新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第17讲定值问题(教师版)

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第17讲  定值问题一．方法综述解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．类型一  与面积有关的定值问题【例1】已知椭圆过点两点.（I）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值.解：（1）由题意得，．所以椭圆的方程为．又，所以离心率．（2）设，则，又，∴直线的方程为.令，得，∴.直线的方程为.令，得，从而．所以四边形的面积．从而四边形的面积为定值．【方法小结】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【例2】已知椭圆，点都在椭圆上，为坐标原点，为中点，且.（1）若点的坐标为，求直线的方程；（2）求证：面积为定值.解：（1）设，，∵，∴，将代入椭圆方程中可得化简可得.∴，∴直线的方程为；（2）证明：设，∴，①当直线的斜率不存在时，，由题意可得，或，，此时；②当直线的斜率存在时，，由（1），∴，即直线，即，由得∴∵，∴，到的距离，∴，∴为定值.【方法归纳】1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），再进行化简，看能否得到一个常数.2.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.【变式训练1】已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为，点是轨迹上不同于的两点，且满足，求证：的面积为定值．解：（1）设点的坐标为，由题意得，化简得，点的轨迹方程为．（2）证明：由题意知，是椭圆上不同于的两点，且，则直线的斜率必存在且不为.因为，所以.设直线的方程为，的坐标分别为，把代入椭圆方程，得 ∴.又，∴，即.又，∴，即的面积为定值.【变式训练2】在平面直角坐标系中，已知点是椭圆上的非坐标轴上的点，且 (分别为直线的斜率)．（1）证明：均为定值；（2）判断的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：(1)证明：依题意，均不为0，则由，得，化简得，因为点在椭圆上，所以，① ，，②把代入②，整理得.结合①得，同理可得，从而，为定值，，为定值．(2).由(1)知，，易知或，，因此的面积为定值.类型二：与斜率有关的定值问题与斜率有关的定值问题包括直线的斜率为定值，或两直线的斜率之积为定值，或两直线的斜率之比为定值，或两直线的斜率之和为定值等.【例1】如图, 椭圆的离心率是,点在椭圆上, 设点分别是椭圆的右顶点和上顶点, 过 点引椭圆的两条弦.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与的斜率是互为相反数.①直线的斜率是否为定值？若是求出该定值, 若不是,说明理由；②设、的面积分别为和,求的取值范围.解：（1），解得，∴椭圆的方程为.（2）①设点，直线，直线联立方程组，消去得∴，∴，点联立方程组,消去得：，，，∴点,故.②设直线,联立方程组,消去得：,,∴，，，∴.设分别为点到直线的距离, 则,[∴,当时,；当时，；当时，；综上可知：的取值范围是.【例2】已知椭圆的长轴长为，焦距为.（I）求椭圆的方程； (Ⅱ)过动点的直线交轴与点，交于点(在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交于另一点，延长线交于点.(i)设直线的斜率分别为，证明为定值.(ii)求直线的斜率的最小值.解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，∴∴椭圆的方程为.（2）（i）设，由，可得∴直线的斜率，直线的斜率此时，∴为定值.（ii）设，直线的方程为，直线的方程为，联立整理得.由可得∴，同理：.∴，，∴. 由，可知，∴，当且仅当时取等号.此时即，符合题意.所以直线的斜率的最小值为. 【方法归纳】本题利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.【例3】如图，椭圆经过点，且离心率为.(I)求椭圆的方程；(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为.解：（I）由题意知，又，∴，∴椭圆的方程为.（II）由题设知直线的方程为，代入，得，由已知，设,，∴，直线与的斜率之和为.即直线与的斜率之和为.【方法归纳】定值问题的处理常见的方法：（1）通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性的证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形形式，证明该式是恒定的，如果以客观题形式出现，特殊方法往往比较快速奏效；（2）进行一般计算推理求出其结果.【例4】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点和上顶点分别为为线段的中点，且. （1）求椭圆的离心率；（2）若，四边形内接于椭圆，且.记直线的斜率分别为，求证：为定值．解：(1)由题意，，由为线段的中点得∴,.因为，所以，整理得，即. 因为，所以，即.所以椭圆的离心率.(2)证明：由得，故椭圆方程为.从而，直线的斜率为.设，则.因为，故的方程为.联立方程组，消去，得，解得或.所以点的坐标为.所以，即为定值.【例5】已知椭圆的焦距为2，离心率为，右顶点为.（1）求该椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线，的斜率之和为定值.解：（1）由题意可知，又，所以椭圆方程为.（2）由题意得，当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由，因为直线与椭圆交于两点，故其，设，则，又所以即直线的斜率之和为定值.【变式训练2】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，连接分别交直线于两点，若直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意得；（2）设，直线的方程为，由，所以由三点共线可知同理可得，∴∵，∴.【变式训练3】.如图，椭圆和圆，已知椭圆过点，焦距为.(1) 求椭圆的方程；(2) 椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与椭圆的另一个交点分别是点.设的斜率为，直线斜率为，求的值.解：（I）解法1：将点代入方程，解方程组，求得椭圆的方程为.解法2：由椭圆定义的，∴椭圆的方程为.（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，，不妨设直线的斜率为，则，由得或，∴.用去代，得，则，由得或，∴.则，所以．【变式训练4】如图，是抛物线上的一点，动弦分别交轴于两点，且.若为定点，证明：直线的斜率为定值.【证明】设，直线的斜率为，则直线的斜率为，∴直线的方程为.联立消去，得.解得，∴.同理，，∴.∴(定值).∴直线的斜率为定值.类型三：与长度有关的定值问题与长度有关的定值问题包括线段长度（弦长）为定值，或两线段长度之积为定值，或两线段对应数量积为定值等.【例1】已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为.（1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，且与轴，轴交于两点.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若点的坐标为，求证：为定值；解：（1）∵满足，又，∴又椭圆的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即以上各式联立解得，∴椭圆方程为.（2）（Ⅰ）直线与轴交点为，与轴交点为，联立∴.设，则又由得，解得由.（Ⅱ）由上可知，，所以  所以，为定值.【例2】已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：．解：（1）由已知，.又椭圆过点，∴，解得，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，由方程组得，由得.∴，∴点的坐标为直线的方程为，由方程组得，所以.又.所以.【方法归纳】在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．【例3】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点.（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；（Ⅱ）设是坐标原点，直线，与椭圆交于不同的两点，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值.解：（I）由已知，，即，所以，则椭圆E的方程为.由方程组 得.①方程①的判别式为，由，得，此时方程①的解为，所以椭圆的方程为.点坐标为.（II）由已知可设直线 的方程为，由方程组 可得所以点坐标为 ，∴.设点的坐标分别为.由方程组 可得.②方程②的判别式为，由，得，由②得，∴，同理：，所以.故存在常数，使得.【方法归纳】在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．【例4】在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于两点.设.（1）求证：为定值；（2）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由.解：（1）（解法1）当直线垂直于轴时，,因此(定值)；当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，由得，∴，因此为定值；（解法2）设直线的方程为，由得，∴，因此为定值；（2）设存在直线满足条件，则的中点，∴.以为直径的圆的半径，点到直线的距离所以所截弦长为：，当即时，弦长为定值，此时直线方程为.【例5】如图，曲线是以原点为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，.（Ⅰ）求曲线和的方程；（Ⅱ）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线，依次交于四点，若为中点、为中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.（Ⅰ）解法一：设椭圆方程为，则，得.设，则，两式相减得，由抛物线定义可知，则或（舍去），所以椭圆方程为，抛物线方程为. 解法二：过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线，作垂直于该准线，作轴于，则由抛物线的定义得，所以，，得，]所以，（，得.）因而椭圆方程为抛物线方程为.（Ⅱ）设把直线代入得，∴，同理，将直线代入得，∴，∴为定值.【变式训练1】已知动圆过定点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）设,为上一点，不在坐标轴上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.解：（1）圆的圆心为，半径为4，在圆内，故圆与相内切.设圆的半径为，则，从而，因为，故的轨迹是以，为焦点，4为长轴的椭圆，其方程为.（2）设，则，即直线，令，代入得：，所以， 直线，令，代入得：，所以，所以综上，【变式训练2】在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为，过定点作直线与抛物线相交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（3）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.解：（1）抛物线的焦点为，圆心在线段的垂直平分线上，因为抛物线的准线方程为，所以，所以抛物线的方程为.（2）依题意可知点，设，设直线的方程为，联立，故有，∴，当时，的面积有最小值.（3）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入可得，，设直线与以为直径的圆的焦点为，则有.令，即时，为定值；则直线方程为.【变式训练3】在直角坐标系中，曲线与轴交于两点，点的坐标为.当变化时，解答下列问题：（1）能否出现的情况？说明理由；（2）证明过三点的圆在轴上截得的弦长为定值.解：（1）令，为的根，假设成立，所以，，所以，故假设不成立；（2）设圆与轴的交点为，设圆的方程为，令得的根为，所以，又点C在圆上，所以，故，得到 或 是，所以，所以在轴上的弦长为3，是定值.【方法归纳】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：处理直线与圆的弦长问题时多用几何法即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：；圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．【变式训练4】已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：为定值.解：（1）由题意得解得.  所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，，设，则.当时，直线的方程为.令，得.从而.直线的方程为.令，得.从而.所以.当时，， 所以.综上，为定值.类型四：与角度有关的定值问题【例1】已知是椭圆的顶点（如图）,直线与椭圆交于异于顶点的两点,且.若椭圆的离心率是,且.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线和直线的倾斜角分别为.试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由. 解：（1）依题意有，∴，∴椭圆的方程为.（2）∵，且，∵，∴设，则由得，∴.∵，∴.又∵，∴，为定值. 【变式训练】已知椭圆的焦点为，是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且的周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的是圆上动点处的切线，与椭圆交于不同的两点，证明：的大小为定值．答案：. 类型五：其他有关定值问题【例1】已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为，记直线、的斜率分别为，，证明：为定值.解：（1）设，联立方程组，消元得，∴.又，所以，从而.（2）∵，∴，因此，又，，所以. 即为定值.  【例2】已知抛物线经过点．过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于．（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；（Ⅱ）设为原点，，求证：为定值．解:（Ⅰ）因为抛物线经过点．所以，解得，所以抛物线的方程为．由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为．由得．依题意，解得或．又与轴相交，故直线不过点．从而．所以直线斜率的取值范围是．（Ⅱ）设．由（I）知．直线的方程为．令，得点的纵坐标为．同理得点的纵坐标为．由得．所以．所以为定值．【例3】已知椭圆的右焦点到直线的距离为，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为.（1）求椭圆的标准方程； （2）给出定点，对于椭圆的任意一条过的弦是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.解：（1）依题意可知右焦点到直线的距离，∴，∴，又，即，∴.∴椭圆的方程为.（2）当直线与轴重合时，.当直线与轴不重合时，设，设直线的方程为，联立方程组消去得，∴，又，同理，∴.综上所述，为定值.