高中数学高考精品解析：陕西省宝鸡市金台区2019-2020学年高三教学质量检测数学理试题（解析版）

这是一份高中数学高考精品解析：陕西省宝鸡市金台区2019-2020学年高三教学质量检测数学理试题（解析版），共23页。试卷主要包含了已知，则，若，则，已知 则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：1. 答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚.
2. 全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别解出集合，再求交集即可得出答案.
【详解】集合.
集合.
所以
故选：B.
【点睛】本题考查集合的交集，属于基础题.正确解出集合是解本题的关键.
2.设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
由，知道，即可根据复平面定义选出答案.
【详解】因为.
所以,在复平面内对应点.在第一象限.
故选：A.
【点睛】本题考查共轭复数与复平面的定义，属于基础题.熟练掌握其定义是解本题的关键.
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据与解出,得到,即可计算出的值.
【详解】因为.
所以,，即,
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查向量的坐标运算、模长、数量积,属于基础题.求出是解本题的关键.
4.十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
基本事件总数，这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数，由此能求出这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率．
【详解】解：现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，
甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，
基本事件总数，
这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数，
这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是．
故选．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（ ）
A. 回答该问卷的总人数不可能是100个
B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多
C. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少
D. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个
【答案】D
【解析】
分析】
先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．
【详解】对于选项A，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A正确，
对于选项B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确，
对于选项C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，
对于选项D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D错误，
故选D．
【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题．
6.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式基本性质和函数的单调性即可判断出答案.
【详解】A.当时 ,错误.
B.因为且单调递增,所以，错误.
C.当时，,错误.
D.因为，所以，即,正确.
故选：D.
【点睛】本题考查不等式的基本性质,函数的单调性，属于基础题.
7.已知平面，，，下列结论中正确的是（ ）
A. “内有两条相交直线与平行”是“”的充分不必要条件；
B. “内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件；
C. “，”是“”的充要条件；
D. “”是“，平行于同一直线”的充要条件.
【答案】B
【解析】
【分析】
由面面平行的判定定理与性质定理即可判断出答案.
【详解】A. “内有两条相交直线与平行”是“”的充要条件，错误.
B. “内有无数条直线与平行”不能推出“”； “”可以推出“内有无数条直线与平行”;所以“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件.正确.
C. “，”是“”的必要不充分条件；错误.
D. “”是“，平行于同一直线”的充分不必要条件.错误.
故选：B.
【点睛】本题考查面面平行的判定定理与性质定理与充分必要条件的判定.属于基础题.
8.若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
先求抛物线焦点，再根据双曲线焦点列方程，解得结果.
【详解】因为的焦点是，双曲线的焦点是
所以
故选：C
【点睛】本题考查抛物线焦点以及双曲线焦点，考查基本分析求解能力，属基础题.
9.已知 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二倍角正余弦公式化简,再根据平方关系求得结果.
【详解】
故选：A
【点睛】本题考查二倍角正余弦公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
10.已知函数的图像过两点在内有且只有两个极值点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将两点代入函数,即可求出、,再由在内有且只有两个极值点，可得到,即可得出答案.
【详解】因为函数的图像过两点
所以
又在内有且只有两个极值点，即
所以，即.
故选：C.
【点睛】本题考查正弦型函数解析式，属于中档题.正确利用在内有且只有两个极值点判断出是解本题的关键.
11.已知、是双曲线的焦点，是双曲线M的一条渐近线，离心率等于 的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，则（ ）
A. 8B. 6C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】
利用、是双曲线的焦点, 是双曲线的一条渐近线，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，求出椭圆的长轴长，再利用椭圆、双曲线的定义，即可得出结论．
【详解】解：由题意， ∴双曲线∴（0，−3），（0，3），
∵离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，∴,
∵是椭圆与双曲线的一个公共点，,
故选D．
【点睛】本题考查椭圆、双曲线的定义，考查学生的计算能力，确定椭圆的长轴长是关键．
12.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对勾函数求得在的最小值，再得图象向右移动个单位，其函数值扩大倍，从而求解.
【详解】当时，的最小值是
由知
当时，的最小值是
当时，的最小值是
要使，则，
解得：或
故选D.
【点睛】本题考查对勾函数和的图象平移和函数值的倍数关系，属于难度题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】
设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.8×p＝0.6，由此解得p的值．
【详解】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.8×p＝0.6，
解得p＝，
故选．
【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．
14.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据定义在上的奇函数：，解出,由知道函数关于对称，结合奇函数得到函数为以为周期的周期函数.利用周期性化简解出.
【详解】因为为定义在上的奇函数.
所以,即，
又，即函数关于对称,又关于原点对称,
所以函数为以为周期的周期函数.
所以
故答案为:.
【点睛】本题考查函数的周期性，属于中档题.解本题的关键在于能够利用轴对称与点对称得到函数的周期性.
15.的内角的对边分别为，若的面积为，，，则_______．
【答案】6
【解析】
【分析】
由正弦定理与可解出,即可得到,结合的面积为与,则可解出，代入角的余弦公式，即可解出答案.
【详解】因为.
由正弦定理有：.
又因为，即.
所以.
所以.
又因为 , .
解得：
又
所以
故答案为：6.
【点睛】本题考查解三角形，熟练运用正余弦定理与三角形的面积公式是解本题的关键.
16.如下图所示，用一个边长为的正方形硬纸板，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先确定蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面到球心距离，再加上此平面到底面距离即可.
【详解】由题意得蛋巢四个小三角形直角顶点围成一个正方形，对角线长为1，
因为表面积为的球半径为1，所以球心到蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面距离为
又小三角形直角顶点到底面距离为，所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为
故答案为：
【点睛】本题考查球表面积以及球截面，考查基本分析求解能力，属基础题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.如图6,四棱柱的所有棱长都相等,,四边形和四边形为矩形.
(1)证明:底面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1) 详见解析 (2)
【解析】
试题分析:(1)要证明线面垂直,只需要在面内找到两条相交的线段与之垂直即可,即证明与垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面为菱形,进而得到均为中点,得到三者相互平行,四边形均为矩形与平行相结合即可得到与垂直,进而证明线面垂直.
(2)要求二面角,此问可以以以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角, 过作的垂线交于点,连接.利用(1)得到,在利用四边形为菱形,对角线相互垂直,两个垂直关系即可得到垂直于平面,进而得到,结合得到线面垂直,说明角即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为,利用勾股定理求出相应边长即可得到角的余弦值,进而得到二面角的余弦值.
(1)证明:四棱柱的所有棱长都相等
四边形和四边形均为菱形
分别为中点
四边形和四边形为矩形
且
又且底面
底面.
(2)法1::过作的垂线交于点,连接.不妨设四棱柱的边长为.
底面且底面面
面
又面
四边形为菱形
又且,面
面
又面
又且,面
面
为二面角的平面角,则
且四边形为菱形
,,
则
再由的勾股定理可得,
则,所以二面角的余弦值为.
法2:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形是菱形,因此,又面,从而两两垂直,如图以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,不妨设,因为,所以,,于是各点的坐标为:,已知是平面的一个法向量,设是平面的一个法向量,则,,取,则,
所以,,故二面角的余弦值为.
考点：线面垂直 二面角 勾股定理 菱形
【此处有视频，请去附件查看】
18.某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：①以箱为基准，每多箱送箱；②通过双方议价，买方能以优惠成交的概率为，以优惠成交的概率为.
甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；
某单位需要这种零件箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？
【答案】（1）；（2）选择方案①更划算．
【解析】
【分析】
（1）利用对立事件概率公式即可得到结果；
（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188．得到相应的分布列及期望值，计算两种方案购买总价的数学期望从而作出判断.
【详解】(1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6=0.24，
所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率1-0.24=0.76．
(2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188．
X的分布列为
则EX＝184×0.6+188×0.4＝185.6．
若选择方案②，则购买总价的数学期望为185.6×650＝120640元．
若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，
从而购买总价为200×600＝120000元．
因为120640>120000，所以选择方案①更划算．
评分细则：
第(1)问中，分三种情况求概率，即所求概率为0.6×0.4+0.42+0.62＝0.76同样得分；
第(2)问中，在方案②直接计算购买总价的数学期望也是可以的，解析过程作如下相应的调整：
设在折扣优惠中购买总价X元，则X＝184×650或188×650．
X的分布列为
则EX＝184×650×0.6+188×650×0.4＝120640．
【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望，概率的计算，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
19.已知是数列的前项和，且满足．
（1）证明为等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，，求得首项为3，由题意可得，运用等比数列的定义即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式可得，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，化简即可得到所求和．
【详解】解：（1）证明：当时，，，
可得，
转化为：，
即，
所以
注意到，
所以为首项为4，公比为2等比数列；
（2）由（1）知：，
所以，
于是
．
【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，同时考查等差数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
20.已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质，得到，得到，再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与两根积，将证明结果转化为证明直线，的斜率互为相反数，列式，可证.
【详解】（Ⅰ）由题意，，
即① 又②
联立①①解得
所以，椭圆的方程为：.
（Ⅱ）设，，，由，
得，
所以，即，
又因为，所以，，
，，
解法一：要证明，可转化为证明直线，的斜率互为相反数，只需证明，即证明.

∴

∴，∴.
解法二：要证明，可转化为证明直线，与轴交点、连线中点的纵坐标为，即垂直平分即可.
直线与的方程分别为：
，，
分别令，得，
而，同解法一，可得
，即垂直平分.
所以，.
【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，用到的结论有椭圆中点弦所在直线的斜率的特征，再者就是直线与椭圆相交的综合题，认真审题是正确解题的关键，注意正确的等价转化.
21.已知函数.
（1）判断函数的奇偶性并求当时函数的单调区间；
（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性的定义进行判定其奇偶性，利用范围去掉绝对值符号，求导，利用导数的符号变化确定函数的单调区间；（2）分离参数，将问题转化为求函数的值域问题，再利用导数确定函数的单调性和极值，进而求出函数的值域．
【详解】（1）函数的定义域为且
，∴为偶函数
当时，
若，则递减；
若，则递增.
得的递增区间是，递减区间是.
（3）由，得： 令
当，，显然
时，；时，
∴时，
又，为奇函数，∴时，
∴的值域为
∴若方程有实数解，则实数的取值范围是.
【点睛】1.处理函数的性质时，要注意函数的“定义域优先原则”，即先求出函数的定义域，再在定义域的范围内研究函数的奇偶性、单调性等问题；
2.处理含有参数的函数问题时，往往采用分离参数法，将问题转化为求函数的值域或最值问题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点．
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若点的极坐标为，，求的值．
【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.
【详解】（1）由，得，
所以曲线的直角坐标方程为，
即， 直线的普通方程为.
(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，
得. 因为直线与曲线交于，两点．
所以，解得.
由根与系数的关系，得，.
因为点的直角坐标为，在直线上.所以，
解得，此时满足.且，故.．
【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
23.已知函数.
（1）若时，解不等式；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：
（1）当时，不等式为，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当时，有解，即上有解，故只需（，由此可得结论．
试题解析：
（1）当时，不等式为，
若，则原不等式可化为，所以；
若，则原不等式可化为，所以；
若，则原不等式可化为，所以．
综上不等式的解集为．
（2）当时，由，得
即
故，
又由题意知（，
所以．
故实数m的取值范围为．
X
184
188
P
0.6
0.4
X
184×650
188×650
P
0.6
0.4