高中数学高考卷02-2020年高考数学（文）名校地市好题必刷全真模拟卷（解析版）

这是一份高中数学高考卷02-2020年高考数学（文）名校地市好题必刷全真模拟卷（解析版），共15页。试卷主要包含了测试范围等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|x＜1}，则A∩B等于（ ）
A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）
C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）
【答案】C
【解析】A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，
则A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），
故选：C．
2．若纯虚数z满足z（1﹣2i）=a+i，其中a∈R，i是虚数单位，则实数a的值等于（ ）
A．﹣2B．-12
C．2D．12
【答案】C
【解析】设z=bi（b≠0），
由z（1﹣2i）=a+i，得bi（1﹣2i）=a+i，
即2b+bi=a+i，
∴b=1，a=2．
故选：C．
3．执行如图所示的程序框图，若输入t∈[﹣1，3]，则输出s的取值范围是（ ）
A．[e﹣2，1]B．[1，e]
C．[0，1]D．[e﹣2，e]
【答案】C
【解析】由已知可得：程序框图的功能是计算并输出s=&et-1，t∈[-1，1)&lg3t，t∈[1，3]的值域，
当t∈[﹣1，1）时，s=et﹣1∈[e﹣2，1），
当t∈[1，3]时，s=lg3t∈[0，1]，
故输出s的取值范围是[0，1]，
故选：C．
4.若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由l⊥α，“m∥α”⇒m⊥l．反之不成立，可能m⊂α．
因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件．
故选：A．
5.设x，y满足约束条件&x-y+1≥0&x+2y-2≥0&4x-y-8≤0，则z=|x+3y|的最大值为（ ）
A．15B．13
C．3D．2
【答案】A
【解析】由约束条件&x-y+1≥0&x+2y-2≥0&4x-y-8≤0作出可行域如图，
联立&x-y+1=0&4x-y-8=0，解得A（3，4），
由图可知，z=|x+3y|=x+3y，化为y=﹣x3+z3．
当直线y=﹣x3+z3过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为15．
故选：A．
6.已知三棱锥P﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，AB=22，PA=PB=PC=3，则球O的表面积为（ ）
A．9πB．9π4
C．4πD．π
【答案】A
【解析】设AB中点为D，则D为△ABC的外心，因为PA=PB=PC=3，易证PD⊥面ABC，
，所以球心O在直线PD上，
又PA=3，AB=22，
算得PD=1，
设球半径为R，则△AOD中，
（R﹣1）2+2=R2，
可得：R=32．
则球O的表面积S=4πR2=9π，
故选：A．
7.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x+1，设函数g（x）=（12）|x﹣1|（﹣1＜x＜3），则函数f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
【答案】B
【解析】∵f（x+1）=﹣f（x），
∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），
∴f（x）的周期为2．
∴f（1﹣x）=f（x﹣1）=f（x+1），
故f（x）的图象关于直线x=1对称．
又g（x）=（12）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象关于直线x=1对称，
作出f（x）的函数图象如图所示：
由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有4个交点，
∴所有交点的横坐标之和为1×2×2=4．
故选：B．
8．在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，BM→=2MA→，CN→=2NA→，则BC→⋅OM→的值为（ ）
A．﹣15B．﹣9
C．﹣6D．0
【答案】C
【解析】
解法Ⅰ，由题意，BM→=2MA→，CN→=2NA→，
∴BMMA=CNNA=2，∴BC∥MN，且BC=3MN，
又MN2=OM2+ON2﹣2OM•ON•cs120°=1+4﹣2×1×2×（﹣12）=7，
∴MN=7；
∴BC=37，
∴cs∠OMN=OM2+MN2-ON22OM⋅MN=1+7-42×1×7=27，
∴BC→•OM→=|BC→|×|OM→|cs（π﹣∠OMN）=37×1×（﹣27）=﹣6．
解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，
由OM=1，ON=2，∠MON=120°，BM→=2MA→，CN→=2NA→，
知BC→=AC→﹣AB→=3AN→﹣3AM→=﹣3OM→+3ON→，
∴BC→⋅OM→=（﹣3OM→+3ON→）•OM→
=﹣3OM→2+3ON→•OM→
=﹣3×12+3×2×1×cs120°
=﹣6．
故选：C．
9.若lg2，lg（2x+1），lg（2x+5）成等差数列，则x的值等于（ ）
A．1B．0或18
C．18D．lg23
【答案】D
【解析】由lg2，lg（2x+1），lg（2x+5）成等差数列，
得2lg（2x+1）=lg2+lg（2x+5），
∴lg（2x+1）2=lg2（2x+5），即（2x+1）2=2•2x+10，
整理得：（2x）2=9，即2x=3，
∴x=lg23．
故选：D．
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcsB=acsC+ccsA，b=2，则△ABC面积的最大值是（ ）
A．1B．3
C．2D．4
【答案】B
【解析】（1）∵2bcsB=acsC+ccsA，
∴可得：2sinBcsB=sinAcsC+sinCcsA=sinB，
∵sinB≠0，∴csB=12．B=60°
由余弦定理可得ac=a2+c2﹣4，
∴由基本不等式可得ac=a2+c2﹣4≥2ac﹣4，可得：ac≤4，当且仅当a=c时，“=”成立，
∴从而△ABC面积S=12acsinB=3，故△ABC面积的最大值为3．
故选：B．
11.已知双曲线x2a2﹣y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得弦长为433，则此双曲线的离心率等于（ ）
A．2B．3
C．62D．6
【答案】B
【解析】双曲线x2a2﹣y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx﹣ay=0，则：&bx-ay=0&x24+y2=1，
消去y可得：x=±2aa2+4b2，y=±2ba2+4b2
一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得弦长为433，
可得：4a2+4b2a2+4b2=43，可得2a2=b2=c2﹣a2，
解得e=ca=3．
故选：B．
12.设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，已知f'（x）＜f（x），且f'（x）=f'（4﹣x），f（4）=0，f（2）=1，则使得f（x）﹣2ex＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）
C．（1，+∞）D．（4，+∞）
【答案】B
【解析】设F(x)=f(x)ex，则F'(x)=f'(x)-f(x)ex＜0，
即函数F（x）在R 上单调递减，
因为f'（x）=f'（4﹣x），
即导函数y=f'（x）关于直线x=2对称，
所以函数y=f（x）是中心对称图形，且对称中心（2，1），
由于f（4）=0，即函数y=f（x）过点（4，0），
其关于点（2，1）的对称点（0，2）也在函数y=f（x）上，
所以有f（0）=2，
所以F(0)=f(0)e0=2，
而不等式f（x）﹣2ex＜0即f(x)ex＜2，
即F（x）＜F（0），
所以x＞0，
故使得不等式f（x）﹣2ex＜0成立的x的取值范围是（0，+∞）．
故选：B．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“∀x∈R，ex＞0”的否定是 ．
【答案】∃x∈R，ex≤0
【解析】（因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“∀x∈R，ex＞0”的否定是：∃x∈R，ex≤0．
故答案为：∃x∈R，ex≤0．
14.已知函数 f（x）=2lnx 和直线 l：2x﹣y+6=0，若点 P 是函数 f（x）图象上的一点，则点 P到直线 l 的距离的最小值为 ．
【答案】：855．
【解析】f′（x）=2x，
设与直线l平行且与函数f（x）的图象相切于点P（x0，y0）的直线方程为：2x﹣y+m=0，
则2x0=2，解得x0=1．∴P（1，0）．
∴点 P到直线 l 的距离的最小值为切点P到直线l的距离d=|2-0+6|5=855．
故答案为：855．
15.A是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点B，连接AB，则弦AB的长度小于3R的概率是
【答案】：23．
【解析】如图，
设圆O的半径为R，当∠AOB=120°时，AB=3R，
同理当∠AOC=120°时，AC=3R．
∴在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长小于3RR的概率为240°360°=23，
16.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝PB＝PC，AB＝2，BC＝，AC＝3，E，F分别为AC，PB的中点，EF＝，则球O的体积为_______
【答案】
【解析】由已知可得，因，所以点在内的投影为的外心，所以平面，，所以，所以，又球心在上，设，则，所以，所以球体积，.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x-π6)+cs2x+a（a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调递减区间；
（Ⅲ）若x∈[0，π2]时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．
【解答】（I）f(x)=2sin2xcsπ6+cs2x+a=3sin2x+cs2x+a=2sin(2x+π6)+a
∴f（x）的最小正周期，T=2πω=2π2=π
（II）因为y=sinx的减区间为：2kπ+π2≤x≤2kπ+3π2，k∈Z
所以2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2即kπ+π6≤x≤kπ+2π3（k∈Z）时，函数f（x）单调递减，
故所求区间为[kπ+π6，kπ+2π3](k∈Z)
（III）x∈[0，π2]时，2x+π6∈[π6，7π6]∴x=π2时
f（x）取得最小值∴2sin(2⋅π2+π6)+a=-2×12+a=-2∴a=-1．
18．（12分）
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．
(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．
证明 ∵△ABC为正三角形，E为BC中点，
∴AE⊥BC，
∴又B1B⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴B1B⊥AE，
∴由B1B∩BC＝B知，AE⊥平面B1BCC1，
又由AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)解 设AB中点为M，连接CM，则CM⊥AB，
由平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB知，CM⊥面A1ABB1，
∴∠CA1M即为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，
∴∠CA1M＝45°.
易知CM＝eq \f(\r(3),2)×2＝eq \r(3)，在等腰Rt△CMA中，AM＝CM＝eq \r(3)，
在Rt△A1AM中，A1A＝eq \r(A1M2－AM2)＝eq \r(2).
∴FC＝eq \f(1,2)A1A＝eq \f(\r(2),2)，又S△AEC＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),4)×4＝eq \f(\r(3),2)，
∴V三棱锥FAEC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6),12).
19．（12分）
随着科技发展，手机成了人们日常生活中必不可少的通信工具，现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机了．为了调查某地区高中生一周使用手机的频率，某机构随机调查了该地区100名高中生某一周使用手机的时间（单位：小时），所取样本数据分组区间为[0，2）、[2，4）、[4，6）、[6，8）、[8，10）、[10，12）、[12，14]，由此得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值；
（2）从使用手机时间在[6，8）、[8，10）、[10，12）、[12，14]的四组学生中，用分层抽样方法抽取13人，则每层各应抽取多少人？
【解答】解：（1）由于小矩形的面积之和为1，则（a+0.075+4a+0.15+5a+0.05+0.025）×2=1，由此可得a=0.02．
该地区高中生一周使用手机时间的平均值为（1×0.02+3×0.075+5×0.08+7×0.15+9×0.1+11×0.05+13×0.025）×2=6.94．
（2）使用手机时间在[6，8）的学生有0.15×2×100=30人，使用手机时间在[8，10）的学生有0.02×5×2×100=20人，使用手机时间在[10，12）的学生有0.05×2×100=10人，使用手机时间在[12，14]的学生有0.025×2×100=5人，
故用分层抽样法从使用手机时间在[6，8），[8，10），[10，12），[12，14]的四组学生中抽样，抽取人数分别为13×3030+20+10+5=6，13×2030+20+10+5=4，13×1030+20+10+5=2，13×530+20+10+5=1．
20．（12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（ = 3 \* ROMAN III）若存在最大值，且，求的取值范围．
【解答】 解：（Ⅰ）当时，．
．
所以．
又，
所以曲线在点处的切线方程是，
即．
（Ⅱ）函数的定义域为，
．
当时，由知恒成立，
此时在区间上单调递减．
当时，由知恒成立，
此时在区间上单调递增．
当时，由，得，由，得，
此时在区间内单调递增，在区间内单调递减．
（ = 3 \* ROMAN III）由（Ⅱ）知函数的定义域为，
当或时，在区间上单调，此时函数无最大值．
当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以当时函数有最大值．
最大值．
因为，所以有，解之得．
所以的取值范围是．
21．（12分）
已知椭圆的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点的最短距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的直线与交于、两点，是点关于轴的对称点，证明：三点共线．
【解答】 ( = 1 \* ROMAN I)由题可知：
解得，
椭圆C的方程为
（ = 2 \* ROMAN II）设直线：，，，，，
由得.
所以，.
而
，
∴三点共线
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为
ρ2﹣42ρcs（θ﹣π4）+6=0．
（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（2）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由ρ2-42ρcs(θ-π4)+6=0，得
ρ2-42ρ(csθcsπ4+sinθsinπ4)+6=0，
即ρ2-42ρ(22csθ+22sinθ)+6=0，
ρ2﹣4ρcsθ﹣4ρsinθ+6=0，
即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0为所求圆的普通方程，
整理为圆的标准方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，
令x﹣2=2csα，y﹣2=2sinα．
得圆的参数方程为&x=2+2csα&y=2+2sinα （α为参数）；
（2）由（1）得：
x+y=4+2(csα+sinα)=4+2sin（α+π4），
∴当sin（α+π4）=1时，x+y的最大值为6，
当sin（α+π4）=﹣1时，x+y的最小值为2．
故x+y的最大值和最小值分别是6和2．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知不等式|x|+|x﹣3|＜x+6的解集为（m，n）．
（1）求m，n的值；
（2）若x＞0，y＞0，nx+y+m=0，求证：x+y≥16xy．
【解答】（1）解：不等式|x|+|x﹣3|＜x+6，
当x≥3时，2x﹣3＜x+6，即x＜9，可得3≤x＜9；
当0＜x＜3时，3＜x+6，即x＞﹣3，可得0＜x＜3；
当x≤0时，3﹣2x＜x+6，即x＞﹣1，可得﹣1＜x≤0．
综上可得，原不等式的解集为（﹣1，9），
由不等式的解集为（m，n），
可得m=﹣1，n=9；
（2）证明：由（1）可得x＞0，y＞0，9x+y=1，
则1x+1y=（9x+y）（1x+1y）=9+1+yx+9xy≥10+2yx⋅9xy=16，
当且仅当y=3x=14时，取得等号，
则x+y≥16xy．