时上式等号成立，此时  由得

因此  当时，取最小值2．

（Ⅱ）（i）由（I）知OD所在直线的方程为

将其代入椭圆C的方程，并由

解得

又，

由距离公式及得

由

因此，直线的方程为

所以，直线

3．【解析】（Ⅰ）由题意知，设，则的中点为

因为，由抛物线的定义可知，

解得或（舍去）

由，解得．所以抛物线的方程为．

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，设．

因为，则，

由得，故，故直线的斜率

因为直线和直线平行，

设直线的方程为，代入抛物线的方程得，

由题意，得

设，则

当时，，

可得直线的方程为，由，

整理得，直线恒过点

当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点．

（ⅱ）由（ⅰ）知直线过定点，

所以。

设直线的方程为，因为点在直线上

故．设，直线的方程为

由于，可得，代入抛物线的方程得

所以，可求得，

所以点到直线的距离为

==

则的面积，

当且仅当即时等号成立，

所以的面积的最小值为．

4．（Ⅰ）证明：设直线上任意一点关于直线对称点为，

直线与直线的交点为，

∴，，，，

由得①，

由，得②，

由①②得，

；

（Ⅱ）设点，，

由，得，

可得或，

即，

由，可将换为，

可得，

，

即直线：，

可得 ，

即为，

则当变化时，直线过定点．

5．试题分析：由直线方程得，由得故所求面积为．

（2）根据两直线互相垂直设出直线AP，BP的方程，写出以MN为直径的圆的方程，令y=0得定点和．

试题解析：（1）解析：当时，直线方程是，所以；直线方程是，所以，因此．所以以为直径圆的面积是．

（2）解法1：设直线交轴于；同法可设直线交轴于，线段的中点．所以以为直径的圆的方程为：

，展开后得，

令，得，则过定点和．

解法2：设，线段线段的中点．所以以为直径的圆的方程为：，展开后得，

考虑到，有，

令，得，则过定点和．

考点：直线与圆的综合应用．

6.【解析】试题分析：（Ⅰ）可以设直线的方程为，再设直线上任意一点关于直线对称点为，于是分别表示出，由直线对称性可知， 所在直线与垂直，且中点在上，于是整理得出的值；（Ⅱ）本问考查椭圆中直线过定点问题，设，将AM方程与椭圆方程联立，可以求出点M的坐标，同理将直线AN方程与椭圆方程联立，可以求出点N的坐标，根据M，N两点坐标，可以求出直线MN的方程，从而判定直线MN是否过定点.

试题解析：（Ⅰ）设直线上任意一点关于直线对称点为

直线与直线的交点为，∴

，由

得……..①

由得…….②，

由①②得

.

（Ⅱ）设点，由得，

∴，∴.

同理： ，

，∴

即：

∴当变化时，直线过定点.

方法点睛：定点问题的探索与证明时一般考虑以下两种解法：（1）可以先设直线方程为，然后利用条件建立的等量关系进行消元，借助于直线系的思路找出定点；（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.

7.【详解】注意到，椭圆、的标准方程分别为；

直线，

由 .

则点.内饰地，点.

因为，所以，点.

则.

故

直线过定点.

8.（1）将点P坐标代入曲线即可求得r，得曲线的方程；将点P坐标代入曲线方程，结合椭圆离心率，即可求得曲线的标准方程。

（2）设、和直线的方程、直线的方程，分别联立椭圆方程，用k表示出，求得直线AB的斜率，表示出AB的直线方程，进而求得过的定点坐标。

【详解】

（1）曲线和都过点

∴，，曲线的方程为

∵曲线的离心率为

∴

∴

∴曲线的方程，

（2）设，，直线的方程为，代入到，消去，

可得，解得或，

∴，

直线的方程为，代入到程，消去，可得，

解得或，，

∵，

∴直线的斜率，

故直线的方程为，

即，

所以直线恒过定点